Сложные проценты. Отсюда получаем

Сложные проценты

Наращение по сложным процентам

Сложными называются ставки процентов, которые применяются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. Основное отличие сложных процентов от простых заключается в том, что база для начисления процентов меняется от одного расчётного периода к другому. Механизм наращения первоначального капитала по сложным процентам называется капитализацией процентов.

Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга.

Существуют два способа начисления сложных процентов: антисипативный и декурсивный. Рассмотрим декурсивный метод расчёта сложных процентов. В этом случае начисление процентов на первоначальную сумму производится в конце периода наращения. В конце первого периода (года) наращенная сумма равна:

S =P (1+i ).

В конце второго периода (года) проценты начисляются на уже наращенную сумму

S =P (1+i )(1+i )=P (1+i ) 2 ,

S=P (1+i ) n . (1.11)

Формула (1.11) называется формулой наращения по сложным процентам (формулой сложных процентов ). Множитель (1+i ) n в формуле (1.11) является коэффициентом наращения.

Формулы удвоения суммы

В целях оценки своих перспектив кредитору и должнику интересно знать, через сколько лет сумма ссуды возрастёт в N раз при данной процентной ставке. Для этого приравняем коэффициент наращения величине N , в результате получим:

а) для простых процентов 1+ni =N , тогда

б) для сложных процентов (1+i ) n =N , тогда

Для случая N= 2 формулы (1.12) и (1.13) называются формулами удвоения и принимают следующий вид:

а) для простых процентов

n= 1/i ; (1.14)

б) для сложных процентов

При небольших ставках процентов (менее 10%) вместо формулы (1.22) можно использовать приближённую формулу, если учесть, что ln 2»0,7, а ln(1+i )»i . Тогда

n» 0,7/i. (1.16)

□ Пример 1.5. За сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов, равной 5%?

1. Случай простых процентов:

n= 1/0,05=20 лет.

2. Случай сложных процентов, вычисленных по точной формуле:

лет.

3. Случай сложных процентов, вычисленных по приближённой формуле:

n »0,7/0,05=14 лет.

Таким образом, одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к различным результатам, при малых значениях ставки сложных процентов точная и приближённая формулы дают практически одинаковые результаты.■

Начисление сложных процентов при дробном числе лет

Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, то наращенную сумму можно найти различными способами:

S=P (1+i ) n ,

2. смешанным методом, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное - простые

S=P (1+i ) [n ] (1+{n }i ), (1.17)

где [n ] - целая часть числа n ; {n } - дробная часть числа n .

3. в ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т. е.

S=P (1+i ) [n ] . (1.18)

Номинальная ставка

В контрактах на получение кредитов часто предусматривается капитализация процентов по полугодиям, кварталам, иногда помесячно. Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году m. Тогда каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставка j называется номинальной . Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле

, (1.19)

где N=mn - число периодов начисления, n - число лет.

Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, а начисление процентов производится m раз в году, то наращенная сумма может быть определена несколькими способами, приводящими к различным результатам:

1. по формуле сложных процентов

, (1.20)

где N/t - число периодов начисления процентов, t - период начисления процентов;

2. по смешанному методу

, (1.21)

где [N/t ] - число полных периодов начисления процентов, {N/t } - дробная часть одного периода начисления процентов.

□ Пример 1.6. На сумму 600 ден. ед. ежеквартально по ставке 12% годовых начисляются сложные проценты в течение 14 месяцев. Определите величину наращенной суммы двумя методами.

Решение. Общее число периодов начисления процентов составит , т. е. 4 квартала и 2 месяца. По формуле сложных процентов наращенная сумма будет равна

ден. ед.

Используя смешанный метод начисления, наращенная сумма составит:

ден. ед.

Если дробную часть не учитывать, то наращенная сумма будет равна:

ден. ед.

Из полученных результатов расчёта следует, что для ссудодателя выгоднее смешанный метод начисления процентов, т. к. итоговая сумма получается максимальной, а для заёмщика предпочтительнее третий вариант, т. к. итоговая сумма минимальна. ■

Переменные ставки сложных процентов

Нестабильность экономической ситуации вынуждает банки использовать в кредитных сделках изменяющиеся во времени, но заранее фиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В этом случае наращенная сумма может быть определена по формуле:

где P - первоначальная сумма; i t - ставка простых процентов в периоде с номером ; n t - продолжительность периода начисления по ставке i t .

1.2.2 Сложные учётные ставки

Наращение по сложной учётной ставке

Принцип начисления сложных антисипативных процентов аналогичен методу начисления простых антисипативных процентов. В первом периоде наращенная сумма определяется по формуле

во втором периоде она будет равна

,

где d - учётная ставка сложных процентов; n - число лет. Формула (1.23) называется формулой наращения по сложным антисипативным процентам (формулой сложных антисипативных процентов ). Множитель в формуле (1.23) является коэффициентом наращения.

Номинальная учётная ставка процентов

В тех случаях, когда начисление сложных антисипативных процентов производят m раз в году, используют номинальную учётную ставку f . Тогда каждый раз проценты начисляются по ставке f/m , и наращенная сумма определяется по формуле

где, N=mn - число периодов начисления, n - число лет.

□ Пример 1.7. Срочный вклад в размере 800 ден. ед. положен в банк на 2,5 года. По условиям договора начисления процентов производится один раз в году по сложной учётной ставке d =15% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение. Наращенная сумма составит

ден. ед.

Если наращение по учётной ставке производить не один, а два раза в год (m =2), то наращенная сумма будет равна:

ден. ед. ■

Сложная процентная ставка

Формулы наращения

Сложная процентная ставка наращения – это процентная ставка, при которой база начисления, в отличие от простых процентов, является п е р е м е н н о й, т.е. проценты начисляются на проценты.

Также заранее оговаривается некоторый единичный промежуток начисления процентов (год, месяц, квартал и т.д.) и ставка процента i (илиi % = 100i ). Пусть начальная сумма долга равнаP . Тогда через единичный промежуток сумма долга составитS 1 =P (1+i ), как и в случае простых процентов. Однако к концу 2-го единичного промежутка сумма долга составитS 2 =S 1 (1+i ) =P (1+i )2 (в отличие от формулыS 2 =P (1+2i ) для простых процентов. К концу 3-го периода получаемS 3 =S 2 (1+i ) =P (1+i )3 . И т.д. К концу n -го единичного промежутка получаем

S n =P (1+i )n .

Итак, через n промежутков начальная суммаP увеличится в (1+i )n раз. Множитель (1+i )n называетсямножителем наращения . Отметим, что наращение по сложным процентам представляет рост начальной суммы по закону геометрической прогрессии, первый член которой равенP , а знаменатель 1+i .

Задача 1 . Исходная сумма вкладаP = 40 000 р. Процентная ставкаi %=10% годовых. Определить наращѐнную по сложным процентам за 3 года, а затем сравнить ее с суммой наращения по схеме простых процентов.

Решение . Применяя формулу (1) имеем

S 3,слож =P (1+i )3 = 40 000 (1+0.1)3 = 53 240 р.

Вычислим наращѐнную сумму по схеме простых процентов:

S 3,пр =P (1+3i ) = 40 000 (1+0.3) = 52 000 р. < 53 240 р.

Итак, в рассматриваемом случае использование сложных процентов приводит к большей наращѐнной сумме, что выгоднее вкладчику по сравнению с наращением по схеме простых процентов.

Формула наращения сложных процентов (1), выведенная для целых

положительных n , применима и для нецелыхt					0: S t	P (1+i )t .
Задача 2 . Какой величиныS 4.6	достигнет долг, равный 8 000 р., через 4.6 года
при росте по сложной ставке процента i =20% годовых.
Решение . По условию задачиP = 8 000 р. Тогда
S 4.6 =P (1+i )t = 8 000(1+0.2)4.6
Итак, через 4.6 года долг достигнет значения 18 506 р. 48 коп.
В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула
наращѐнной суммы принимает вид
S = P (1	i )n 1 (1			) n2	...(1			) nm .

Здесь P – начальная сумма,n k – продолжительность k -го периода начисления процентов иi k – ставка простых процентов в периоде с номеромk .

Задача 3 . В договоре об обслуживании банковского вклада в течение 4-х лет зафиксирована переменная ставка сложных процентов следующим образом. В 1-й год – 6% годовых, во 2-й и 3-й год ставка одна и та же – 5% годовых, в 4-й год

– 8%. Определить величину множителя наращения за 4 года.

Решение . ПустьP – некоторая начальная сумма. По условию задачи

i 1 = 0.06,i 2 =i 3 = 0.05,i 4 = 0.08.

Обозначим i 23 = 0.05. Имеем в соответствии с формулой (2):

S = P (1 i 1 ) 1 (1 i 23 ) 2 (1 i 4 ) 1 =P (1+0.06)(1+0.05)2 (1+0.08).

В результате вычислений получаем значение множителя наращения:

S /P = (1+0.06)(1+0.05)2 (1+0.08) = 1.262142.

Сравнение силы роста простых и сложных процентов

При одной и той же ставке процента i наращение сложных процентов:

идет быстрее, чем простых процентов, если длина периода наращения больше единичного периода;

идет медленнее, чем простых процентов, если длина периода наращения меньше единичного периода.

Ранее было отмечено, что наращение для единичного периода одинаково, независимо от того, используется схема простых процентов или сложных.

Обоснуем сказанное. В самом деле при i > 0:

если t >1, то (1+i )t > 1+it ; если 0

Для доказательства этого факта рассмотрим функции f (t ) = (1+i )t иg (t ) = 1+it . Очевидно,f (0) =g (0),f (1) =g (1) и обе функции возрастают приt 0 не только по их содержательному смыслу, но и формально ввиду положительности их производныхf (t ) = (1+i )t ln (1+i ) иg (t ) =i . В то же время производная второго порядкаf (t ) = (1+i )t ln 2 (1+i ) положительна приt 0, что означает выпуклость вниз функцииf (t ) приt 0 (т.е. ускоренный рост). При этом функцияg (t ) растет линейно

(g (t ) = 0).

На графике изображены функции f (t ) = (1+i )t иg (t ) = 1+it в зависимости отt :

Пример . Пусть суммаP =800 наращивается по ставке i=8% простых и сложных процентов. Тогда наращѐнные суммы таковы

Для оценки своих перспектив кредитору и должнику зачастую важно знать, через сколько времени сумма ссуды возрастает в N раз при данной процентной ставкеi . Для этого приравняем множитель наращения величинеN , в результате чего получим:

a) для простых процентов 1 + ni =N , откудаn = (N –1) / i .

b) для сложных процентов (1 + i )n =N , откудаn = lnN / ln(1 +i ).

Решение . По условию задачиi =0.04,N =2. Имеем

a) для простых процентов n = (N –1) / i = 1 /i , откудаn = 1/0.04 = 25 лет

b) для сложных процентов n = lnN / ln(1 +i ), откудаn = ln 2/ln(1.04) 17.67 лет. Расчет по схеме сложных процентов быстрее удваивает долг.

Некоторые способы начисления процентов при дробном числе лет

В практике финансовых учреждений при дробном числе лет t проценты начисляются по-разному. Рассмотрим три основных способа начисления.

1. По формуле сложных процентов: S = P (1+i )t .

2. На основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное – простые: S = P (1+i )n (1+bi ), гдеt=n+b ,n – целое число лет,b – дробная часть года.

3. В ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезок времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е.

S = P(1+ i) n .

Задача 5 . Размер ссуды, представленной на 27 месяцев, равен 100 000 р. Годовая процентная ставка равна 20%. Вычислить наращѐнную сумму указанными тремя способами.

Решение . По условию задачи срок ссуды составляет 2.25 года. Имеем следующие расчеты.

По 1-му способу:S I = 100 000(1+0.2)2 . 2 5 150 715 р. 46 коп. По 2-му способу:S II = 100 000(1+0.2)2 (1+0.25 0.2) = 151 200 р. По 3-му способу:S III = 100 000(1+0.2)2 = 144 000 р.

Формулы дисконтирования в случае сложных процентов

Задача 6 . Выписать таблицу для дисконтного множителя (1+i )– n при сроке ссуды 5, 10 и 20 лет; сложная ставка наращения составляет 10% и 20%.

Решение . Результаты расчетов по формуле (3) приведены в таблице

Если осуществляется дисконтирование по схеме банковского (коммерческого) учета, то изначально оговаривается учетная ставка d , 0d <1. Она применяется не к начальной сумме, как при простой учетной ставке, а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем промежутке времени. Размер дисконта, или учета, удерживаемого финансовым учреждением, равен

P = S(1– d) n .

Задача 7 . Вексель на сумму 20 000 р., срок платежа по которому наступает через 1.5 года, учтен по сложной процентной ставке 18% годовых. Определить сумму, полученную владельцем векселя при учете, а также соответствующий дисконт.

Решение . Здесь по условию задачиS =20 000,n =1.5,d =0.18. Тогда по формуле (4) получаем следующие результаты расчетов:

сумма, получаемая владельцем P = 20 000(1 – 0.18)1.5 14850 р. 83 коп.,

дисконт D = S – P 20 000 – 14850.83 = 5149 р. 17 коп.

Несомненно, выгодность банковского вклада, в первую очередь, определяет процентная ставка. Ведь именно на нее ориентируется каждый потенциальный клиент. Но, на самом деле, вкладчику нужно, в частности, обратить внимание не на годовую процентную ставку, а на метод начисления прибыли. Ведь в финансовой системе банка существуют два понятия: простой и сложный процент. А для каждого вкладчика нужно точно знать, что такое простые и сложные проценты понятие и формулы, чтобы определить, какой вклад будет наиболее выгодный для него.

Что такое простой процент

В первую очередь, простой процент – это начисление вознаграждения за размещение вклада на банковском счете за весь период хранения средств. Если говорить простыми словами, то простой процент начисляется лишь по окончании срока действия депозитного договора, он определяется в годовой процентной ставке. Причем, если договор автоматически продлевается на следующий срок, то вознаграждение за предыдущий период не причисляется к телу депозита.

Чтобы максимально точно понять, что такое простая система начисления прибыли рассмотрим пример. Вы разместили в банке 50000 рублей под 7% годовых на один год. По окончании срока действия договора ваша прибыль составит 50000×0,07=3500 рублей. При автоматической пролонгации договора на следующий срок ваша прибыль составит снова 3500 рублей. То есть спустя 2 года вы сможете в банке получить 50000+3500+3500=57000 рублей.

Важно! Формула расчета простых процентов выглядит следующим образом: K=D×p. Где K – сумма прибыли, D – тело депозита, p – годовая процентная ставка (в формуле нужно указывать не годовую ставку, а ставку, деленную на 100).

Если вы размещаете средства на срок меньше чем на один год, то соответственно процентная ставка годовая делится на 12 и умножается на количество месяцев, в течение которых средства были на банковском счете. Например, если срок депозита 3 месяца, а процентная ставка 10% в год, то общая прибыль рассчитывается следующим образом.0,1/12×3=0,025. Например, если вы разместили 50000 рублей сроком на 3 месяца, то прибыль по окончании срока действия договора будет следующий: 50000×0,025=1250 рублей.

Формулы простых и сложных процентов

Сложные проценты по вкладу

Отличие простых процентов от сложных на самом деле довольно большое. При выборе депозитного продукта наверняка каждому приходилось слышать о таком понятии, как капитализация. То есть это та схема начисления прибыли, при которой начисленная прибыль причисляется к телу депозита, а на него в будущем снова начисляется доход.

Обратите внимание, что капитализация осуществляется с определенной периодичностью, например, один раз в неделю, в месяц в квартал или год.

Отсюда можно сделать вывод, что капитализация позволяет получить большую прибыль по сравнению с простым процентом. Чтобы наглядно в этом убедиться рассмотрим формулу расчета сложных процентов, а выглядеть она будет следующим образом: B=(K×H×P/N)/100 , где:

• B – размер начисленной прибыли;
• K – тело депозита;
• H – годовая ставка;
• P – количество дней, в течение которых происходит капитализация;
• N – число дней в году.

Чтобы наглядно понять, как именно будет рассчитываться сложный процент. Рассмотрим простой пример. Сумма депозита 50000 рублей процентная ставка в год 7%, капитализация осуществляется ежемесячно, срок действия договора один год. Произведем расчет прибыли за первый месяц пользования депозитом: B=(50000×7×30/365)/100=287,6 рублей – это прибыль за первый месяц. В следующем периоде расчет будет выглядеть следующим образом: B=(50287,6×7×31/365)/100=298,9 рублей.

Из вышеприведенного примера можно сделать вывод, что капитализация позволяет получать с каждым месяцем большую прибыль по сравнению с предыдущим. Вот только при выборе депозитного предложения обязательно обратить внимание, с какой периодичностью осуществляется капитализация процентов, чем чаще, тем больше выгоды получает клиент.

В чем отличие

На самом деле система начисления процентов по вкладам сильно различается в первую очередь по той причине, что с капитализацией процентов выгода депозита может быть значительно выше, нежели при простой системе. Потому что при простой системе прибыль растет в арифметической прогрессии, а при сложной в геометрической. Чтобы наглядно в этом убедиться, ниже приведена схема сложных процентов в сравнении со схемой простых процентов.

Схема сложных процентов в сравнении со схемой простых процентов

Но, в этом вопросе также есть подводные камни. Условия банковских вкладов строго индивидуальны, поэтому при выборе депозитного продукта в первую очередь обратите внимание на количество периодов капитализации за весь срок действия договора. Например, банк указывает, что по вашему депозитному договору предусмотрена капитализация процентов, но она осуществляется 1 раз в 6 месяцев, то есть первый доход, вы получите спустя полгода после заключения соглашения с банком. При этом вы решили разместить средства лишь на 3 месяца, соответственно, вы получите свои средства раньше, чем банк проведет капитализацию процентов и в данном случае целесообразней выбрать простой расчет процент по вкладу.

Важно! Большинство банков предлагают по одному и тому же депозитному предложению своим клиентам сделать выбор получать прибыль с определенной периодичностью или причислять себя к телу депозита, соответственно, у клиента есть возможность выбрать по какой системе простой или сложной, он хотел бы получать свой доход.

На самом деле понять, в чем состоит принципиальная разница между простыми и сложными процентами достаточно просто, но все же нюанс заключается в том, что банки в договоре не указывают такие понятия, как простые и сложные проценты каждый потенциальный вкладчик должен обращать внимание на все условия договора. Если в договоре указано, что проценты выплачиваются по окончании срока действия договора, соответственно, капитализация по такому договору не предусмотрена.

Расчеты с простыми процентными ставками проводятся достаточно легко и просто. Однако они имеют ограниченное применение.

Допустим, что банк выплачивает простые проценты в течение 3 лет по ставке i. При первоначальном вкладе, равном Р, вкладчик через год будет иметь на счете сумму S 1:

S 1 = P (1 + i),

через 2 года — сумму S2 :

S 2 = P (1 + 2 i),

через 3 года — сумму S3 :

S 3 = P (1 + 3 i).

Однако вкладчик может через год закрыть счет, получить сумму S1 , включающую проценты, и положить эту сумму на новый счет. В конце следующего года он может повторить эту операцию. В результате после первого года он получит сумму S’1 , равную прежней сумме S1 :

S = S 1 = P (1 + i),

после второго года уже новую сумму S’1 :

после третьего года сумму S’3 :

Новые суммы будут больше прежних, поскольку в них содержатся проценты не только на первоначальный вклад, но и на уже начисленные ранее проценты. В математической форме это соответствует неравенствам:

Таким образом, вкладчику выгодно снимать деньги со счета и класть их на другой счет. Проводить такую операцию каждый квартал выгоднее, чем каждый год, а каждый месяц выгоднее, чем каждый квартал. Чем чаще вкладчик перекладывает деньги, тем больший доход он получит. Следовательно, значительная часть вкладчиков банка будет стремиться проводить такую операцию.

Для банка же это сопряжено с разного рода затруднениями в работе. Во-первых, для проведения таких операций банку необходимо держать дополнительный резерв денежных средств. Во-вторых, обилие таких операций затрудняет текущую банковскую работу. Наконец, в-третьих, вкладчик, закрыв счет, может положить полученные деньги в другой банк, условия которого в данный момент покажутся ему более выгодными.

В связи с этим банки сами берут на себя инициативу проведения такой операции. Проценты, возникающие по вкладу, присоединяются к вкладу, так что новые проценты начисляются на увеличенную сумму, включающую начисленные ранее проценты. Такая операция называется начислением сложных процентов.

Рост суммы в соответствии со сложными процентами можно представлять себе как рост по простым процентам, применяемым к увеличивающейся сумме, включающей в себя ранее накопленные проценты, т. е. как периодическое реинвестирование средств, вложенных под простые проценты, в каждом периоде начисления.

На практике при расчете сложных процентов обычно некоторый промежуток времени принимают за стандартный период начисления (год, квартал, месяц и т. д.) и дальше рассчитывают проценты, начисляемые за такие одинаковые стандартные периоды. Другими словами, время при таких вычислениях рассматривается как дискретная величина, измеряемая стандартными периодами. При этом говорят о дискретных процентах.

Если уменьшать длину такого стандартного промежутка, от квартала перейти к месяцу, неделе, дню и т. д., то в пределе мы от дискретных процентов перейдем к непрерывным процентам, начисляемым за бесконечно малый промежуток времени.

2.1.1. Рост суммы при сложной процентной ставке

Пусть первоначальная сумма равна Р и она растет в соответствии со сложной процентной ставкой, равной i за один период времени. Через n таких периодов выросшая сумма S будет определяться следующей формулой (формулой сложных процентов):

S = P (1+i) n

Величину (1+i) n называют обычно коэффициентом роста, или множителем наращения. Она показывает, в какую денежную сумму превратится каждый рубль первоначально вложенных средств через n периодов времени.

Если вычислять накопленную сумму денег вместе с процентами последовательно за каждый год

за первый год:

за второй год:

за п-ый год:

то получим, что полученные денежные суммы являются членами геометрической прогрессии, в которой первый член - это величина Р, а знаменатель прогрессии (1+i)

Если при начислении по формуле сложных процентов воспользоваться операцией реинвестирования, т. е. снять со счета деньги вместе с процентами и положить их на счет снова, то вкладчик при этом ничего не выигрывает при той же процентной ставке.

Действительно, пусть вкладчик положил средства в размере Р на счет на условиях начисления сложных процентов. Через k периодов времени он снял деньги со счета и положил их вновь еще на m периодов. Тогда после первых k периодов он получит сумму Q:

Q = P(1+i) k .

Затем эта сумма Q еще через m периодов превращается в новую сумму S:

S = Q (1+i) m .

Выражая конечную сумму S через первоначальную P, получим:

S = Q (1+i) m = Р (1+i) k (1+i) m = P (1+i) k+m .

Таким образом, результат получается в точности такой же, как если бы вкладчик не проводил промежуточную операцию, а просто положил бы первоначальную сумму Р на суммарное число периодов времени, равное k + m.

2.1.2. Рост суммы при нецелом числе периодов времени

В практике финансовых организаций иногда предусматривается начисление процентов лишь за целое число периодов. Если это не предусмотреть, то при начислении процентов за нецелое число периодов используют разные способы.

Начисление за нецелое число периодов может быть проведено по той же формуле сложных процентов, что и за целое число. Например, если требуется рассчитать выросшую сумму за 5,2 периода, то расчет в этом случае ведется по формуле

S = Р (1+i) 5 (1+i) 0,2 = P (1+i) 5,2 .

Другими словами, за дробное число 0,2 периода проценты начисляются по той же схеме, что и за целое число периодов. Это позволяет написать общую формулу сложных процентов за любое время t:

S = Р (1+i) t ,

независимо от того, содержит ли оно целое или нецелое число периодов.

В ряде случаев начисление за нецелое число периодов ведется по другой, смешанной формуле. За целое число периодов проценты начисляются по формуле сложных процентов, а за дробный остаток — по формуле простых процентов. В этом случае начисления за 5,2 периода будут проведены по формуле

S = Р (1+i) 5 (1+i 0,2).

Следует иметь в виду, что начисленная сумма при этом окажется несколько больше, чем при расчете по первому способу.

Наконец, как было отмечено выше, иногда за дробную часть периода проценты вообще не начисляются. В этом случае начисления за 5,2 периода определяются формулой

S = Р (1+i) 5 .

2.1.3. Сложная переменная ставка и средние геометрические величины

Обычно в условиях договора указывается постоянная ставка процента. Однако в некоторых случаях может быть оговорена переменная ставка. Обычно это бывает связано с процессом инфляции, снижающим рост реальной величины денежной суммы, или с изменением курса валюты, с которой связаны условия договора.

В этих и подобных им случаях оговаривается изменение процентной ставки.

Рассмотрим ситуацию с переменной сложной процентной ставкой. Пусть на первом промежутке времени длиной t1 ставка равна i1 , на втором промежутке длиной t2 ставка равна i2 , на третьем промежутке длиной t3 ставка равна i3 и т. д.. Промежутки, как и раньше, могут иметь различную длину.

Рассмотрим n таких промежутков длиной t1 , t2 ... tn . Величина вклада по сложной переменной ставке к концу последнего промежутка составит:

Определим среднюю процентную ставку i для случая вклада по сложной переменной ставке.

Пусть, как и раньше, T — общий срок вклада по переменной ставке

а — доля промежутка t k в этом общем сроке:

Средняя процентная ставка i по определению удовлетворяет следующему условию: если ее подставить в формулу роста вместо каждой из ставок ik , то результат расчета при этом не изменится. Таким образом:

Отсюда получаем формулу для (1 + i) — средней величины коэффициента роста за единицу времени:

Наконец, сама средняя сложная процентная ставка i равна:

Согласно формуле среднего коэффициента роста (1 + i), он является средневзвешенной геометрической коэффициентов роста по отдельным промежуткам времени. В качестве весовых коэффициентов выступают доли соответствующих промежутков времени в общем сроке вклада.

Коэффициенты роста для тех промежутков времени, которые имеют относительно большую длину, войдут в итоговую средневзвешенную величину с большим весом.

В частном случае, когда длины всех промежутков времени равны друг другу, доля каждого из них равна 1/n, и средневзвешенная величина переходит в обычную среднюю геометрическую:

2.1.4. Расчет темпов инфляции

Темп инфляции за тот или иной период времени характеризует процентный прирост уровня цен за данный период.

Предположим, что известны темпы инфляции за январь, февраль и март. Обозначим посредством h1 , h2 , h3 темпы инфляции за эти три месяца.

Неверно думать, что квартальный темп инфляции равен сумме трех месячных темпов, т. е. что

hкв1 = h1 + h2 + h3 .

Это, конечно, не так. Такая формула не учитывает, что инфляция февраля характеризует процентный прирост цен по отношению к ценам, уже выросшим в январе, а инфляция марта указывает процентный прирост цен по отношению к ценам февраля.

Таким образом, темп инфляции за несколько периодов должен содержать в себе учет процентов на проценты, как при расчетах со сложной процентной ставкой.

При неверном способе мы обращаемся с темпами инфляции, как с простыми процентными ставками. Правильный способ требует обращаться с ними, как со сложными ставками. Рассмотрим правильный способ.

Индекс роста цен выражается следующей формулой:

где q - количество товаров учитываемых при исчислении индекса роста цен;

p -цены товаров, учитываемых при исчислении индекса роста цен в базисном периоде;

р -цены тех же товаров в отчетном периоде.

Индекс роста цен за n последовательный периодов

Темп инфляции h выражается формулой:

Таким образом, индексы роста I1 , I2 , I3 определяются формулами:

I1 , = 1 + h1 , I2 , = 1 + h2 , I3 , = 1 + h3 .

Каждый из индексов показывает, во сколько раз изменился уровень цен за данный месяц. Произведение этих индексов дает квартальный индекс Iкв1 . Квартальный индекс Iкв1 показывает, во сколько раз изменился уровень цен за первый квартал:

Iкв1 = I1 * I2 * I3 .

Для получения квартального темпа инфляции следует вычесть единицу из квартального индекса:

hкв1 = Iкв1 — 1.

Таким образом, в итоге получаем

hкв1 = Iкв1 — 1 = I1 * I2 * I3 — 1 = (1 + h1 )*(1 + h2 )*(1 + h3 ) — 1.

В разные месяцы темпы инфляции могут быть различными. Как рассчитать среднемесячный темп инфляции hсрмес в течение квартала? Для этого следует сначала рассчитать среднемесячный индекс Iсрмес по формуле

I срмес = (I 1 × I 2 ×I 3) 1/3 = (I кв1) 1/3 .

Затем среднемесячный темп инфляции hсрмес получается вычитанием 1 из среднемесячного индекса:

hсрмес = Iсрмес — 1.

Таким образом, итоговая формула расчета имеет вид:

h срмес = I срмес — 1= (I 1 × I 2 × I 3) 1/3 — 1= ((1+h 1) × (1+h 2) × (1+h 3)) 1/3 — 1.

Она полностью аналогична формуле средней сложной процентной ставки.

2.2. Годовые, квартальные, месячные ставки процента

Начисление сложных процентов часто осуществляется не один, а несколько раз в году, каждый квартал, каждый месяц и т. д. В таком случае обычно в договоре указывается номинальная ставка процента i, по которой определяется величина ставки в каждом периоде начисления ( при квартальном начислении, при месячном и т. д.).

2.2.1. Уравновешенные ставки процента

Формулы, связывающие друг с другом процентные ставки за разные периоды времени, можно получить, используя принцип финансовой эквивалентности результатов.

Финансовый результат за год, получаемый при годовой ставке , должен быть равен финансовому результату за 4 последовательных квартала, рассчитанному по формуле сложных процентов для эквивалентной квартальной ставки . Отсюда получаем равенство:

Таким образом:

При выводе формул говорилось об эквивалентности финансовых результатов за год. Важно отметить, что эквивалентность результатов при этом обеспечивается не только за годовой, но и за любой промежуток времени.

Пусть промежуток времени, исчисляемый в годах, равен n (число n не обязательно целое). Тогда этот промежуток содержит 4 . n кварталов. Наращения по годовой и эквивалентной ей квартальной ставке процента за этот промежуток времени равны друг другу,

Мы установили связь между годовой и квартальной ставками. Такое же рассуждение позволяет сформировать связь между годовыми, квартальными и месячными ставками:

Рассмотрим ситуацию в общем виде. Пусть период начисления по процентной ставке i делится на m одинаковых промежутков времени. Тогда процентная ставка i’, связанная с этими промежутками, определяется через ставку i в соответствии с соотношением

(1 + i ’) m = (1 + i).

i = (1 + i ’) m — 1,

i ’= (1 + i) 1/m — 1.

Этим путем может быть установлена связь между процентными ставками за любые два периода времени. Пусть периоды t и t’ выражены в одинаковых единицах (годах, месяцах, днях и т. п.). Пусть за период времени t установлена процентная ставка i, а за период t’ — процентная ставка i’. Эти ставки эквивалентны, если они за одинаковые промежутки времени приводят к одинаковым результатам, т. е. если соответствующие им коэффициенты наращения за одинаковые промежутки времени равны.

В качестве единого промежутка возьмем промежуток величины txt’. В нем содержатся периоды t в количестве t’ и периоды t’ в количестве t. Условие эквивалентности запишется в виде равенства:

(1 + i) t’ = (1 + i ’) t .

Отсюда получаем формулы, выражающие одну ставку через другую:

Обычно в контрактах оговаривается годовая процентная ставка. Она в этом случае называется номинальной процентной ставкой. Эквивалентные ей процентные ставки за другие периоды времени, рассчитанные в соответствии с указанными выше формулами, называются уравновешенными (или уравновешивающими).

Таким образом, говорят о номинальной годовой ставке и уравновешенных (уравновешивающих) полугодовой, квартальной, месячной, дневной ставках.

2.2.2. Относительные ставки процента

В предыдущем параграфе мы получили формулы, которые позволяют ставку процента, привязанную к одному периоду начисления, пересчитать в другую, эквивалентную ставку процента, привязанную к другому периоду начисления. В частности, эти формулы позволяют номинальную годовую ставку перевести в другие уравновешенные ставки.

Полученные формулы являются точными, но в силу своей сложности не всегда удобными для практического применения. В практике финансовых операций эти формулы часто заменяются другими, более простыми формулами. Вместо уравновешенной ставки эти упрощенные формулы определяют так называемую относительную (релятивную) ставку.

Следует отметить, что расчет по относительным ставкам, будучи достаточно простым, приводит к неточным результатам.

Пусть годовая ставка процента равна iгод . Тогда квартальная относительная ставка iкв рассчитывается по формуле

Месячная относительная ставка iмес определяется формулой

Вообще, относительная ставка за период времени t, измеряемый в годах, определится величиной:

i = i год t.

Для квартала t = 1/4, для месяца t = 1/12, так что из последней общей формулы автоматически получаются ее частные случаи для квартальной и месячной ставки.

Рассмотрим ситуацию в общем виде. Предположим, что период начисления делится на m одинаковых промежутков. Тогда относительная процентная ставка i’, связанная с такими промежутками, рассчитывается по формуле

Обратное соотношение

i = m i ’

позволяет выразить исходную ставку i через относительную i’. Установим связь между относительными ставками процента за любые два периода времени. Пусть периоды времени t и t’ измеряются в одних и тех же единицах. За период t установлена процентная ставка i, а за период t’ ставка i’. Эти ставки считаются относительными друг для друга, если они связаны соотношением:

т. е., если они равны в расчете на единицу времени. В равносильной форме это равенство имеет вид

Отсюда получаем формулы, позволяющие выразить одну ставку через другую:

Номинальная годовая ставка превращается в относительную ставку для полугодия, квартала, месяца путем деления величины годовой ставки на соответствующее число. Такой переход соответствует преобразованиям по формуле простых процентов. Однако дальнейшие преобразования, связанные и с использованием относительной ставки, проводятся по формулам сложных процентов.

Так, рост вклада за m месяцев по номинальной годовой ставке сложных процентов рассчитывают с помощью относительной ставки следующим образом. По годовой ставке iгод рассчитывают месячную ставку iмес :

i мес = i год /12,

и затем по формуле сложных процентов определяют коэффициент наращения за m месяцев. Он имеет величину:

Такой расчет приводит к искажениям.

Например, при m = 6 коэффициент наращения с помощью относительной ставки можно вычислить несколькими различными способами. Они приведут к различным результатам.

Конкретную формулу расчета можно не оговаривать в тех случаях, когда каждая из сторон готова примириться с возникающими при этом искажениями.

Точный расчет, не вносящий искажений, основан на уравновешенных ставках. Если здесь и возникают расхождения, то это связано не с существом дела, а исключительно с точностью вычислений. Точность повышается, если в расчеты вовлекать большее число десятичных разрядов или если проводить расчеты в обыкновенных дробях.

Расчеты же с относительными ставками всегда вносят те или иные искажения, не устранимые путем простого повышения точности вычислений.

2.2.3. Эффективная процентная ставка

На практике чаще пользуются относительными ставками. Их применение связано с большим удобством (в ущерб точности) и со сложившейся традицией.

Однако при проведении точного анализа и в теоретических исследованиях используют уравновешенную ставку. Ее называют также эффективной процентной ставкой .

Эффективная процентная ставка показывает тот реальный относительный доход, который возникает за год в связи с начислением процентов. Иными словами, эффективная ставка — эта годовая сложная процентная ставка, обеспечивающая ту же величину дохода, что и реально применяемый способ начисления процентов.

Если проценты начисляются раз в году, то эффективная ставка соответствует сложной номинальной процентной ставке. Если же проценты начисляются чаще, то эффективная и номинальная ставка численно могут оказаться различными. Соответствие между ними зависит от способа расчета процентов за отдельные промежутки времени.

Если реально применяемый способ помесячного (поквартального) начисления процентов основан на уравновешенных ставках, то эффективная ставка совпадает с номинальной ставкой процентов. Если же реально применяемый способ помесячного (поквартального) начисления процентов основан на относительных ставках (или еще на каких-то расчетных схемах), то эффективная и номинальная ставка окажутся различными.

2.3. Рост по простым и сложным процентным ставкам

2.3.1. Характеристики роста по простым и сложным процентам

Рассмотрим рост величины вклада по формулам простых и сложных процентов при одной и той же величине процентной ставки.

Пусть начисление процентов идет по ставке i за период времени (например, за год). Тогда рост суммы за время t от начальной величины Р определяется следующими формулами:

Для простых процентов:

S = Р (1 + i t);

Для сложных процентов:

S = Р (1 + i) t .

Начисления для нецелого числа периодов проводятся здесь по той же формуле, что и для целого числа. Для простых процентов величина S зависит от времени t по закону линейной функции. Для сложных процентов она зависит от t по закону показательной функции. На рис. 2.1 представлены графики таких зависимостей.

Рис. 2.1. Рост суммы по формулам простых и сложных процентов

Обе линии на рисунке начинаются в одной точке. При t = 0:

Если длина промежутка времени t меньше длины периода, то простые проценты дают больший рост суммы, чем сложные.

Если 0 < t < 1, то

График линейной функции, определяющей рост по формуле простых процентов, лежит при этом выше графика показательной функции, определяющей рост по формуле сложных процентов. Поэтому, если банк объявляет годовую процентную ставку по вкладам, а срок вклада меньше года, то вкладчику выгоднее, чтобы банк вел с ним расчеты по простой процентной ставке. Заемщику, взявшему в банке ссуду на срок меньше года, напротив, выгоднее рассчитываться по сложным процентам.

Если промежуток времени t равен одному периоду, то расчет по простым и сложным процентам дает один и тот же результат:

Оба графика при t = 1 проходят через одну точку. Если срок равен длине периода начисления процентов (например, году), то вкладчику или заемщику безразлично, ведутся ли с ним расчеты по простым или сложным процентам.

Если же длина промежутка t больше одного периода, то сложные проценты дают большой рост суммы, чем простые. Если t > 1, то

График показательной функции лежит выше прямой, причем с ростом t увеличивается не только величина расхождения между ними, но и скорость увеличения этого расхождения. Если срок вклада больше периода начисления процентов, то вкладчику выгоднее начисления по формуле сложных процентов, причем с ростом срока вклада эта выгода возрастает. Заемщику же, напротив, выгоднее возвращать ссуду с простыми процентами.

2.3.2. Формулы срока удвоения

Для оценки скорости роста денежной суммы часто используют так называемые формулы срока удвоения. Такие формулы позволяют рассчитать срок, за который удваивается вложенная сумма денег.

Такой срок рассчитывается путем решения уравнения, определяющего удвоение коэффициента нарастания.

Для простых процентов уравнение имеет вид

1 + i t = 2.

Для сложных процентов уравнение имеет вид

Решением этого уравнения является:

2.3.3. Связь между простыми и сложными ставками

Процентные ставки являются финансово эквивалентными, если замена в контракте одной ставки на другую не приводит к изменению финансовых результатов контракта, к изменению отношений участвующих в сделке сторон.

Если рост по простой процентной ставке за определенное время приводит к тому же результату, что и рост по сложной процентной ставке за то же время, то эти ставки финансово эквивалентны. Пусть in и ic — простая и сложная процентные ставки с одним и тем же периодом начисления (например, годовые ставки). Приравняем множители роста по этим ставкам за время t:

Отсюда можно получить формулы, позволяющие по сложной ставке рассчитать эквивалентную ей простую и по простой ставке определить эквивалентную ей сложную.

Отметим, что в формулах расчета эквивалентных ставок участвует величина промежутка времени t. При изменении длины промежутка изменяется и величина эквивалентной ставки.

Из полученных формул непосредственно следует, что при t = 1, т. е. когда длина рассматриваемого промежутка времени равна периоду начисления, эквивалентные ставки равны друг другу:

если t = 1, то in = ic .

Как показывают наши предыдущие рассуждения, для эквивалентных процентных ставок in и ic выполняются условия:

если t < 1, то in < ic ,

если t > 1, то in > ic .

2.3.4. Непрерывный рост суммы и сила роста

В банковской практике часто используется смешанная форма перевода процентных ставок, при которой сложная годовая ставка переводится, например, в квартальную не как сложная, а как простая. Дальнейшее же начисление процентов идет по формуле сложной ставки.

Например, банк объявляет условия вклада как «48 % годовых с ежеквартальным начислением процентов». Это означает, что проценты ежеквартально приплюсовываются к уже накопленной величине вклада и на них в дальнейшем начисляются проценты. Речь, таким образом, идет о сложной ставке. Однако сами квартальные проценты рассчитываются по формуле простой ставки, т. е. по формуле

i кв = i год / 4 = 12 (%).

В обратном переводе в сложную годовую ставку это дает

т. е. 57,35 % годовых вместо 48 %. Результат всегда оказывается завышенным, так что самому банку такая форма перевода невыгодна. Она выгодна клиентам банка и используется практически.

Посмотрим, к чему это приведет, если постепенно уменьшать период начисления процентов. Предположим, что такая форма перевода процентов применяется не к квартальному, а к месячному периоду.

Ежемесячное начисление по ставке

определяет годовой коэффициент роста

1,04 12 = 1,6010,

что соответствует ставке 60,10 % годовых.

Предположим, что период начисления уменьшается дальше, т. е. что год дробится на m одинаковых промежутков времени, и величина m растет. Тогда общая формула нового коэффициента годового роста выглядит следующим образом:

(1 + i/m) m .

В пределе, при , получаем величину е i . При этом рост вклада за время t (измеряемое в годах) определяется формулой

S = P e it .

Число e, участвующее в формуле, — это основание натуральных логарифмов. Оно играет важную роль в математическом анализе самых разнообразных процессов. Число е — иррациональное, его значение есть

е = 2,7182818...

Логарифмы по основанию е называются натуральными логарифмами и обозначаются символом ln. В табличном процессоре Excel соответствующая функция имеет обозначение LN.

Мы пришли к понятию непрерывных процентов через смешанную форму начисления, через соединение расчетов по простой и сложной ставке. Однако смешанная форма здесь не важна. Существенно лишь участие сложной ставки.

От понятия сложной ставки к понятию непрерывных процентов можно прейти и другим путем. Для этого достаточно формулу сложных процентов, определяющую рост первоначальной суммы Р:

S = P (1 + i) t ,

записать в другом, равносильном виде.

Формула сложных процентов определяет рост суммы по закону показательной функции. Основанием этой функции является величина (1 + i). При разных значениях процентной ставки i основания оказываются различными. Формулу сложных процентов для непрерывного времени преобразуют таким образом, чтобы при разных ставках основание оказывалось одинаковым, а изменялся бы показатель степени.

Обозначим буквой натуральный логарифм от величины (1 + i):

и, следовательно,

Таким образом, формулу сложных процентов можно заменить равносильной формулой:

Эту формулу используют обычно при анализе непрерывного роста суммы денег.

В этой формуле величина α характеризует скорость роста суммы. Величину α называют силой роста , или силой процента . Она равна скорости относительного прироста суммы, т. е. равна относительному приросту суммы за бесконечно малый промежуток времени. Сила процента представляет собой особый вид процентной ставки, предназначенный для изучения процесса роста денежной суммы в непрерывном времени.

Сила роста тесно связана со ставкой процента. Чем больше ставка процента i, тем больше сила роста α , и наоборот, чем больше сила роста α , тем больше ставка процента. Однако связь между ними не является прямо пропорциональной, линейной связью. Она имеет логарифмический характер.

Для малых значений процентная ставка практически совпадает с силой роста, однако с увеличением ставки расхождения между их численными значениями нарастают. При этом ставка процента по своему численному значению всегда больше силы роста.

Следует подчеркнуть, что эти различия не приводят к различию в росте денежной суммы. Напротив, соответствующие друг другу, но численно различающиеся величины ставки процента и силы роста обеспечивают одинаковое наращение денежной суммы за одинаковые промежутки времени.

2.4. Дисконтирование по сложной ставке

2.4.1. Дисконтирование по сложной ставке процента

Дисконтирование — это операция, позволяющая будущую сумму денег привести к настоящему моменту времени. Эта операция позволяет определить современную величину будущей суммы. Выше мы рассматривали дисконтирование по простой процентной ставке. Такое дисконтирование подразумевает рост денежной суммы по формуле простых процентов. Теперь мы рассмотрим дисконтирование по сложной процентной ставке, соответствующей росту суммы денег по формуле сложных процентов.

Исходная денежная сумма Р по формуле сложных процентов со ставкой i за время t превращается в сумму S:

Отсюда следует, что

Эта формула позволяет осуществить дисконтирование, т. е. по конечной величине S определить начальную величину Р. Множитель

называется дисконтным множителем за время t. Он является величиной, обратной множителю нарастания. Величину Р называют современной, или приведенной, величиной S. Ее называют также величиной, полученной дисконтированием S. Разность S — P называют дисконтом и обозначают обычно буквой D:

D = S — P.

Операция дисконтирования обратная операции роста суммы. Поэтому свойства дисконтирования тесно связаны со свойствами наращения. Выше было проведено сравнение роста по простым и сложным процентам. Для дисконтирования имеют место обратные соотношения.

Если длина промежутка времени меньше периода начисления (например, года), то рост по простым процентам дает большую сумму, чем рост по сложным процентам. Дисконтирование по простым процентам дает меньшую величину, чем дисконтирование по сложным процентам.

Если же длина промежутка времени больше периода начисления, то больший рост суммы дает сложная процентная ставка. Однако сложная ставка дает меньшую величину при дисконтировании.

Дисконтирование можно проводить не только для дискретного, но и для непрерывного измерения времени. Из формулы для непрерывного времени с использованием силы роста, имеющей вид

получаем формулу дисконтирования:

применяемую в дисконтных расчетах с непрерывным временем.

2.4.2. Сложная учетная ставка

В учетных операциях используют как простую, так и сложную учетную ставку. Процедуры расчетов с простой учетной ставкой были изучены выше. Теперь мы рассмотрим соответствующие процедуры для сложной учетной ставки.

Простая учетная ставка при дисконтировании применяется к одной и той же первоначальной сумме, снижение этой суммы по периодам времени происходит равномерно.

Сложная учетная ставка на каждом шаге дисконтирования применяется не к первоначальной сумме, а к сумме, уменьшенной на величину дисконта, определенного на предыдущем шаге. Процесс дисконтирования идет при этом с замедлением.

Если конечная сумма есть S и учетная ставка равна d, то дисконтирование по сложной учетной ставке за t периодов времени дает первоначальную сумму P, определяемую формулой

2.5. Годовые, квартальные, месячные учетные ставки

Выше мы рассмотрели переход от годовой сложной процентной ставки к квартальной, месячной и другим сложным процентным ставкам. В более общем виде это соответствует переходу от ставки с одним периодом начисления к ставке с другим периодом начисления. Были изучены два способа перехода: переход к уравновешенной ставке и переход к относительной ставке. Преимущество первого способа в его точности, преимущество второго способа в его простоте.

Переход от годовой учетной ставки к квартальной, месячной и другим ставкам осуществляется теми же двумя способами. Один из них дает уравновешенную учетную ставку, а другой позволяет получить относительную учетную ставку. Рассмотрим их по порядку.

2.5.1. Уравновешенные учетные ставки

Уравновешенные учетные ставки определяются в соответствии с принципом финансовой эквивалентности результатов.

Финансовый результат, получаемый за год при годовой учетной ставке dгод , должен быть равен результату, получаемому за 4 квартала по сложной учетной ставке dкв . Другими словами, должно выполняться равенство

Полученные связи между ставками обеспечивают равенство финансовых результатов не только за годовой, но и за любой промежуток времени.

Промежуток, состоящий из t лет, содержит 4 . t кварталов. Дисконтирование за этот промежуток времени по сложной годовой и по сложной квартальной ставке приводит к одинаковым результатам, т. к.

Мы установили связь между годовой и квартальной учетной ставкой. Аналогично формируем связь между годовой dгод и месячной dмес , дневной dднев и другими сложными учетными ставками:

Аналогично выражаются связи между квартальной и месячной сложной учетной ставкой:

Следовательно,

Рассмотрим ситуацию в общем виде. Пусть период начисления учетной ставки d разбит на m одинаковых промежутков. Тогда учетная ставка d’, связанная с этими промежутками, определяется через ставку d с помощью соотношения:

В общем случае таким способом может быть получена связь между любыми двумя сложными учетными ставками, начисляемыми за два различных периода времени.

Пусть периоды времени t и t’ измеряются в одинаковых временных единицах (годах, месяцах и т. п.). Пусть периоду t соответствует сложная учетная ставка d, а периоду t’ — сложная учетная ставка d’. Эти ставки эквивалентны, если они дают одинаковые финансовые результаты за равные промежутки времени, т. е. если одинаковы соответствующие дисконтные множители.

В качестве единого промежутка времени выберем промежуток длины txt’. В нем содержатся периоды t в количестве t’ единиц и периоды t’ в количестве t единиц. Условие эквивалентности выражается в виде равенства дисконтных множителей за соответствующие промежутки времени, т. е. в виде равенства

Отсюда получаем формулы, позволяющие выразить одну учетную ставку через другую:

Обычно устанавливается годовая учетная ставка, называемая номинальной учетной ставкой. По ней рассчитываются учетные ставки за другие периоды времени. Если эти ставки устанавливаются указанным здесь способом, то они называются уравновешенными (иногда их называют уравновешивающими) сложными учетными ставками.

Уравновешенные сложные учетные ставки обеспечивают финансовую эквивалентность результатов на любых промежутках времени. В этом смысле и сами такие ставки являются эквивалентными.

2.5.2. Относительные учетные ставки

Уравновешенные учетные ставки вводятся аналогично уравновешенным процентным ставкам. Относительные учетные ставки аналогичны относительным процентным ставкам.

Если годовая учетная ставка равна dгод , то относительные квартальная учетная ставка dкв , месячная учетная ставка dмес , дневная учетная ставка dднев определяются формулами:

В общем случае, пусть период начисления учетной ставки d разбит на m одинаковых промежутков. Тогда относительная учетная ставка d’ для этих промежутков связана со ставкой d соотношениями:

Можно установить связь между относительными учетными ставками за любые два периода времени. Пусть периоды t и t’ измеряются в одних и тех же единицах. За период t установлена учетная ставка d, а за период t’ — учетная ставка d’. Эти ставки являются относительными друг для друга, если для них выполняется соотношение

т. е. если их доли, приходящиеся на единицу времени, равны друг другу. Это равенство равносильно следующему:

Отсюда легко можно получить формулы, позволяющие выразить одну учетную ставку через другую:

Эти формулы позволяют не только выражать относительные учетные ставки через номинальную годовую учетную ставку, но и выражать относительные учетные ставки непосредственно друг через друга.

Расчет относительных учетных ставок соответствует преобразованиям по формулам простых ставок. Однако использование относительных учетных ставок соответствует формулам сложных ставок.

Дисконтный множитель, например, за 6 месяцев, рассчитанный по месячной учетной ставке, имеет вид

Тот же множитель, рассчитанный по квартальной ставке, имеет вид

Этот множитель можно определить и непосредственно через полугодовую учетную ставку d полугод:

1 — d полугод = 1 — d год /2.

Указанные здесь способы расчета одной и той же величины приводят к численно различающимся результатам.

Таким образом, с уравновешенными и относительными учетными ставками дело обстоит так же, как и с соответствующими видами ставки процента. А именно: уравновешивающие учетные ставки дают точный результат, но связаны с довольно громоздкими вычислениями. Относительные учетные ставки проще для расчетов, но дают приближенный результат.

Следует иметь в виду, что при переходе к промежуткам времени меньшей длины (например, от года к месяцу) относительная учетная ставка имеет меньшую величину, чем уравновешенная учетная ставка. Дисконтный множитель по относительной учетной ставке, следовательно, больше, чем дисконтный множитель по уравновешенной учетной ставке.

Таким образом, если установлена номинальная годовая учетная ставка и до окончания срока векселя осталось меньше года, то владельцу векселя выгоднее, чтобы учет проводился по относительной учетной ставке.

При переходе к промежуткам времени большей длины (например, от месяца к году) дело обстоит противоположным образом. Здесь относительная учетная ставка будет больше, чем уравновешенная. Дисконтный множитель, рассчитанный по относительной ставке, будет, соответственно, меньше дисконтного множителя, рассчитанного по уравновешенной ставке. В этом случае владельцу векселя выгоднее, чтобы учет проводился по уравновешенной ставке.

2.6. Дисконтирование по простым и сложным учетным ставкам

2.6.1. Характеристики дисконтирования по простым и сложным учетным ставкам

Дисконтирование суммы при учете по простой учетной ставке определяется формулой

P = S (1 — d t).

Дисконтирование при учете по сложной учетной ставке — формулой

На рис. 2.2 представлены графики зависимости суммы Р, полученной при учете, от срока учета t.

Рис. 2.2. Убывание суммы по простой и сложной учетной ставке

Убывание суммы по простой учетной ставке происходит по закону линейной функции, равномерно. Графиком зависимости суммы от времени (от срока дисконтирования) является прямая.

Убывание суммы по сложной учетной ставке происходит неравномерно, с замедлением. Графиком зависимости суммы от времени является график показательной функции с основанием меньее 1.

Оба графика начинаются в одной точке при t = 0 и пересекаются при t = 1. Если срок дисконтирования равен 0, то, естественно, безразлично, проводить ли дисконтирование по сложной или простой ставке. Точно так же это безразлично и при сроке дисконтирования, равном одному периоду (1 году при годовой ставке). Действительно, при t = 1 по простой и по сложной ставке получаем одинаковые результаты:

P = S (1 — d t) = S (1 — d).

P = S (1 — d) t = S (1 — d).

Во всех остальных случаях дисконтирование по простой и сложной ставке дает различные результаты. При этом, если срок дисконтирования меньше одного периода, то более высокая сумма (и соответственно более низкая величина дисконта) получается по простой ставке. Держателю долгового обязательства при оставшемся сроке, меньшем одного периода (одного года при годовой ставке), выгоднее учитывать обязательство по простой учетной ставке. Если же оставшийся срок больше одного периода, то выгоднее учитывать обязательство по сложной учетной ставке, причем эта выгодность возрастает с ростом срока.

График линейной функции, соответствующий простой ставке, при некотором значении t пересечет ось абсцисс. Это означает, что при данном сроке сумма, получаемая в результате учета обязательства, равна 0, а дисконт равен всей сумме обязательства. Учитывать обязательства при этих условиях не имеет смысла. Тем более не имеет смысла учет при дальнейших значениях t, когда график опускается ниже оси абсцисс.

Реально простую учетную ставку применяют при не слишком больших сроках учета. В отличие от этого сложную учетную ставку можно применять при любых сроках. График показательной функции, соответствующий сложной ставке, никогда не пересечет горизонтальную ось, хотя и будет с ростом времени неограниченно к ней приближаться. Сумма, выдаваемая при учете обязательства на таких условиях, будет неограниченно уменьшаться с ростом срока, но никогда не станет равной 0. Соответственно величина дисконта будет неограниченно приближаться к сумме самого обязательства, но никогда не совпадет с ним.

2.6.2. Связь между простыми и сложными учетными ставками

Эквивалентность учетных ставок связана с эквивалентностью финансовых результатов по этим ставкам за определенный промежуток времени.

Пусть dn и dc — простая и сложная учетные ставки с одним тем же периодом начисления (например, годовые ставки). Эквивалентность ставок за промежуток времени t означает равенство дисконтных множителей, связанных с этим промежутком:

Отсюда получаем формулы расчета простой ставки по эквивалентной ей сложной и расчета сложной ставки по эквивалентной ей простой:

Для учетных ставок, так же как и для процентных, эквивалентность определяется для конкретного промежутка времени.

Ставки, эквивалентные для одного промежутка времени, при изменении длины промежутка времени перестают быть эквивалентными.

Эквивалентные ставки равны друг другу, когда длина рассматриваемого промежутка времени равна периоду начисления, т. е.:

если t = 1, то dn = dc .

Это непосредственно следует из полученных формул. Проведенные ранее рассуждения показывают, что эквивалентные учетные ставки удовлетворяют следующим условиям:

если t < 1, то dn > dc ,

если t > 1, то dn < dc .

2.6.3. Основные соотношения между сложными процентными и учетными ставками

Дисконтирование денежной суммы может проводиться по процентной или по учетной ставке.

При дисконтировании по сложной процентной ставке начальная величина денежной суммы Р определяется по ее конечной величине S, выросшей за время t по процентной ставке i, по формуле

При дисконтировании по сложной учетной ставке d начальная величина денежной суммы определяется по формуле

Процентная и учетная ставка эквивалентны, если они дают один и тот же финансовый результат, т. е. если они по одинаковым конечным суммам S за одно и то же время t дают одинаковые начальные суммы P.

Таким образом, для эквивалентных ставок должно выполняться равенство

Извлекая из обеих частей корень степени t, получаем

Это можно записать следующим образом:

(1 + i) (1 — d) = 1.

Отсюда легко можно выразить процентную ставку через учетную и учетную ставку через процентную:

Важно отметить, что в эти формулы не входит длина промежутка времени t . Следовательно, эквивалентные сложные ставки являются эквивалентными не только для какого-то определенного промежутка времени, а для любого промежутка времени. Напомним, что для простых ставок это не так.

2.6.4. Непрерывное дисконтирование и сила дисконта

Формула дисконтирования по сложной учетной ставке за время t

может применяться не только в дискретном, но и в непрерывном времени. Как и в случае сложного процента, при переходе к непрерывному времени формулу преобразуют так, чтобы при изменении учетной ставки d изменялось не основание показательной функции, а ее показатель. С этой целью вводят величину :

Подлогарифмическое выражение меньше 1, т. е.

ln (1- d) < 0,

и, следовательно, величина b положительна. Из определения получаем

Формула дисконтирования по сложной учетной ставке принимает вид

По аналогии с силой процента величину называют иногда силой дисконта . Полученная формула дисконтирования с участием силы дисконта позволяет вести расчеты в удобной форме для непрерывного времени. Сила дисконта характеризует относительную скорость убывания дисконтируемой суммы.

С ростом учетной ставки растет и соответствующая ей сила дисконта. Связь между этими величинами является не прямой, не прямо пропорциональной, а логарифмической.

С ростом учетной ставки расхождения между численными значениями учетной ставки и силы дисконта постепенно нарастают. Сила дисконта по своей величине выше учетной ставки. Следует, однако, иметь в виду, что соответствующие друг другу величины учетной ставки и силы дисконта задают один и тот же процесс дисконтирования, один и тот же размер уменьшения долговой суммы при учете долгового обязательства

2.7. Параметры расчетов с процентными и учетными ставками

Полученные нами формулы позволяют, исходя из условий договора, рассчитать конечную сумму денег по ее начальной сумме или, наоборот, вычислить начальную сумму по известной конечной сумме. Большую роль в финансовых расчетах играет и другая задача: по известной начальной и конечной сумме определить условия договора. Важнейшими численными характеристиками договора являются продолжительность срока и величина ставки.

2.7.1. Расчет продолжительности срока по процентным ставкам

В соответствии с формулой сложных процентов имеем

Проведя элементарные преобразования и логарифмируя, получаем отсюда:

Эта формула позволяет по заданной начальной и конечной сумме и при известной ставке сложного процента определить продолжительность того срока t, за который начальная сумма Р вырастет до конечной суммы S по ставке сложного процента i. Логарифмы, участвующие в формуле, могут иметь любое основание (но оба логарифма должны иметь одинаковое основание). В частности, можно пользоваться натуральными или десятичными логарифмами.

Предположим теперь, что период начисления раздроблен на m одинаковых промежутков времени и расчеты ведутся по ставке, пересчитанной для этих промежутков. Например, от расчетов по номинальной годовой ставке перешли к расчетам по месячной. Как мы знаем, при этом используют месячную уравновешенную и месячную относительную ставку.

Величина уравновешенной ставки i’ для промежутка времени, составляющего 1/m от периода начисления по ставке i, определяется по формуле

Рост денежной суммы за время t по ставке i’ будет идти в соответствии с формулой

При расчетах на основе силы роста используют формулу

Взяв натуральный логарифм (по основанию e ) от обеих частей формулы после несложных преобразований получим:

Силу роста (ставку непрерывных процентов) α и исходную ставку процента i связывает соотношение

Таким образом, продолжительность срока, рассчитанная по ставке непрерывных процентов, совпадает с продолжительностью, рассчитанной по исходной процентной ставке:

2.7.2. Расчет продолжительности срока по учетным ставкам

В соответствии с формулой дисконтирования по сложной учетной ставке имеем:

После простых преобразований этой формулы получаем:

Эта формула позволяет рассчитать срок дисконтирования по конечной сумме S, сумме учета Р и учетной ставке d. Как и в случае со сложными процентами, логарифмы в расчетах можно брать по любому основанию (по одинаковому в числителе и знаменателе дроби).

Рассмотрим ситуацию, когда период начисления учетной ставки разбит на m одинаковых промежутков равной длины (например, год разбит на месяцы). В таком случае наряду с исходной учетной ставкой d используют уравновешенные и относительные учетные ставки d’, для которых периодами начисления являются эти малые одинаковые промежутки.

Величина уравновешенной учетной ставки d’ для промежутка, составляющего часть от периода начисления по ставке d, определяется по формуле

Дисконтирование денежной суммы за время t по учетной ставке d’ рассчитывается по формуле

Отсюда получаем:

Учетные ставки d и d’ связаны соотношением

Мы получили, что расчет срока дисконтирования t по исходной учетной ставке d и по уравновешенной учетной ставке d’ дает один и тот же результат.

Для относительной ставки дело обстоит не так. Относительная ставка рассчитывается по формуле

Дисконтирование денежной суммы за время t в соответствии с относительной учетной ставкой d’ определяется по формуле

Отсюда получаем:

При увеличении числа промежутков m скорость дисконтирования по относительной учетной ставке уменьшается, а срок дисконтирования растет. С увеличением m этот срок все сильнее расходится со сроком, рассчитанным по исходной и уравновешенной ставке.

В расчетах на основе силы дисконта используют формулу

Из этой формулы получаем:

Поскольку силу дисконта и учетную ставку d связывает соотношение

то продолжительность срока, рассчитанная на основе силы дисконта, и продолжительность, рассчитанная по учетной ставке, совпадают. Действительно,

2.7.3. Расчет величины процентной ставки

Из формулы сложных процентов

следует, что

Последняя формула позволяет по объему начальной суммы Р, конечной суммы S и времени нарастания t определить необходимую величину процентной ставки i.

Предположим, что период начисления разбит на m одинаковых промежутков. Таким промежуткам соответствует своя величина процентной ставки i’.

Величину ставки i’ можно рассчитать двумя разными способами. Первый способ — найти i’ исходя из уже полученной ставки i. Результат здесь будет зависеть от того, является ли эта ставка i’ уравновешенной или относительной. Для уравновешенной ставки расчет следует проводить по формуле

Отсюда, воспользовавшись уже полученной формулой для i, можно вывести следующую формулу:

Для относительной ставки расчет следует вести по формуле

Второй способ — найти величину ставки i’ непосредственно, не прибегая к ставке i, а уже затем по ней определить ставку i.

Формула сложных процентов, выраженная через ставку i’, имеет вид:

Если ставка i’ рассматривается как уравновешенная ставка, то из последней формулы можно получить:

Таким образом, для расчета ставки i получаем прежнюю формулу. Для уравновешенной ставки результаты расчетов по первому и по второму способу совпадают.

Если же ставка i’ рассматривается как относительная ставка, то из формулы ее расчета получаем:

Эта формула расходится с первоначальной формулой для ставки i, дает иной результат.

Таким образом, для относительной ставки важен способ ее вычисления.

Рассмотрим теперь непрерывное начисление процентов на основе силы роста. В этом случае формула нарастания имеет вид

Отсюда получаем расчетную формулу для определения силы роста (непрерывной ставки процента) :

2.7.4. Расчет величины учетной ставки

По формуле дисконтирования,

Отсюда следует, что

Эта формула позволяет вычислить величину учетной ставки d по конечной сумме S, сумме на момент учета Р и срока дисконтирования t.

Пусть период начисления учетной ставки разбит на m одинаковых промежутков. Определим величину ставки d’, соответствующей таким промежуткам. Как и для процентной ставки, здесь возникают два способа расчета. Первый способ — определить величину учетной ставки d’ на основе уже полученной ставки d.

Уравновешенную учетную ставку d’ в этом случае следует рассчитывать по формуле

Это равенство можно продолжить:

что позволяет вычислить величину ставки d’ непосредственно через исходные данные.

Для относительной учетной ставки расчет ведется по формуле

Второй способ основан на том, чтобы найти величину ставки d’, не прибегая к ставке d. Ставку d затем можно рассчитать на основе ставки d’.

Формула дисконтирования по учетной ставке d’ имеет вид

Таким образом, мы еще раз получили ту же формулу, что была выведена для уравновешенной ставки. Следовательно, для уравновешенной ставки оба способа расчета дают одинаковые результаты, как для d, так и для d’.

Для относительной ставки дело обстоит по-иному. Определим ставку d и d’:

Эта формула и формула непосредственного расчета ставки d, приведенная в начале этого параграфа, отличаются друг от друга и приводят к разным результатам.

Таким образом, для относительной учетной ставки, как и для относительной процентной, важен способ ее исчисления.

Перейдем к рассмотрению непрерывного дисконтирования. Формула, использующая силу дисконта, имеет вид

Отсюда силу дисконта (непрерывную ставку учета) можно рассчитать по формуле

Поскольку Р < S , то подлогарифмическое выражение меньше 1, сам логарифм отрицателен, а с учетом знака «минус» числитель дроби положителен. Таким образом, величина непрерывной учетной ставки положительна.

Выводы

Рост по простой процентной ставке определяется линейной функцией, или арифметической прогрессией. Рост по сложной процентной ставке определяется показательной (экспоненциальной) функцией, или геометрической прогрессией.

Таким образом, сложная процентная ставка на длительных промежутках времени выгоднее для вкладчика, чем простая, причем с ростом срока вклада выгодность возрастает.

Напомним основные формулы роста и дисконтирования по сложным ставкам.

Рост по сложной процентной ставке определяется формулой

Дисконтирование по сложной процентной ставке определяется формулой

Дисконтирование по сложной учетной ставке определяется формулой

Формула роста на основе силы роста :

Формула дисконтирования на основе силы дисконта :

Вопросы для самопроверки

1. В чем причина ограниченности применения простых процентных ставок?
2. Какова формула роста по сложным процентам?
3. Какова смешанная формула роста?
4. Какова формула роста по переменной сложной процентной ставке?
5. Как определяется величина средней процентной ставки и какова ее расчетная формула?
6. Какова связь средней процентной ставки и средневзвешенной геометрической величины?
7. При каких условиях средневзвешенная геометрическая переходит в обычную среднюю геометрическую?
8. Как связаны друг с другом темп и индекс инфляции?
9. Как по месячным темпам инфляции рассчитать квартальный и годовой темп?
10. Как по годовому темпу инфляции рассчитать среднемесячный темп инфляции?
11. Как по отдельным месячным темпам рассчитать среднемесячный темп инфляции?
12. В чем различие между уравновешенными и относительными процентными ставками?
13. Как рассчитываются уравновешенные и относительные процентные ставки?
14. Какой из двух видов ставок (уравновешенная и относительная) дает точный ответ при использования простых ставок и какой при использования сложных ставок?
15. Что такое эффективная процентная ставка?
16. Как рассчитать эффективную ставку?
17. Как соотносятся друг с другом рост по простым и по сложным процентам?
18. Изобразите графики роста по простой и по сложной процентной ставке. В каких точках эти графики пересекаются?
19. Какие процентные ставки (простые или сложные) выгоднее и в каких случаях?
20. Что характеризует срок удвоения?
21. Какова формула срока удвоения по простым процентам?
22. Какова формула срока удвоения по сложным процентам?
23. Какова формула расчета эквивалентной сложной ставки по заданной простой ставке?
24. Какова формула расчета эквивалентной простой ставки по заданной сложной ставке?
25. Что такое сила роста?
26. Как сила роста связана со сложными процентными ставками?
27. Как связаны друг с другом рост и дисконтирование?
28. Какова формула дисконтирования по сложной процентной ставке?
29. Какова формула дисконтирования с использованием силы роста?
30. В чем различие между простой и сложной учетной ставкой?
31. Какова формула дисконтирования по сложной учетной ставке?
32. Как рассчитываются уравновешенные учетные ставки?
33. Как рассчитываются относительные учетные ставки?
34. Как по годовой сложной учетной ставке рассчитать уравновешенную месячную ставку?
35. Как по годовой сложной учетной ставке рассчитать относительную месячную ставку?
36. Изобразите графики дисконтирования (убывания) суммы по простой и по сложной процентной ставке. В каких точках эти графики пересекаются?
37. Какие учетные ставки (простые или сложные) выгоднее и в каких случаях?
38. Как примеенние учетных ставок связано с расматриваемыми сроками?
39. Какова формула расчета эквивалентной сложной учетной ставки по заданной простой учетной ставке?
40. Какова формула расчета эквивалентной простой учетной ставки по заданной сложной учетной ставке?
41. Как связаны друг с другом сложные процентные и учетные ставки?
42. Зависит ли эквивалентная ставка от срока? Что означает наличие или отсутствие такой зависимости?
43. Что такое сила дисконта?
44. Как сила дисконта связана со сложными учетными ставками?
45. Как рассчитать продолжительность срока по сложной процентной ставке?
46. Как продолжительность срока связана с уравновешенной процентной ставкой?
47. Как продолжительность срока связана с относительной процентной ставкой?
48. Как продолжительность срока связана с силой роста?
49. Как рассчитать продолжительность срока по сложной учетной ставке?
50. Как продолжительность срока связана с уравновешенной учетной ставкой?
51. Как продолжительность срока связана с относительной учетной ставкой?
52. Как продолжительность срока связана с силой дисконта?
53. Какова формула расчета:
    • сложной процентной ставки?
    • силы роста?
    • сложной учетной ставки?
    • силы дисконта?

Библиография

1. Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент: В 2 т. СПб., 1997.
2. Капитоненко В. В. Финансовая математика и ее приложения. М., 1998.
3. Кутуков В. Б. Основы финансовой и страховой математики. Методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. М., 1998.
4. Лукасевич И. Я. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника вычислений. М., 1998.
5. Малыхин В. И. Финансовая математика. М., 1999.
6. Уотшем Т. Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. М., 1999.
7. Чернов В. П. Математика для топ-менеджеров. СПб., 2002.
8. Чернов В. П. Математические методы финансового анализа. СПб., 2005
9. Четыркин Е. М. Финансовый анализ производственных инвестиций. М., 1998.
10. Четыркин Е. М. Финансовая математика. М., 2000.

Лекция. Конструирование гражданских зданий из крупных блоков.

Лекция 02.10.2013. Основные технические документы, предъявляемые на государственные и контрольные испытания

Вопросы для рассмотрения:

1. Начисление сложных годовых процентов.

2. Сравнение роста по сложным и простым процентам.

3. Наращение процентов несколько раз в году.

4. Дисконтирование по сложной процентной ставке.

5. Определение срока финансовой операции и величины процентной ставки.

6. Непрерывное наращение и дисконтирование.

В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов. Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:

− проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;

− срок ссуды более года.

Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга:

– за один период начисления;

– за два периода начисления;

отсюда, за n периодов начисления формула примет вид:

где – наращенная сумма долга; – первоначальная сумма долга; i – ставка процентов в периоде начисления; n – количество периодов начисления. Эта формула называется формулой сложных процентов.

Различие начисления простых и сложных процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу. Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами. Сложные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных темпов роста.

Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен:

(1 + i ).

Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид:

(1 + i) n .

Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке i .

Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по простым и сложным процентам представлена на рисунке.

Как видно из рисунка, при краткосрочных ссудах начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.

При любом i ,

если 0 < n < 1, то (1 + ni) > (1 + i) n

если n > 1, то (1 + ni) < (1 + i) n

если n = 1, то (1 + ni) = (1 + i) n

Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:

− более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);

− более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;

− обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет.

В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием двух методов:

− общий метод заключается в прямом расчете по формуле сложных процентов:

,

где n – период сделки; a – целое число лет; b – дробная часть года.

− смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года – формулу простых процентов:

.

Поскольку b < 1 , то (1 + bi) > (1 + i) a , следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

Cмешанная схема более выгодна кредитору.

Период начисления по сложным процентам не всегда равен году, однако в условиях финансовой операции указывается не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления – номинальная ставка (i ).

Номинальная ставка (nominal rate ) – годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год.

Эта ставка:

− во-первых, не отражает реальной эффективности сделки;

− во-вторых, не может быть использована для сопоставлений.

Если начисление процентов будет производиться m раз в год, а срок долга – n лет, то общее количество периодов начисления за весь срок финансовой операции составит

Отсюда формулу сложных процентов можно записать в следующем виде:

,

где i – номинальная годовая ставка процентов.

Наряду с номинальной ставкой существует эффективная ставка (effective rate ), измеряющая тот реальный относительный доход , который получен в целом за год, с учетом внутригодовой капитализации. Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m -разовое наращение в год по ставке j/m :

,

.

Из формулы следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений.

Расчет эффективной ставки является мощным инструментом финансового анализа, поскольку ее значение позволяет сравнивать между собой финансовые операции, имеющие различные условия: чем выше эффективная ставка финансовой операции, тем (при прочих равных условиях) она выгоднее для кредитора.

Необходимо отметить, что основная формула сложных процентов предполагает постоянную процентную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Однако, предоставляя долгосрочную ссуду, часто используют изменяющиеся во времени, но заранее зафиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В случае использования переменных процентных ставок, формула наращения имеет следующий вид:

где i k – последовательные во времени значения процентных ставок; n k – длительность периодов, в течение которых используются соответствующие ставки.

Все ситуации, которые мы до сих пор рассматривали, относились к дискретным процентам, поскольку их начисление осуществляется за фиксированные промежутки времени (год, квартал, месяц, день, час). Но на практике нередко встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно , за сколь угодно малый промежуток времени. Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так:

.

Но поскольку проценты начисляются непрерывно, то m стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к e i , где e ≈ 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.

Отсюда можно записать формулу наращенной суммы для n лет:

Ставку непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом δ , в отличие от ставки дискретных процентов (i ).

Графически изменение наращенной суммы в зависимости от частоты начисления имеет следующий вид:

При дискретном начислении каждая «ступенька» характеризует прирост основной суммы долга в результате очередного начисления процентов. Обратите внимание, что высота «ступенек» все время возрастает.

В рамках одного года одной «ступеньке» на левом графике соответствует две «ступеньки» на среднем графике меньшего размера, но в сумме они превышают высоту «ступеньки» однократного начисления. Еще более быстрыми темпами идет наращение при непрерывном начислении процентов, что и показывает график справа.

Таким образом, в зависимости от частоты начисления процентов наращение первоначальной суммы осуществляется с различными темпами, причем максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала.

Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач, например, обоснование и выбор инвестиционных решений. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов.

Также как для простых процентов, для сложных процентов необходимо иметь формулы, позволяющие определить недостающие параметры финансовой операции:

− срок ссуды,

− ставка сложных процентов.

| | 3 | | | | |