Основные признаки делимости

Деление на двузначное число — сложная операция, требующая тренированной памяти для запоминания начальной и промежуточной информации.

Как и в других разделах, начинайте с отработки наиболее простых упражнений, параллельно осваивая более сложные.

Методика деления

При устном делении запоминайте цифры парами разрядов, например, 3542 как «тридцать пять — сорок два».

Если делимое четырехзначное, то первым делом определите число сотен в ответе, поделив первую пару цифр на делитель. Дальше работайте с остатком от этого деления и второй парой. Например, при делении 3542 на 11, число сотен в ответе — 3, а деление 242 на 11 дает 22, то есть ответ — 322.

Способы деления для различных комбинаций чисел даны в следующих примерах.

На первом этапе не обращайте внимания на остатки от деления — на практике обычно достаточно приближенного ответа.

Во всех примерах в круглых скобках показывается остаток от деления.

Деление на 11-19

A.1. Умножение до 19×9.

Деление — операция, обратная умножению. Выучите наизусть таблицу умножения до 19×9 — это позволит быстро делить на числа, меньшие 20. Для тренировки используйте пример:

× =

A.2. Деление двузначного числа.

Вычислите целую часть и остаток:

: =

A.3. Деление на 11.

: =

Деление на 11 проще всего выполнить обычным способом, «в столбик».

• При делении четырехзначного числа сначала определите число сотен в ответе, поделив первые две цифры числа на 11. Дальше работайте с остатком и второй парой цифр.
• Полезно помнить, что 1001 = 7 × 11 × 13 = 91 × 11. Например, при делении 1023 на 11 сразу получаем 93.

Трехзначные числа можно научиться делить на 11 сразу, если помнить правило умножения двузначного числа на 11. Например:

• 577: 11 = 52 (5). Сразу видно, что 572 делится нацело на 11 (5 + 2 = 7) и дает 52.
• 642: 11 = 58 (4). Сразу видно, что 638 делится нацело на 11 и дает 58 (5 + 8 = 13).

A.4. Деление на 13.

: =

При делении на 13 полезно помнить:

• 1001 = 7 × 11 × 13 = 77 × 13.
• 104 = 8 × 13.

Алгоритм деления на 13 на примере числа 6357:

• Сначала воспользуемся тем, что 1001 = 7 × 11 × 13. Значит, 6006: 13 = 42 × 11 = 462 (используем правило умножения на 11).
• Далее, нужно поделить 357 − 6 = 351 на 13. Так как 104 = 8 × 13, то 312: 13 = 24.
• Остается поделить 351 − 312 = 39 на 13, что дает 3.
• Складываем, получаем ответ: 489.

Иногда проще делить обычным способом, «в столбик», например, 5265: 13 = 405, так как 52: 13 = 4, 65: 13 = 5.

A.5. Деление на 15.

: =

При делении на 15:

• Определите число сотен в ответе, поделив первые две цифры четырехзначного числа на 15.
• Оставшееся число умножьте на 2, затем поделите на 30.

A.6. Деление на 17.

: =

При делении на 17 полезно помнить:

• 102 = 6 × 17.
• 1020 = 60 × 17.
• 1003 = 59 × 17.

Алгоритм деления на 17 на примере числа 4493:

• Сначала определим число сотен в ответе: 44: 17 = 2 (10).
• При делении 1093 на 17 используем то, что 1020: 17 = 60, а 73: 17 = 4 (5).
• Складываем, получаем ответ: 264 (5).

Иногда проще делить обычным способом «в столбик», например, 3572: 17 = 210 (2), так как 34: 17 = 2, 172: 17 = 10 (2).

A.7. Деление на 19.

: =

При делении на 19 полезно помнить: 100: 19 = 5 (5).

Алгоритм деления на 19 на примере числа 4126:

• Сначала определим число сотен в ответе: 41: 19 = 2 (3).
• Чтобы поделить 326 на 19, воспользуемся тем, что 100: 19 = 5 (5), поэтому 300: 19 = 15 (15), а 41: 19 = 2 (3). Значит, 326: 19 = 17 (3).
• Складываем, получаем ответ: 217 (3).

Иногда проще делить обычным способом «в столбик», например, 1938: 19 = 102.

A.8. Деление на 12, 14, 16, 18.

: =

При делении на четное число сначала определите число сотен в ответе, поделив первые две цифры четырехзначного числа на делитель.

Для оставшегося числа либо сократите делимое и делитель на 2 и дальше делите на однозначное число, либо используйте свойства:

• 96 = 8 × 12.
• 96 = 6 × 16.
• 98 = 49 × 2 = 7 × 14.
• 90 = 18 × 5.

• 2149: 12 = 1 (сотня) + 9 × 8 + (9 × 4 + 49)/12 = 179 (1).
• 2149: 18 = 1 (сотня) + 3 × 5 + (3 × 10 + 49)/18 = 119 (7).

Деление на 21-99

Б.1. Деление на 91-99.

: =

• В первом приближении ответ — число сотен в делимом (45).
• Число 100 больше 94 на 6. Чтобы посчитать следующее приближение, умножьте число сотен делимого на 6 и добавьте две последние цифры: 45 × 6 + 35 = 305.
• Поделите его на 94 тем же способом: 305: 94 = 3 (3×6+5) = 3 (23).
• Сложите ответы. Итого: 4535: 94 = 48 и 23/94.

Иногда таким же способом удобно делить на 89 (так как легко умножать на 11 в промежуточных вычислениях).

Б.2. Деление на числа, заканчивающиеся на 9.

: =

В этом случае также удобно применять метод округления. Например, нужно поделить 3426 на 29.

• Округлите делитель в большую сторону (из 29 получаем 30).
• Поделите на 30 и вычислите остаток: 3426: 30 = 114 (6). Это уже дает приближенный ответ — примерно 114.
• Чтобы посчитать следующее приближение, сложите ответ и остаток: 114 + 6 = 120.
• Поделите на 30 и вычислите остаток: 120: 30 = 4 (0). Таким образом, целая часть ответа равна 114 + 4 = 118. А остаток равен сумме последнего ответа (4) с последним остатком (0), то есть 4. Итого: 3426: 29 = 118 и 4/29.

Б.3. Деление на числа, заканчивающиеся на 7 и 8.

: =

Метод округления можно применять и в этом случае.

Пример деления 6742 на 48 методом округления (до 50):

• Первое приближение: 67 × 2 = 134.
• Новое делимое: 134 × 2 + 42 = 310.
• Второе приближение: 134 + 6 = 140 (число 6 — это 300:5).
• Остаток: 6 × 2 + 10 = 22.
• Ответ: 6742: 48 = 140 (22).

По мере освоения метода им можно также пользоваться при делении на числа, заканчивающиеся на 5 и 6 (что сложнее, так как требует умножения на 5 и 4 в промежуточных вычислениях).

Б.4. Деление на числа, кратные 11.

: =

При делении на числа, кратные 11:

• Если делимое четырехзначное, то сначала определите число сотен в ответе. Для этого поделите первую пару цифр делимого на делитель. Дальше работайте с остатком от этого деления и второй парой.
• Сократите числитель и знаменатель на 11. Обычно это нетрудно, так как на 11 легко делить, и при этом делимое сокращается на один разряд. Если делимое не делится на 11, отбросьте от него несколько единиц, которые потом можно будет добавить в остаток.
• Далее делите на оставшийся множитель исходного делителя.

При делении на 33 иногда удобнее умножить делимое и делитель на 3. Тогда число сотен в новом делителе сразу дает приближенный ответ.

Пример 1. Деление 4359 на 33.

• Сначала определяем число сотен в ответе: 43: 33 = 1 (10). Далее работаем с числом 1059.
• Умножим делимое и делитель на 3: 1059: 33 = 3177: 99. Первое приближение равно числу сотен в новом делителе: 31. Остаток — 31 + 77 = 108. Таким образом, 3177: 99 = 32 и 9/99.
• Ответ: 132 и 3/33 (остаток приведен к исходному делителю 33).

Иногда проще сократить не на 11, а на другой множитель делителя.

Пример 2. Деление 6230 на 55.

• Сократим делимое и делитель на 5 (для делимого — отбросим ноль и умножим на 2): 6230: 55 = 1246: 11.
• Делим 1246 на 11 «в столбик», получаем 113 и 3/11.
• Ответ: 113 и 15/55 (остаток приведен к исходному делителю 55).

Б.5. Деление на числа, заканчивающиеся на 1.

: =

Числа, заканчивающиеся на 1, как правило, проще всего делить «в столбик».

Б.6. Деление на числа, заканчивающиеся на 5.

: =

В этом случае можно применить метод округления из примера Б.3, деление «в столбик» или метод сокращения на 5, как описано здесь.

Пример. Деление 8117 на 65:

• Если делимое четырехзначное, то сначала определите число сотен в ответе. Для этого поделите первую пару цифр делимого на делитель. Дальше работайте с остатком от этого деления и второй парой. В данном случае: число сотен — 1, новое делимое — 1617.
• Округлите делимое вниз до десятков и сократите его на 5, то есть поделите на 10 и умножьте 2: 1610: 5 = 161 × 2 = 322.
• Поделите результат на делитель, также сокращенный на 5: 322: 13 = 24 и 10 в остатке.
• Определите остаток: 7 + 10 × 5 = 57. Таким образом, 8117: 65 = 124 и 57/65.

• Умножьте сотни делимого на 4: 32 × 4 = 128.
• Поделите две последние цифры делимого на 25 и посчитайте остаток: 68: 25 = 2 и 18 в остатке.
• Сложите два ответа: 3268: 25 = 130 и 18/25 (т.е. 130,72).

Если делитель — 75, то поделите сначала на 25, затем на 3.

Б.7. Деление трехзначных чисел.

: =

• Первым делом определите и запомните число десятков в ответе — это позволит избежать крупной ошибки. Для этого поделите первые две цифры делимого на делитель. Например, при делении 943 на 34, количество десятков в ответе — 2, а при делении 325 на 43 — 0 (32 меньше 43).

Б.8. Деление четырехзначных чисел.

: =

• Первым делом определите и запомните число сотен в ответе — это позволит избежать крупной ошибки. Для этого поделите первые две цифры делимого на делитель.
• Попытайтесь применить методы из упражнений Б.1-Б.6, а если они не подходят, делите обычным способом, «в столбик».
• Если делитель — кратное небольшого числа, попробуйте сократить на него делимое и делитель. При этом, если делимое не делится на это число, отбросьте от него нужное количество единиц, чтобы делилось (затем учтите их при расчете остатка). Для двузначного числа нетрудно определить, разлагается ли оно на множители — для этого нужно проверить делимость на числа 2, 3, 5 и 7.

Применение навыков делимости упрощает вычисления, и соразмерно повышает скорость их исполнения. Разберем детально основные характерные особенности делимости .

Наиболее незамысловатый признак делимости для единицы : на единицу делится все числа . Так же элементарно и с признаками делимости на два , пять , десять . На два можно поделить четные число либо то у которого итоговая цифра 0, на пять - число у которого конечная цифры 5 или 0. На десять поделятся только те числа, у которых заключительная цифра 0, на 100 — только те числа, у которых две заключительных цифры нули, на 1000 — только те, у которых три заключительных нуля.

Например:

Цифру 79516 можно разделить на 2, так как она заканчивается на 6— четное число ; 9651 не поделится на 2, так как 1 - цифра нечетная; 1790 поделится на 2, так как конечная цифра нуль. 3470 поделится на 5 (заключительная цифра 0); 1054 не поделится на 5 (конечная цифра 4). 7800 поделится на 10 и на 100; 542000 поделится на 10, 100, 1000.

Менее широко известны, но весьма удобны в использовании характерные особенности делимости на 3 и 9 , 4 , 6 и 8, 25 . Имеются так же характерные особенности делимости на 7, 11, 13, 17, 19 и так далее, но ими пользуются на практике значительно реже.

Характерная особенность деления на 3 и на 9 .

На три и/или на девять без остатка разделятся те числа, у которых результат сложения цифр кратен трем и/или девяти.

Например :

Число 156321, результат сложения 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 поделится на 3 и поделится на 9, соответственно и само число можно поделить на 3 и 9. Число 79123 не поделится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (22) не поделится на эти числа.

Характерная особенность деления на 4, 8, 16 и так далее .

Цифру можно без остатка разделить на четыре , если у нее две последние цифры нули или являются числом , которое можно поделить на 4. Во всех остальных вариантах деление без остатка не возможно.

Например :

Число 75300 поделится на 4, так как последние две цифры нули; 48834 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4; 35908 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся на 4.

Схожий принцип пригоден и для признака делимости на восемь . Число делится на восемь, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. В прочих случаях частное, полученное от деления, не будет целым числом.

Такие же свойства для деления на 16, 32, 64 и т. д., но в повседневных вычислениях они не используются.

Характерная особенность делимости на 6.

Число делится на шесть , если оно делится и на два и на три, при всех прочих вариантах, деление без остатка невозможно.

Например:

126 поделится на 6, так как оно делится и на 2 (заключительное четное число 6), и на 3 (сумма цифр 1 + 2 + 6 = 9 делится на три)

Характерная особенность делимости на 7.

Число делится на семь если разность его удвоенного последнего числа и "числа, оставшегося без последней цифры"делится на семь, то и само число делится на семь.

Например :

Число 296492. Возьмем последнюю цифру "2", удваиваем, выходит 4. Вычитаем 29649 - 4 = 29645. Проблематично выяснить делится ли оно на 7, следовательно анализируемом снова. Далее удваиваем последнюю цифру "5", выходит 10. Вычитаем 2964 - 10 = 2954. Результат тот же, нет ясности, делится ли оно на 7, следовательно продолжаем разбор. Анализируем с последней цифрой "4", удваиваем, выходит 8. Вычитаем 295 - 8 = 287. Сверяем двести восемьдесят семь - не делится на 7, в связи с этим продолжаем поиск. По аналогии последнюю цифру "7", удваиваем, выходит 14. Вычитаем 28 - 14 = 14. Число 14 делится на 7, итак исходное число делится на 7.

Характерная особенность делимости на 11 .

На одиннадцать делятся только те числа, у которых результат сложения цифр, размещающихся на нечетных местах, либо равен сумме цифр, размещающихся на четных местах, либо отличен на число, делящееся на одиннадцать.

Например:

Число 103 785 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, 1 + 3 + 8 = 12 равна сумме цифр, размещающихся на четных местах 0 + 7 + 5 = 12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, размещающихся на четных местах, есть 1 + 3 + 2 = 6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461 025 не делится на 11, так как числа 4 + 1 + 2 = 7 и 6 + 0 + 5 = 11 не равны друг другу, а их разность 11 - 7 = 4 не делится на 11.

Характерная особенность делимости на 25 .

На двадцать пять поделятся числа , две заключительные цифры которых нули или составляют число, которое можно разделить на двадцать пять (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). При прочих вариантах - число невозможно поделить целиком на 25.

Например:

9450 поделится на 25 (оканчивается на 50); 5085 не делится на 25.

Чтобы устно умножить число на 3 / 4 (т. е. чтобы найти 3 / 4 этого числа), умножают число на 1 1 / 2 и делит пополам. Например:

30 * 3 / 4 = (30+15)/2= 22 1 / 2 (или 22,5)

Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины.

Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 1 1 / 2 , (потому что 10*1 1 / 2 =15) Например:

18*15=18*1 1 / 2 *10=270

Запомнив это, легко выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9, 12 и т. п.

37*12=37*3*4=444

37*15=37*3*5 =555 и т. д,

Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода:

77*39=3003 и т. д.

91*33=3003 и т. д.

143*21=3003 и т. д.

В нашей книжечке указаны только простейшие, наиболее удобоприменимые способы устного выполнения действий умножения, деления и возвышения в квадрат. Практикуясь в сознательном пользовании ими, вдумчивый читатель выработает для себя ряд еще и других приемов, облегчающих вычислительную работу.