В практике исследования динамики явлений принято считать, что значения уровней () временных рядов могут содержать следующие компоненты: тренд (), сезонную компоненту (), циклическую компоненту () и случайную составляющую ().
Под трендом понимают изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временного ряда. Это систематическая составляющая долговременного действия.
Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах часто имеют место более или менее регулярные колебания – периодические составляющие рядов динамики. Если период колебания не превышает года, то их называют сезонными (расходы электроэнергии по кварталам). При большом периоде колебания считают, что во временных рядах имеет место циклическая составляющая. Примерами могут служить циклы деловой активности, демографические, инвестиционные.
Если из временного ряда удалить тренд и периодические составляющие, то останется нерегулярная компонента (). Экономисты разделяют факторы, под воздействием которых формируется нерегулярная компонента, на два вида: факторы резкого, внезапного действия (стихийные бедствия, войны) и текущие факторы (ощущается несколько факторов и их суммарное действие).
В этом случае уровни ряда . Они являются функцией случайной компоненты: колеблются вокруг среднего уровня, что характерно для так называемого стационарного ряда. На рисунке 10.1 такой ряд представляет собой ломаную линию, параллельную оси времени.
Где – уровни динамического ряда, – средний за период уровень ряда, – случайная составляющая, определяемая как .
Большинство динамических рядов в экономике характеризуется тенденцией и случайными колебаниями.
Модель уровня такого ряда имеет вид: ,
Где – тренд, – случайные колебания (рис. 10.2).
Представление временного ряда может быть следующих видов:
(аддитивная модель);
(мультипликативная модель);
(смешанного типа).
Решение любой задачи по анализу и прогнозированию временных рядов начинается с построения графика исследуемого показателя, т.к., на этом этапе можно исследовать компонентный состав временных рядов, а также сделать первые шаги к выбору модели для описания их динамики. Отличительной особенностью аддитивной модели является то, что амплитуда сезонных колебаний, отражающая отклонения от тренда или среднего, остается примерно постоянной, неизменной во времени.
Иногда это сложно описать, т.к. во временном ряду ошибок остаются статистические зависимости, которые можно моделировать. Как правило, ряд ошибок – это стационарный ряд.
Ряд называется стационарным, если совместное распределение m-наблюдений: 
такое же, как и для 
при любых m, 
. В этом случае имеем:
,
При анализе изменения величины в зависимости от значения временного сдвига принято говорить об автоковариационной функции (АКФ).
На практике АКФ статистически оцениваются по имеющимся уровням временного ряда. Выборочная оценка коэффициента автокорреляции определяется формулой:
, (10.1)
где 
,
.
Числитель формулы (10.1) представляет выборочную оценкукоэффициента автоковариации. График АКФ, отражающий изменение , в зависимости от значений сдвига , называют коррелограммой. Вид АКФ оказывает существенную помощь в выборе моделей, описывающих поведение анализируемых временных рядов.
Проверка гипотезы существования тенденции.
Важной задачей возникающей при анализе рядов динамики, является определение основной тенденции в развитии исследуемого явления. Прогнозирование временных рядов целесообразно начинать с построения графика исследуемого показателя. Однако в нем не всегда прослеживается присутствие тренда. Поэтому в этих случаях необходимо выяснить, существует ли тенденция во временном ряду или она отсутствует.
Для временного ряда рассмотрим критерий «восходящих и нисходящих» серий, согласно которому наличие тенденции определяется по следующему алгоритму:
1. Для исследуемого временного ряда определяется последовательность знаков, исходя из условий
(10.2)
При этом, если последующее наблюдение равно предыдущему, то учитывается только одно наблюдение.
Подсчитывается число серий u (n ). Под серией понимается последовательность подряд расположенных плюсов или минусов, причем один плюс или один минус считается серией.
Определяется протяженность самой длинной серии l max (n ).
4. По таблице, приведенной ниже, находится значение l (n ).
Таблица 10.5
5. Если нарушается хотя бы одно из следующих неравенств, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается с доверительной вероятностью 0,95:
(10.3)
Квадратные скобки неравенства в (10.3) означают целую часть числа.
Тема 9. Статистическое изучение динамики
Понятие и классификация временных рядов
Процесс развития социально-экономических явлений во времени принято называть динамикой. Для отображения динамики строят временные ряды (ряды динамики). Временной ряд представляет собой совокупность значений статистического показателя, расположенных в хронологическом порядке. Составными элементами ряда динамики являются:
1) отдельные значения показателя, которые называются уровнями ряда (y );
2) периоды или моменты (даты) времени (t )/
Существуют различные виды временных рядов. Их можно классифицировать по различным основаниям:
1)по способу выражения уровней ряда:
– ряды абсолютных величин;
– ряды относительных величин;
– ряды средних величин.
2) по способу представления хронологии:
– моментные ряды;
– интервальные ряды.
В моментных временных рядах уровни ряда выражают состояние явления на определенный момент времени (начало месяца, квартала, года и т.д.). Например, численность поголовья крупного рогатого скота в РФ на 1 января каждого года. В интервальных временных рядах уровни ряда выражают состояние явления за определенные интервалы (периоды) времени (за месяц, за квартал, за год). Например, ежегодный пассажирооборот железнодорожным транспортом.
Отдельные уровни интервального временного ряда можно суммировать. Отдельные уровни моментного временного ряда содержат элементы повторного счета, поэтому их суммирование бессмысленно.
3) по расстоянию между уровнями:
– временные ряды с равноотстоящими уровнями во времени;
– временные ряды с неравно отстоящими уровнями во времени;
4) по наличию основной тенденции в ряду:
– стационарные временные ряды;
– нестационарные временные ряды.
Стационарным называется временной ряд, если математическое ожидание значения признака и дисперсия постоянны, не зависят от времени. Нестационарные временные ряды имеют некоторую тенденцию развития.
5) по числу показателей:
– изолированные временные ряды;
– многомерные временные ряды (комплексные).
Если ведется анализ во времени одного показателя, то ряд динамики изолированный. В многомерном ряду представлена динамика нескольких показателей, характеризующих одно явление.
Сопоставимость уровней и смыкание рядов динамики
Важнейшим условием правильного построения временного ряда является сопоставимость всех входящих в него уровней. Проблема сопоставимости данных остро стоит в рядах динамики, потому что они охватывают значительные периоды времени, за которые могли произойти изменения и привести к несопоставимости статистических данных. Прежде чем анализировать динамический ряд необходимо убедиться в сопоставимости уровней ряда и при отсутствии последней добиваться ее, пользуясь дополнительными расчетами.
Основные условия сопоставимости уровней ряда динамки :
1) одинаковые единицы измерения показателей;
2) единая методика расчета показателей;
3) одинаковые территориальные границы;
4) одинаковая полнота охвата различных частей явления;
5) учет изменения цен.
Это условие необходимо соблюдать в процессе сбора и обработки данных, либо путем их перерасчета. Приведение уровней ряда к сопоставимому виду осуществляется методом смыкания рядов динамики . Под смыканием понимают объединение в один ряд (более длинный) двух или нескольких рядов динамики, уровни которых исчислены по разной методологии или разным территориальным границам. Для осуществления смыкания необходимо, чтобы для одного из периодов (переходного) имелись данные, исчисленные по разной методологии (или в разных границах).
Имеются данные о производстве продукции предприятия, методика получения которых в течение рассматриваемого периода претерпела некоторые изменения (табл. 9.1).
Таблица 9.1 – Динамика объема производства продукции, млн. руб.
| Показатели | ||||||||
| По старой методике | 19,1 | 19,7 | 20,0 | 21,2 | ||||
| По новой методике | 22,8 | 23,6 | 24,5 | 26,2 | 28,1 | |||
| Сомкнутый (сопоставимый) ряд | 21,0 | 21,7 | 22,0 | 22,8 | 23,6 | 24,5 | 26,2 | 28,1 |
Для анализа динамики объемов производства продукции за 2006-2013 гг. необходимо сомкнуть (объединить) исследуемые два ряда в один. Для этого следует пересчитать данные 2006-2008 гг. по новой методике. На основе данных за 2009 г. найдем коэффициент перевода (k ) как соотношение между ними:
k = 22,8 / 21,2 = 1,1,
Умножая на полученный коэффициент данные за 2006-2008 гг., приводим их в сопоставимый вид с последующими уровнями, таким образом, получаем сомкнутый (сопоставимый) ряд.
Показатели изменения уровней временного ряда
Анализ временных рядов включает расчет различных показателей, характеризующих изменение уровней ряда. Показатели, используемые для анализа временных рядов, можно разделить на абсолютные, относительные и обобщающие (средние) (рис. 9.1).
Рис. 9.1. Основные показатели изменения уровней временного ряда
Абсолютные и относительные показатели могут быть рассчитаны на цепной или базисной основе. При расчете цепных показателей каждый уровень ряда сравнивается с непосредственно ему предшествующим. При расчете базисных показателей каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же уровнем, принятым за базу сравнения. Обычно в качестве базы сравнения принимается первый уровень временного ряда.
Рассмотрим формулы для расчета основных показателей изменения уровней временного ряда.
Абсолютный прирост (Δy ) определяется как разность двух сравниваемых уровней.
Абсолютный прирост цепной :
Δy ц = y i – y i – 1 ,
Абсолютный прирост базисный :
Δy б = y i – y 0 ;
где y i – i -й уровень ряда;
y 0 – базисный уровень ряда.
Темп роста (Т р) определяется как отношение двух сравниваемых уровней временного ряда и выражается в процентах.
Темп роста цепной :
Темп роста базисный:
Темп роста может быть выражен в виде коэффициента (К р). В этом случае он показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше (или меньше) предшествующего (или базисного) уровня.
Темп прироста (Т пр) показывает, на какую долю (или процент) данный уровень ряда больше (или меньше) предыдущего или базисного.
Темп прироста цепной :
.
Темп прироста базисный:
.
Темп прироста можно вычислить также путем вычитания из темпов роста 100%, то есть Т пр = Т р –100.
Абсолютное значение одного процента прироста () показывает, сколько абсолютных единиц приходится на 1% прироста:
.
Средние величины временного ряда – это обобщающие характеристики развития явления за изучаемый период.
Средний уровень временного ряда () рассчитывается по средней хронологической. Средней хронологической называется средняя, исчисленная из значений, изменяющихся во времени. Методы расчета среднего уровня интервального и моментного рядов динамики различны.
Средний уровень интервального ряда с равноотстоящими уровнями находится по формуле средней арифметической простой:
где n – число уровней ряда.
Средний уровень моментного ряда с равноотстоящими уровнями определяют по формуле средней хронологической простой:
,
Средний абсолютный прирост:
.
Средний темп роста:
Средний темп прироста:
.
Для комплексного анализа временного ряда необходимо использовать всю систему показателей.
Пример
Проанализировать динамику производства легковых автомобилей в городе N (табл. 9.2).
Таблица 9.2 - Динамика производства легковых автомобилей в городе N
| Год | Тыс. шт. | Абсолютные приросты, тыс. шт. | Темпы роста, % | Темпы прироста | Абсолютное значение 1% прироста, тыс. шт. | |||
| цепные | базисные | цепные | базисные | цепные | базисные | |||
| 835,1 867,4 986,2 836,0 955,5 969,0 1000,0 | - 32,3 118,8 -152,2 119,5 13,5 31,0 | - 32,3 151,1 0,9 120,4 133,9 164,9 | - 103,87 113,70 84,77 114,29 101,41 103,20 | - 103,87 118,09 100,10 114,42 116,03 119,75 | - 3,87 13,70 -28,90 14,29 1,41 3,20 | - 3,87 18,09 0,10 14,42 16,03 19,75 | - 8,35 8,67 5,27 8,36 9,56 9,69 | |
| Итого | 6449,2 | 164,9 | - | - | - | - | - | - |
Например, для 2009 г.
Это значит, что за период 2007-2013 гг. в среднем каждый год объем производства легковых автомобилей увеличивался на 2,3%.
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО - ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КАФЕДРА ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ
ЭКОНОМЕТРИКА
Тема 2. Временные ряды.
(для студентов 2-го образования)
(Материалы к лекции)
ОРЛОВА И. В.
Материалы к лекции по теме Временные ряды содержат разделы из учебного пособия
Шаг наблюдений;
Интервал времени;
Методику расчета;
Элементы, относящиеся к неизменной совокупности.
Однородность данных означает отсутствие сильных изломов тенденций, а также аномальных (т. е. резко выделяющихся, нетипичных для данного ряда) наблюдений. Аномальные наблюдения проявляются в виде сильного изменения уровня – скачка или спада – с последующим приблизительным восстановлением предыдущего уровня. Наличие аномалии резко искажает результаты моделирования. Поэтому аномальные наблюдения необходимо исключить из временного ряда, заменив их расчетными значениями
Устойчивость характеризуется преобладанием закономерности над случайностью в изменении уровней ряда. На графиках устойчивых временных рядов закономерность прослеживается визуально, на графиках неустойчивых рядов изменения последовательных уровней представляются хаотичными, и поэтому поиск закономерностей в формировании значений уровней таких рядов лишен смысла.
Требование полноты данных обусловливается тем, что закономерность может обнаружиться лишь при наличии минимально допустимого объема наблюдений.
Следует иметь в виду, что при исследовании временных рядов экономических данных проверка выполнимости перечисленных требований в должной мере зачастую невозможна. Поэтому выводы, полученные на базе формально-статистического инструментария, должны восприниматься с осторожностью и дополняться содержательным анализом.
экстраполяционное прогнозирование экономических процессов, представленных одномерными временными рядами, сводится к выполнению следующих основных этапов:
1) предварительный анализ данных;
2) построение моделей: формирование набора аппроксимирующих функций (кривых роста) и численное оценивание параметров моделей;
3) проверка адекватности моделей и оценка их точности;
4) выбор лучшей модели;
5) расчет точечного и интервального прогнозов
В ходе предварительного анализа определяют соответствие имеющихся данных требованиям, предъявляемым к ним математическими методами (объективности, сопоставимости, полноты, однородности и устойчивости); строится график динамики и рассчитываются основные динамические характеристики (приросты, темпы роста, темпы прироста, коэффициенты автокорреляции).
Для получения общего представления о динамике исследуемого показателя целесообразно построить его график. При графическом отображении динамики показателя во времени по оси абсцисс откладываются значения переменной t, а по оси ординат - соответствующие значения показателя Y(t).
К процедурам предварительного анализа относятся:
· выявление аномальных наблюдений;
· проверка наличия тренда;
· сглаживание временных рядов;
· расчет показателей развития динамики экономических процессов.
Так как наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования, то необходимо убедиться в отсутствии аномалий данных. Поэтому процедура выявления аномальных наблюдений
является обязательной процедурой этапа предварительного анализа данных. Для диагностики аномальных наблюдений разработаны различные критерии, например, метод Ирвина }
