Преобразование, которым функции вещественных переменных сопоставляется функция
Вещественных переменных, и переменной 7, вообще говоря комплексной, называют интегральным преобразованием по переменной Переменную называют переменной преобразования. Ради большей наглядности ниже переменную преобразования будем обозначать символом Интегральное преобразование (1) определяется пределами преобразования , ядром и весовой функцией Пределы могут быть и бесконечными; свойства функций будут установлены ниже. Функцию называют интегральным преобразованием, а также интегральной трансформацией, изображением или образом функции Ниже будет применяться преимущественно первый из этих равнозначащих терминов. Функцию часто называют оригиналом или прообразом функции
Возможны интегральные преобразования сразу по нескольким или по всем переменным. Обобщение на этот случай данного выше
определения очевидно. Ниже будут рассматриваться преобразования только по одной переменной. Последовательное применение таких преобразований, однако, эквивалентно некоторому преобразованию по нескольким переменным.
Преобразованные функции будем обозначать теми же символами, что и до преобразования, но с каким-либо значком над символом: чертой, волнистой чертой и По какой переменной осуществлено преобразование, будет ясно из того, от каких аргументов зависит преобразованная функция. Например, интегральное преобразование функции по переменной Аргументы в тех случаях, когда это не может повести к недоразумениям, явно выписывать не будем.
Преобразование, которым функция снова преобразуется в функцию называют обратным интегральному преобразованию (1) или просто обратным преобразованием. При этом само преобразование (1) называют прямым.
Интегральное преобразование определено, когда интеграл в правой части (1) существует. Для практического применения интегральных преобразований, однако, важно, чтобы существовали также обратные преобразования, которые, совместно с (1), устанавливали бы взаимно однозначное соответствие между двумя классами функций: исходным классом функций и классом функций являющихся их интегральными преобразованиями. При этом условии можно установить соответствие также между операциями на обоих классах функций и решение задачи, заданной для функций одного класса, привести к задаче для функций другого класса, которая может быть проще. Решив эту последнюю, с помощью обратного преобразования находят решение первоначальной задачи. Хорошо известным читателю примером является операционное исчисление, основанное на использовании интегрального преобразования Лапласа. Здесь дифференцированию функций исходного класса функций соответствует умножение на независимую переменную функций, являющихся преобразованиями Лапласа. Благодаря этому задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами приводятся к алгебраическим задачам для преобразованных функций.
Аналогична идея применения интегральных преобразований и в задачах для уравнений с частными производными: стремятся выбрать интегральное преобразование, которое позволило бы дифференциальные операции по одной из переменных заменить алгебраическими операциями. Когда это удается, преобразованная задача обычно проще исходной. Найдя решение преобразованной задачи, с помощью обратного преобразования находят и решение исходной. Основным отличием от операционного исчисления в применении интегральных преобразований к уравнениям с
частными производными является использование более широкого набора интегральных преобразований, что важно, когда коэффициенты уравнений переменны.
Cтраница 1
Применение интегрального преобразования к первой группе данных, очевидно, сводится к замене функций переменной Ау.
Применение интегральных преобразований (4) сводит решение вязкоупругой задачи (3) к решению чисто упругой задачи (5) в изображениях. Принимая во внимание приведенное ранее решение (16) разд.
Применение интегральных преобразований по пространственным координатам на конечных интервалах и других строгих аналитических методов к краевым задачам для дифференциальных уравнений переноса дает решения в виде бесконечных функциональных рядов. При этом из полученного решения для практических расчетов используется только главная часть этого ряда. Поэтому простой способ определения приближенного решения, эквивалентного главной части точного решения, бесспорно должен иметь большое прикладное значение.
Применение интегрального преобразования Фурье к задачам на прямой и полупрямой.
Применение интегрального преобразования Фурье к задачам на прямой и полупрямой. Определение интегрального преобразования Фурье и общая схема применения к решению краевых задач даны в гл.
Применение интегральных преобразований дает полезный метод решения прежде всего плоских, а также пространственных задач теории упругости. Существенно при этом, что может быть уменьшено число независимых переменных в дифференциальных уравнениях с частными производными. Роль соответствующих независимых переменных переходит к параметрам, и, таким образом, удается привести дифференциальные уравнения с частными производными относительно многих переменных к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Применение интегральных преобразований к построении точных решения задач фильтрации в трещиновато-порис тих средех / / Мртеметический анализ и его приложения: С.
Применение интегральных преобразований позволяет свести задачу об интегрировании дифференциальных уравнений в частных производных к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений для изображения искомых функций. Для иллюстрации этой идеи мы приведем здесь решение задачи об упругой полуплоскости с помощью преобразования Фурье; для областей другого вида оказываются удобными другие интегральные преобразования. Таким образом, задача о полуплоскости может быть сведена к определению одной единственной функции p (z) по заданным значениям ее действительной или мнимой части на границе. Ограничиваясь теми примерами, которые были рассмотрены в § 10.4, перейдем к изложению метода интегральных преобразований.
После применения интегральных преобразований задача сведена к парным интегральным уравнениям, строится приближенное решение путем разложения в ряд по косинусам, обращение преобразования по времени выполняется методом трапеций. Приведены численные результаты, иллюстрирующие влияние коэффициента Пуассона на осадки штампа.
После применения интегральных преобразований Ханкеля по координате и Лапласа по времени строится приближенное решение задачи путем разложения по системе кусочно-постоянных функций с выделением статической особенности под краем штампа. Обращение преобразования Лапласа выполняется численно. Приведены некоторые результаты численных расчетов для равномерно распределенной нагрузки на плиту, исследовано влияние проницаемости и жесткости плиты и коэффициента Пуассона грунта на степень консолидации.
Преимущество применения интегральных преобразований перед другими аналитическими методами исследования тепловых процессов, связанными с интегрированием дифференциальных уравнений переноса энергии, состоит прежде всего в стандартности и простоте нахождения решений.
При применении интегрального преобразования Меллина к общим решениям уравнений плоской теории упругости (6.1.1) - (6.1.5) в форме Папковича-Нейбера (6.5.34) и (6.5.35) возникают вопросы общего и частного характера.
Аналогична идея применения интегральных преобразований и в задачах для уравнений с частными производными: стремятся выбрать интегральное преобразование, которое позволило бы дифференциальные операции по одной из переменных заменить алгебраическими операциями. Когда это удается, преобразованная задача обычно проще исходной. Найдя решение преобразованной задачи, с помощью обратного преобразования находят и решение исходной.
Основным условием для применения интегральных преобразований является наличие теоремы обращения, позволяющей найти исходную функцию, зная ее образ. В зависимости от весовой функции и области интегрирования рассматриваются преобразования Фурье, Лапласа, Меллина, Ханкеля, Мейера, Гильберта и др. С помощью этих преобразований могут быть решены многие задачи теории колебаний, теплопроводности, диффузии и замедления нейтронов, гидродинамики, теории упругости, физической кинетики.
Кратко изложим схему применения указанного интегрального преобразования.
