В этой статье попытаемся дать общее представление о статистических методах прогнозирования временных рядов .
Прогноз – возможное состояние объекта в будущем, а также суждение об альтернативных путях достижения этого состояния в будущем.
Классификация прогнозов
:
По масштабности выделяют следующие прогнозы:
По времени прогнозы делят на:
Это довольно условное деление, так как деление производит эксперт, изучающий временные ряды.
Прогнозирование можно рассматривать на двух уровнях:
Предсказание
– отвечает на вопрос «что нам ожидать в будущем?», описывает перспективы изменения объекта исследования в будущем. (Такие прогнозы называют поисковыми
)
Предуказание
– отвечает на вопрос «что нам нужно изменить в будущем, что бы получить заданное состояние объекта?», возможное решение проблем, возникающих при предсказании. (Такие прогнозы называют нормативными
).
Этапы прогнозирования включают в себя следующие уровни:
Изменение экономико-финансовых показателей чаще всего отражается временными
и динамическими
рядами.
Динамические ряды
– совокупность последовательных наблюдений показателя х в зависимости от изменения показателя y.
Временные ряды
– называют совокупность последовательных наблюдений, упорядоченных во временной последовательности.
Рисунок 1. Пример временного ряда
Временные ряды можно разделить на моментные
и интервальные ряды
. Моментные временные ряды – наблюдения характеризуют объект на определенный момент времени. Интервальные временные ряды – ряд наблюдений характеризует объект за определенный период времени.
Процесс прогнозирования финансово-экономических рядов состоит в определении и выделении закономерностей, которые объясняли динамику изменения процесса в прошлом, для того чтобы потом использовать ее для описания ее развития в будущем. Для успешного осуществления процесса прогнозирования необходимо, что бы анализируемый временной ряд был достаточной длины
(свойство полноты информации
), во временном ряде не должно быть пропусков
(свойство непрерывности
). Соответствие изучаемого временного ряда этим требованиям проверяется на этапе «Предварительная обработка данных».
Давайте рассмотрим компоненты временного ряда.
Тренд
– направленное изменение значений наблюдаемого временного ряда. Наряду с трендовыми движениями, в экономических процессах часто присутствует сезонная
составляющая, которая представляет период колебания показателей, не превышающих 1 год. Если период более 1 года, то говорят, что во временном ряду присутствует циклическая
составляющая. Если из изучаемого ряда убрать трендовую составляющую и периодическую (циклическая и сезонная), то останется нерегулярная, случайная компонента.
Если временной ряд равен сумме своих компонент
Y=T+S+C+e,
то полученная модель ряда называется аддитивной
, если в виде произведения
Y=T*S*C*e,
то это мультипликативная
модель.
Смешанный тип модели временного ряда соответственно представлен формулой
Y=T*S*C+e, где Y-значение временного ряда.
Если все компоненты во временном ряду правильно выделены, то случайная недетерминированная, некоррелированная компонента е
обладает следующими свойствами:
Предобработка временных рядов
Аномальные наблюдения могут возникнуть из-за ошибок в измерении и передачи информации (ошибки первого рода – подлежат устранению) или воздействия на изучаемый процесс редко появляющихся объективных факторов (ошибки второго рода – не подлежат устранению).
Устранение аномальных наблюдений производится в 2 этапа: поиск аномальных наблюдений по методу Ирвинга и замена их на среднее арифметическое соседних значений.
Одним из самых распространённых методов сглаживания временных рядов является метод скользящей средней.
Суть использования метода заключается в замене значений временного ряда на более сглаженные значения, подверженные колебаниям в меньшей степени. Скользящие средние позволяют выявить тенденцию в развитии процесса и отфильтровать компоненты временного ряда, а также подготовить данные для построения модели прогнозирования.
Сглаживание может производиться следующими методами:
Расчет количественных характеристик развития экономических процессов включает в себя определение: расчета абсолютных приростов , расчета темпов роста , выявления автокорреляции временного ряда. В основе вычисления этих показателей лежит сравнение значений временного ряда. Такой подход к анализу и прогнозированию процесса применим, если изучаемый временной ряд имеет линейную тенденцию. К недостаткам такого анализа следует отнести то, что в нем учитывается только конечные и начальные значения временного ряда и исключается влияние промежуточных данных.
Построение моделей временных рядов
Формирование значений временного ряда определяется тремя закономерностями:
В соответствии с этими закономерностями выделяют задачи анализа и моделирования тенденций (решается с помощью моделей кривых роста
), анализа взаимосвязи между значениями временного ряда (решается с помощью адаптивных моделей
), анализа причинных взаимодействий между исследуемым показателем и показателями – факторами (решается регрессионными методами
).
Кривая роста
– плавная кривая, аппроксимирующая временной ряд. Аналитические методы выделения неслучайной составляющей временного ряда с помощью кривых роста реализуется в рамкам модели регрессии.
Процедура
разработки прогноза по кривым роста:
Кривые роста делятся на три класса. К первому классу относят кривые для описания монотонных процессов развития объекта. Ко второму классу относят кривые, которые описывают процессы с пределом роста в исследуемом периоде (их называют кривые насыщения ). Если кривые насыщения имеют точку перегиба, то они относятся к 3му классу S – образных кривых.
1 класс
кривых роста включает – полином первого порядка, второго, третьего, экспоненту, экспоненциальные кривые.
2 класс
кривых роста включает – модифицированную экспоненту.
3 класс
кривых – Кривая Гомперца, логистическая кривая.
Наиболее простой способ выбрать кривую роста – визуальный
метод. Подбирают кривую, наиболее точно описывающую исследуемый процесс.
Оценка качества полученной модели для прогнозирования по кривым роста производится при проверке адекватности и оценки точности модели
.
В проверку адекватности входит: проверка независимости (отсутствие автокорреляции по критерию Дарбина-Уотсона), проверка случайности, соответствие остатков временного ряда случайному распределению(R/S критерий), равенство 0 средней ошибки.
Точность модели оценивается по методу МНК
, т.е. кривая подбирается таким образом, чтобы график функции кривой роста располагался на минимальном удалении от точек процесса.
Для математических методов прогнозирования характерен подбор и обоснование математической модели исследуемого процесса, а также способ определения ее неизвестных параметров. Среди математических методов выделяют методы экстраполяции ввиду их простоты. Методологическая предпосылка экстраполяции состоит в признании преимущественной связи между прошлым, настоящим и будущим.
В настоящее время разработана большая группа экстраполяционных методов прогнозирования временных рядов:
1) Методы, основанные на построении корреляционно-регрессионных моделей. При этом строится модель, включающая набор переменных, от которых зависит поведение функции. Прогноз отличается невысокой точностью, используется при прогнозировании показателей конкретных объектов.
y t = a 0 + a 1 y t -1 + …..+ a n y t-n .
3) Методы, основанные на разложении временного ряда на компоненты – главная тенденция, сезонные колебания, случайная составляющая.
4) Методы, позволяющие учесть неравнозначность исходных данных: метод авторегрессии с последующей адаптацией коэффициентов уравнения, метод взвешенных отклонений.
5) Метод прямой экстраполяции, при котором используются различные трендовые модели. Такие модели используются для краткосрочного прогнозирования временных рядов, например, на небольшое число шагов и т.д.
Построение и анализ коррелограммы позволяет оценить характер и тенденцию изменения во времени прогнозируемого процесса. Если анализируемый ряд имеет тренд и колебания вокруг него или существует явная зависимость между прошлым и будущим ряда (рис.1), коррелограмма при тенденции анализируемого ряда к росту будет отражать убывание положительных коэффициентов корреляции с увеличением временного сдвига
| -0,4 |
| -0,2 |
| 0,2 |
| 0,4 |
| 0,6 |
| 0,8 |
Рисунок 2 - Автокорреляционная функция процесса
Если убывание автокорреляционной функции быстрое, носит экспоненциальный характер, то такие ряды имеют «кратковременную память» и могут быть описаны более сложными моделями автокорреляции – скользящего среднего (модели Бокса- Дженкинса). Более сложным случаем является колебательный затухающий характер корреляционной функции (рис. 2).
Наиболее часто используются простейшие алгоритмы прогнозирования:
По среднему абсолютному приросту при линейной тенденции развития показателя во времени;
По среднему темпу роста, когда тенденция ряда характеризуется показательной кривой;
Аналитическим описанием линии тренда, когда на показатель оказывают влияние множество факторов, и ее рассматривают в виде временной функции;
По корреляционным связям между показателями ряда на ограниченном по времени интервале наблюдения;
По среднему уровню ряда динамики в случае стационарного характера изменения во времени анализируемого показателя и др.
Алгоритм выбирается по характеру линии тренда:
Прогнозирование по среднему абсолютному приросту проводится по формуле:
у пр = у + (Dу)t ;
Прогнозирование по среднему темпу роста Т р:
у пр = уТ р t ,
Прогнозирование средним значением уровня ряда у ср:
у пр = у ср,
4 января 2011 в 21:36Привет.
Я хочу рассказать об одной задаче, которая очень заинтересовала меня в свое время, а именно, о задаче прогнозирования временных рядов и решении этой задачи методом муравьиного алгоритма.
Для начала вкратце о задаче и о самом алгоритме:
Прогнозирование временных рядов подразумевает, что известно значение некой функции в первых n точках временного ряда. Используя эту информацию необходимо спрогнозировать значение в n+1 точке временного ряда. Существует множество различных методов прогнозирования, но на сегодняшний день одними из самых распространенных являются метод Винтерса и ARIMA модель. Подробнее о них можно почитать .
О том что такое муравьиный алгоритм говорилось уже довольно много. Для тех кому лень лезть, например, сюда , перескажу. Вкратце, муравьиный алгоритм это моделирование поведения муравьиной колонии в их стремлении найти кратчайший путь к источнику еды. Муравьи, при движении оставляют за собой след феромона, который влияет на вероятность выбора муравьем данного пути. Учитывая то, что муравьи будут за один и тот же промежуток времени пройти короткий путь бОльшее количество раз, на нем будет оставаться больше феромона. Таким образом, с течением времени, все больше муравьев будут выбирать кратчайший путь к источнику пищи.
Для наглядности, вставлю картинку:
Теперь, перейдем непосредственно к решению задачи прогнозирования методом муравьиных колоний.
Первая проблема с которой мы сталкиваемся - необходимо представить временной ряд в виде графа, на котором будем запускать муравьиный алгоритм.
Было найдено два возможных решения:
1. Представить временной ряд в виде мультиграфа где из каждой точки временного ряда можно перейти в каждую набором определенных приростов. (Для облегчения задачи будем брать нормализованные значения на промежутке от -1 до 1). Это был первый подход, который мы попробовали. Он показал неплохой результат на временных рядах малой размерности, но с увеличением размерности стала резко падать как точность прогноза, так и производительность, поэтому от этого варианта отказались.
2. Представить временной ряд в виде набора сцепленых графов, где каждый граф отвечает за свою величину прироста значения временного ряда. иначе говоря, имеем граф который отвечает за прирост -1, -0,9… и так до 1. Шаг, естественно, можно уменьшить, или увеличить, что скажется на точности прогноза и ресурсоемкости задачи.(в конечном итоге этот вариант оказался наиболее удачным.)
На этом наборе сцепленных графов, запускался муравьиный алгоритм(на каждом графе свой), который откладывал феромон на ребрах, соответствующих известным значениям временного ряда. Причем, при откладывании феромона на графе i, феромон также откладывался на графах i-1и i+1, но в гораздо меньшем количестве(в нашем случае 1/10 от базового количества феромона) таким образом, муравьи выделяли наиболее часто встречающиеся последовательности прироста значения временного ряда, а за счет откладывания феромона на смежные графы, нивелировалась возможная погрешность и изначальная зашумленность временного ряда.
Данный алгоритм мы тестировали на искусственно подготовленных временных рядах с разным уровнем периодичности и шума. Результат получился двояким. С одной стороны, при уровнях шума до 0,3 алгоритм показывает высокие результаты прогноза, сравнимые с результатами ARIMA модели. На более высоких уровнях шума возникает большой разброс результатов: прогноз то очень точный, то совершенно неправильный.
В настоящий момент мы работаем над подбором оптимального значения параметров алгоритма и некоторыми методами его улучшения, о которых я напишу как только они будут в достаточной степени проверены.
Спасибо всем за внимание.
Upd:
Постараюсь ответить на возникшие вопросы.
Мультиграф - это граф, каждая вершина которого соединена с каждой.
Хаотические ряды, как уже писали ниже, не случайны. Вы можете посмотреть на изображения ряда Лоренца в 3-х мерном пространстве и увидите цикличность движения. Просто определить эту цикличность сложно, и на первый взгляд ряд выглядит случайным.
Значения временного ряда нормализуются на промежутке -1...1 и записываются в граф. Граф - в данном случае таблица переходов из вершины в вершину. Феромон откладывается на ребра(в ячейки таблицы).
В случае со сцепленными графами используется несколько таблиц, каждая из которых отвечает только за свою величину перехода.
В зависимости от количества феромона в той, или иной ячейке, выбирается то, или иное значение временного ряда, как результат прогноза.
Алгоритм тестировали, преимущественно, на ряде Лоренца.
На данный момент рано говорить о том насколько он лучше или хуже. Похоже, что алгоритм подвержен нахождению псевдопериодов и с ростом уровня шума количество ложных периодов возрастает.
С другой стороны, при удачно подборе параметров точность прогноза достаточно высокая(отклонение до 7-10 процентов, что для хаотического ряда неплохо.)
К тестированию на реальных данным перейдем позже. Картинки постараюсь подготовить и добавить в ближайшее время.
Спасибо за внимание.
В трех предыдущих заметках описаны регрессионные модели, позволяющие прогнозировать отклик по значениям объясняющих переменных. В настоящей заметке мы покажем, как с помощью этих моделей и других статистических методов анализировать данные, собранные на протяжении последовательных временных интервалов. В соответствии с особенностями каждой компании, упомянутой в сценарии, мы рассмотрим три альтернативных подхода к анализу временных рядов.
Материал будет проиллюстрирован сквозным примером: прогнозирование доходов трех компаний . Представьте себе, что вы работаете аналитиком в крупной финансовой компании. Чтобы оценить инвестиционные перспективы своих клиентов, вам необходимо предсказать доходы трех компаний. Для этого вы собрали данные о трех интересующих вас компаниях - Eastman Kodak, Cabot Corporation и Wal-Mart. Поскольку компании различаются по виду деловой активности, каждый временной ряд обладает своими уникальными особенностями. Следовательно, для прогнозирования необходимо применять разные модели. Как выбрать наилучшую модель прогнозирования для каждой компании? Как оценить инвестиционные перспективы на основе результатов прогнозирования?
Обсуждение начинается с анализа ежегодных данных. Демонстрируются два метода сглаживания таких данных: скользящее среднее и экспоненциальное сглаживание. Затем демонстрируется процедура вычисления тренда с помощью метода наименьших квадратов и более сложные методы прогнозирования. В заключение, эти модели распространяются на временные ряды, построенные на основе ежемесячных или ежеквартальных данных.
Скачать заметку в формате или , примеры в формате
Прогнозирование в бизнесе
Поскольку экономические условия с течением времени изменяются, менеджеры должны прогнозировать влияние, которое эти изменения окажут на их компанию. Одним из методов, позволяющих обеспечить точное планирование, является прогнозирование. Несмотря на большое количество разработанных методов, все они преследуют одну и ту же цель - предсказать события, которые произойдут в будущем, чтобы учесть их при разработке планов и стратегии развития компании.
Современное общество постоянно испытывает необходимость в прогнозировании. Например, чтобы выработать правильную политику, члены правительства должны прогнозировать уровни безработицы, инфляции, промышленного производства, подоходного налога отдельных лиц и корпораций. Чтобы определить потребности в оборудовании и персонале, директора авиакомпаний должны правильно предсказать объем авиаперевозок. Для того чтобы создать достаточное количество мест в общежитии, администраторы колледжей или университетов хотят знать, сколько студентов поступят в их учебное заведение в следующем году.
Существуют два общепринятых подхода к прогнозированию: качественный и количественный. Методы качественного прогнозирования особенно важны, если исследователю недоступны количественные данные. Как правило, эти методы носят весьма субъективный характер. Если статистику доступны данные об истории объекта исследования, следует применять методы количественного прогнозирования. Эти методы позволяют предсказать состояние объекта в будущем на основе данных о его прошлом. Методы количественного прогнозирования разделяются на две категории: анализ временных рядов и методы анализа причинно-следственных зависимостей.
Временной ряд - это набор числовых данных, полученных в течение последовательных периодов времени. Метод анализа временных рядов позволяет предсказать значение числовой переменной на основе ее прошлых и настоящих значений. Например, ежедневные котировки акций на Нью-Йоркской фондовой бирже образуют временной ряд. Другим примером временного ряда являются ежемесячные значения индекса потребительских цен, ежеквартальные величины валового внутреннего продукта и ежегодные доходы от продаж какой-нибудь компании.
Методы анализа причинно-следственных зависимостей позволяют определить, какие факторы влияют на значения прогнозируемой переменной. К ним относятся методы множественного регрессионного анализа с запаздывающими переменными, эконометрическое моделирование, анализ лидирующих индикаторов, методы анализа диффузионных индексов и других экономических показателей. Мы расскажем лишь о методах прогнозирования на основе анализа временны х рядов.
Компоненты классической мультипликативной модели временны х рядов
Основное предположение, лежащее в основе анализа временных рядов, состоит в следующем: факторы, влияющие на исследуемый объект в настоящем и прошлом, будут влиять на него и в будущем. Таким образом, основные цели анализа временных рядов заключаются в идентификации и выделении факторов, имеющих значение для прогнозирования. Чтобы достичь этой цели, были разработаны многие математические модели, предназначенные для исследования колебаний компонентов, входящих в модель временного ряда. Вероятно, наиболее распространенной является классическая мультипликативная модель для ежегодных, ежеквартальных и ежемесячных данных. Для демонстрации классической мультипликативной модели временных рядов рассмотрим данные о фактических доходах компании Wm.Wrigley Jr. Company за период с 1982 по 2001 годы (рис. 1).
Рис. 1. График фактического валового дохода компании Wm.Wrigley Jr. Company (млн. долл. в текущих ценах) за период с 1982 по 2001 годы
Как видим, на протяжении 20 лет фактический валовой доход компании имел возрастающую тенденцию. Эта долговременная тенденция называется трендом. Тренд - не единственный компонент временного ряда. Кроме него, данные имеют циклический и нерегулярный компоненты. Циклический компонент описывает колебание данных вверх и вниз, часто коррелируя с циклами деловой активности. Его длина изменяется в интервале от 2 до 10 лет. Интенсивность, или амплитуда, циклического компонента также не постоянна. В некоторые годы данные могут быть выше значения, предсказанного трендом (т.е. находиться в окрестности пика цикла), а в другие годы - ниже (т.е. быть на дне цикла). Любые наблюдаемые данные, не лежащие на кривой тренда и не подчиняющиеся циклической зависимости, называются иррегулярными или случайными компонентами . Если данные записываются ежедневно или ежеквартально, возникает дополнительный компонент, называемый сезонным . Все компоненты временных рядов, характерных для экономических приложений, приведены на рис. 2.
Рис. 2. Факторы, влияющие на временные ряды
Классическая мультипликативная модель временного ряда утверждает, что любое наблюдаемое значение является произведением перечисленных компонентов. Если данные являются ежегодными, наблюдение Y i , соответствующее i -му году, выражается уравнением:
(1) Y i = T i * C i * I i
где T i - значение тренда, C i i -ом году, I i i -ом году.
Если данные измеряются ежемесячно или ежеквартально, наблюдение Y i , соответствующее i-му периоду, выражается уравнением:
(2) Y i = T i *S i *C i *I i
где T i - значение тренда, S i - значение сезонного компонента в i -ом периоде, C i - значение циклического компонента в i -ом периоде, I i - значение случайного компонента в i -ом периоде.
На первом этапе анализа временных рядов строится график данных и выявляется их зависимость от времени. Сначала необходимо выяснить, существует ли долговременное возрастание или убывание данных (т.е. тренд), или временной ряд колеблется вокруг горизонтальной линии. Если тренд отсутствует, то для сглаживания данных можно применить метод скользящих средних или экспоненциального сглаживания.
Сглаживание годовых временных рядов
В сценарии мы упомянули о компании Cabot Corporation. Имея штаб-квартиру в Бостоне, штат Массачусеттс, она специализируется на производстве и продаже химикатов, строительных материалов, продуктов тонкой химии, полупроводников и сжиженного природного газа. Компания имеет 39 заводов в 23 странах. Рыночная стоимость компании составляет около 1,87 млрд. долл. Ее акции котируются на Нью-Йоркской фондовой бирже под аббревиатурой СВТ. Доходы компании за указанный период приведены на рис. 3.
Рис. 3. Доходы компании Cabot Corporation в 1982–2001 годах (млрд. долл.)
Как видим, долговременная тенденция повышения доходов затемнена большим количеством колебаний. Таким образом, визуальный анализ графика не позволяет утверждать, что данные имеют тренд. В таких ситуациях можно применить методы скользящего среднего или экспоненциального сглаживания.
Скользящие средние. Метод скользящих средних весьма субъективен и зависит от длины периода L , выбранного для вычисления средних значений. Для того чтобы исключить циклические колебания, длина периода должна быть целым числом, кратным средней длине цикла. Скользящие средние для выбранного периода, имеющего длину L , образуют последовательность средних значений, вычисленных для последовательностей длины L . Скользящие средние обозначаются символами MA(L) .
Предположим, что мы хотим вычислить пятилетние скользящие средние значения по данным, измеренным в течение n = 11 лет. Поскольку L = 5, пятилетние скользящие средние образуют последовательность средних значений, вычисленных по пяти последовательным значениям временного ряда. Первое из пятилетних скользящих средних значений вычисляется путем суммирования данных о первых пяти годах с последующим делением на пять:
Второе пятилетнее скользящее среднее вычисляется путем суммирования данных о годах со 2-го по 6-й с последующим делением на пять:
Этот процесс продолжается, пока не будет вычислено скользящее среднее для последних пяти лет. Работая с годовыми данными, следует полагать число L (длину периода, выбранного для вычисления скользящих средних) нечетным. В этом случае невозможно вычислить скользящие средние для первых (L – 1)/2 и последних (L – 1)/2 лет. Следовательно, при работе с пятилетними скользящими средними невозможно выполнить вычисления для первых двух и последних двух лет. Год, для которого вычисляется скользящее среднее, должен находиться в середине периода, имеющего длину L . Если n = 11, a L = 5, первое скользящее среднее должно соответствовать третьему году, второе - четвертому, а последнее - девятому. На рис. 4 показаны графики 3- и 7-летних скользящих средних, вычисленные для доходов компании Cabot Corporation за период с 1982 по 2001 годы.
Рис. 4. Графики 3- и 7-летних скользящих средних, вычисленные для доходов компании Cabot Corporation
Обратите внимание на то, что при вычислении трехлетних скользящих средних проигнорированы наблюдаемые значения, соответствующие первому и последнему годам. Аналогично при вычислении семилетних скользящих средних нет результатов для первых и последних трех лет. Кроме того, семилетние скользящие средние намного больше сглаживают временной ряд, чем трехлетние. Это происходит потому, что семилетним скользящим средним соответствует более долгий период. К сожалению, чем больше длина периода, тем меньшее количество скользящих средних можно вычислить и представить на графике. Следовательно, больше семи лет для вычисления скользящих средних выбирать нежелательно, поскольку из начала и конца графика выпадет слишком много точек, что исказит форму временного ряда.
Экспоненциальное сглаживание. Для выявления долговременных тенденций, характеризующих изменения данных, кроме скользящих средних, применяется метод экспоненциального сглаживания. Этот метод позволяет также делать краткосрочные прогнозы (в рамках одного периода), когда наличие долговременных тенденций остается под вопросом. Благодаря этому метод экспоненциального сглаживания обладает значительным преимуществом над методом скользящих средних.
Метод экспоненциального сглаживания получил свое название от последовательности экспоненциально взвешенных скользящих средних. Каждое значение в этой последовательности зависит от всех предыдущих наблюдаемых значений. Еще одно преимущество метода экспоненциального сглаживания над методом скользящего среднего заключается в том, что при использовании последнего некоторые значения отбрасываются. При экспоненциальном сглаживании веса, присвоенные наблюдаемым значениям, убывают со временем, поэтому после выполнения вычислений наиболее часто встречающиеся значения получат наибольший вес, а редкие величины - наименьший. Несмотря на громадное количество вычислений, Excel позволяет реализовать метод экспоненциального сглаживания.
Уравнение, позволяющее сгладить временной ряд в пределах произвольного периода времени i , содержит три члена: текущее наблюдаемое значение Y i , принадлежащее временному ряду, предыдущее экспоненциально сглаженное значение E i –1 и присвоенный вес W .
(3) E 1 = Y 1 E i = WY i + (1 – W)E i–1 , i = 2, 3, 4, …
где E i – значение экспоненциально сглаженного ряда, вычисленное для i -го периода, E i –1 – значение экспоненциально сглаженного ряда, вычисленное для (i – 1)-гo периода, Y i – наблюдаемое значение временного ряда в i -ом периоде, W – субъективный вес, или сглаживающий коэффициент (0 < W < 1).
Выбор сглаживающего коэффициента, или веса, присвоенного членам ряда, является принципиально важным, поскольку он непосредственно влияет на результат. К сожалению, этот выбор до некоторой степени субъективен. Если исследователь хочет просто исключить из временного ряда нежелательные циклические или случайные колебания, следует выбирать небольшие величины W (близкие к нулю). С другой стороны, если временной ряд используется для прогнозирования, необходимо выбрать большой вес W (близкий к единице). В первом случае четко проявляются долговременные тенденции временного ряда. Во втором случае повышается точность краткосрочного прогнозирования (рис. 5).
Рис. 5 Графики экспоненциально сглаженного временного ряда (W=0,50 и W=0,25) для данных о доходах компании Cabot Corporation за период с 1982 по 2001 годы; формулы расчета см. в файле Excel
Экспоненциально сглаженное значение, полученное для i -го временного интервала, можно использовать в качестве оценки предсказанного значения в (i +1)-м интервале:
Для предсказания доходов компании Cabot Corporation в 2002 году на основе экспоненциально сглаженного временного ряда, соответствующего весу W = 0,25, можно использовать сглаженное значение, вычисленное для 2001 года. Из рис. 5 видно, что эта величина равна 1651,0 млн. долл. Когда станут доступными данные о доходах компании в 2002 году, можно применить уравнение (3) и предсказать уровень доходов в 2003 году, используя сглаженное значение доходов в 2002 году:
Пакет анализа Excel способен построить график экспоненциального сглаживания в один клик. Пройдите по меню Данные → Анализ данных и выберите опцию Экспоненциальное сглаживание (рис. 6). В открывшемся окне Экспоненциальное сглаживание задайте параметры. К сожалению, процедура позволяет построить только один сглаженный ряд, поэтому, если вы хотите «поиграть» с параметром W , повторите процедуру.
Рис. 6. Построение графика экспоненциального сглаживания с помощью Пакета анализа
Вычисление трендов с помощью метода наименьших квадратов и прогнозирование
Среди компонентов временного ряда чаще других исследуется тренд. Именно тренд позволяет делать краткосрочные и долгосрочные прогнозы. Для выявления долговременной тенденции изменения временного ряда обычно строят график, на котором наблюдаемые данные (значения зависимой переменной) откладываются на вертикальной оси, а временные интервалы (значения независимой переменной) - на горизонтальной. В этом разделе мы опишем процедуру выявления линейного, квадратичного и экспоненциального тренда с помощью метода наименьших квадратов.
Модель линейного тренда является простейшей моделью, применяемой для прогнозирования: Y i = β 0 + β 1 X i + ε i . Уравнение линейного тренда:
При заданном уровне значимости α нулевая гипотеза отклоняется, если тестовая t -статистика больше верхнего или меньше нижнего критического уровня t -распределения. Иначе говоря, решающее правило формулируется следующим образом: если t > t U или t < t L , нулевая гипотеза Н 0 отклоняется, в противном случае нулевая гипотеза не отклоняется (рис. 14).
Рис. 14. Области отклонения гипотезы для двустороннего критерия значимости параметра авторегрессии А р , имеющего наивысший порядок
Если нулевая гипотеза (А р = 0) не отклоняется, значит, выбранная модель содержит слишком много параметров. Критерий позволяет отбросить старший член модели и оценить авторегрессионную модель порядка р–1 . Эту процедуру следует продолжать до тех пор, пока нулевая гипотеза Н 0 не будет отклонена.
Чтобы продемонстрировать авторегрессионное моделирование, вернемся к анализу временного ряда реальных доходов компании Wm. Wrigley Jr. На рис. 15 показаны данные, необходимые для построения авторегрессионных моделей первого, второго и третьего порядка. Для построения модели третьего порядка необходимы все столбцы этой таблицы. При построении авторегрессионной модели второго порядка последний столбец игнорируется. При построении авторегрессионной модели первого порядка игнорируются два последних столбца. Таким образом, при построении авторегрессионных моделей первого, второго и третьего порядка из 20 переменных исключаются одна, две и три соответственно.
Выбор наиболее точной авторегрессионной модели начинается с модели третьего порядка. Для корректной работы Пакета анализа следует в качестве входного интервала Y указать диапазон В5:В21, а входного интервала для Х – С5:Е21. Данные анализа приведены на рис. 16.
Проверим значимость параметра А 3 , имеющего наивысший порядок. Его оценка а 3 равна –0,006 (ячейка С20 на рис. 16), а стандартная ошибка равна 0,326 (ячейка D20). Для проверки гипотез Н 0: А 3 = 0 и Н 1: А 3 ≠ 0 вычислим t -статистику:
t -критерия с n–2p–1 = 20–2*3–1 = 13 степенями свободы равны: t L =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,025;13) = –2,160; t U =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;13) = +2,160. Поскольку –2,160 < t = –0,019 < +2,160 и р = 0,985 > α = 0,05, нулевую гипотезу Н 0 отклонять нельзя. Таким образом, параметр третьего порядка не имеет статистической значимости в авторегрессионной модели и должен быть удален.
Повторим анализ для авторегрессионной модели второго порядка (рис. 17). Оценка параметра, имеющего наивысший порядок, а 2 = –0,205, а ее стандартная ошибка равна 0,276. Для проверки гипотез Н 0: А 2 = 0 и Н 1: А 2 ≠ 0 вычислим t -статистику:
При уровне значимости α = 0,05, критические величины двухстороннего t -критерия с n–2p–1 = 20–2*2–1 = 15 степенями свободы равны: t L =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,025;15) = –2,131; t U =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;15) = +2,131. Поскольку –2,131 < t = –0,744 < –2,131 и р = 0,469 > α = 0,05, нулевую гипотезу Н 0 отклонять нельзя. Таким образом, параметр второго порядка не является статистически значимым, и его следует удалить из модели.
Повторим анализ для авторегрессионной модели первого порядка (рис. 18). Оценка параметра, имеющего наивысший порядок, а 1 = 1,024, а ее стандартная ошибка равна 0,039. Для проверки гипотез Н 0: А 1 = 0 и Н 1: А 1 ≠ 0 вычислим t -статистику:
При уровне значимости α = 0,05, критические величины двухстороннего t -критерия с n–2p–1 = 20–2*1–1 = 17 степенями свободы равны: t L =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,025;17) = –2,110; t U =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;17) = +2,110. Поскольку –2,110 < t = 26,393 < –2,110 и р = 0,000 < α = 0,05, нулевую гипотезу Н 0 следует отклонить. Таким образом, параметр первого порядка является статистически значимым, и его нельзя удалять из модели. Итак, модель авторегрессии первого порядка лучше других аппроксимирует исходные данные. Используя оценки а 0 = 18,261, а 1 = 1,024 и значение временного ряда за последний год - Y 20 = 1 371,88, можно предсказать величину реальных доходов компании Wm. Wrigley Jr. Company в 2002 г.:
Выбор адекватной модели прогнозирования
Выше были описаны шесть методов прогнозирования значений временного ряда: модели линейного, квадратичного и экспоненциального трендов и авторегрессионные модели первого, второго и третьего порядков. Существует ли оптимальная модель? Какую из шести описанных моделей следует применять для прогнозирования значения временного ряда? Ниже перечислены четыре принципа, которыми необходимо руководствоваться при выборе адекватной модели прогнозирования. Эти принципы основаны на оценках точности моделей. При этом предполагается, что значения временного ряда можно предсказать, изучая его предыдущие значения.
Принципы выбора моделей для прогнозирования:
Анализ остатков. Напомним, что остатком называется разность между предсказанным и наблюдаемым значением. Построив модель для временного ряда, следует вычислить остатки для каждого из n интервалов. Как показано на рис. 19, панель А, если модель является адекватной, остатки представляют собой случайный компонент временного ряда и, следовательно, распределены нерегулярно. С другой стороны, как показано на остальных панелях, если модель не адекватна, остатки могут иметь систематическую зависимость, не учитывающую либо тренд (панель Б), либо циклический (панель В), либо сезонный компонент (панель Г).
Рис. 19. Анализ остатков
Измерение абсолютной и среднеквадратичной остаточных погрешностей. Если анализ остатков не позволяет определить единственную адекватную модель, можно воспользоваться другими методами, основанными на оценке величины остаточной погрешности. К сожалению, статистики не пришли к консенсусу относительно наилучшей оценки остаточных погрешностей моделей, применяемых для прогнозирования. Исходя из принципа наименьших квадратов, можно сначала провести регрессионный анализ и вычислить стандартную ошибку оценки S XY . При анализе конкретной модели эта величина представляет собой сумму квадратов разностей между фактическим и предсказанным значениями временного ряда. Если модель идеально аппроксимирует значения временного ряда в предыдущие моменты времени, стандартная ошибка оценки равна нулю. С другой стороны, если модель плохо аппроксимирует значения временного ряда в предыдущие моменты времени, стандартная ошибка оценки велика. Таким образом, анализируя адекватность нескольких моделей, можно выбрать модель, имеющую минимальную стандартную ошибку оценки S XY .
Основным недостатком такого подхода является преувеличение ошибок при прогнозировании отдельных значений. Иначе говоря, любая большая разность между величинами Y i и Ŷ i при вычислении суммы квадратов ошибок SSE возводится в квадрат, т.е. увеличивается. По этой причине многие статистики предпочитают применять для оценки адекватности модели прогнозирования среднее абсолютное отклонение (mean absolute deviation - MAD):
При анализе конкретных моделей величина MAD представляет собой среднее значение модулей разностей между фактическим и предсказанными значениями временного ряда. Если модель идеально аппроксимирует значения временного ряда в предыдущие моменты времени, среднее абсолютное отклонение равно нулю. С другой стороны, если модель плохо аппроксимирует такие значения временного ряда, среднее абсолютное отклонение велико. Таким образом, анализируя адекватность нескольких моделей, можно выбрать модель, имеющую минимальное среднее абсолютное отклонение.
Принцип экономии. Если анализ стандартных ошибок оценок и средних абсолютных отклонений не позволяет определить оптимальную модель, можно воспользоваться четвертым методом, основанным на принципе экономии. Этот принцип утверждает, что из нескольких равноправных моделей следует выбирать простейшую.
Среди шести рассмотренных в главе моделей прогнозирования наиболее простыми являются линейная и квадратичная регрессионные модели, а также авторегрессионная модель первого порядка. Остальные модели намного сложнее.
Сравнение четырех методов прогнозирования. Для иллюстрации процесса выбора оптимальной модели вернемся к временному ряду, состоящему из величин реального дохода компании Wm. Wrigley Jr. Company. Сравним четыре модели: линейную, квадратичную, экспоненциальную и авторегрессионную модель первого порядка. (Авторегрессионные модели второго и третьего порядка лишь незначительно улучшают точность прогнозирования значений данного временного ряда, поэтому их можно не рассматривать.) На рис. 20 показаны графики остатков, построенные при анализе четырех методов прогнозирования с помощью Пакета анализа Excel. Делая выводы на основе этих графиков, следует быть осторожным, поскольку временной ряд содержит только 20 точек. Методы построения см. соответствующий лист Excel-файла.
Рис. 20. Графики остатков, построенные при анализе четырех методов прогнозирования с помощью Пакета анализа Excel
Ни одна модель, кроме авторегрессионой модели первого порядка, не учитывает циклический компонент. Именно эта модель лучше других аппроксимирует наблюдения и характеризуется наименее систематической структурой. Итак, анализ остатков всех четырех методов показал, что наилучшей является авторегрессионная модель первого порядка, а линейная, квадратичная и экспоненциальная модели имеют меньшую точность. Чтобы убедиться в этом, сравним величины остаточных погрешностей этих методов (рис. 21). С методикой расчетов можно ознакомиться, открыв Excel-файл. На рис. 21 указаны фактические значения Y i (колонка Реальный доход ), предсказанные значения Ŷ i , а также остатки е i для каждой из четырех моделей. Кроме того, показаны значения S YX и MAD . Для всех четырех моделей величинs S YX и MAD примерно одинаковые. Экспоненциальная модель является относительно худшей, а линейная и квадратичная модели превосходят ее по точности. Как и ожидалось, наименьшие величины S YX и MAD имеет авторегрессионная модель первого порядка.
Рис. 21. Сравнение четырех методов прогнозирования с помощью показателей S YX и MAD
Выбрав конкретную модель прогнозирования, необходимо внимательно следить за дальнейшими изменениями временного ряда. Помимо всего прочего, такая модель создается, чтобы правильно предсказывать значения временного ряда в будущем. К сожалению, такие модели прогнозирования плохо учитывают изменения в структуре временного ряда. Совершенно необходимо сравнивать не только остаточную погрешность, но и точность прогнозирования будущих значений временного ряда, полученную с помощью других моделей. Измерив новую величину Y i в наблюдаемом интервале времени, ее необходимо тотчас же сравнить с предсказанным значением. Если разница слишком велика, модель прогнозирования следует пересмотреть.
Прогнозирование временны х рядов на основе сезонных данных
До сих пор мы изучали временные ряды, состоящие из годовых данных. Однако многие временные ряды состоят из величин, измеряемых ежеквартально, ежемесячно, еженедельно, ежедневно и даже ежечасно. Как показано на рис. 2, если данные измеряются ежемесячно или ежеквартально, следует учитывать сезонный компонент. В этом разделе мы рассмотрим методы, позволяющие прогнозировать значения таких временных рядов.
В сценарии, описанном в начале главы, упоминалась компания Wal-Mart Stores, Inc. Рыночная капитализация компании 229 млрд. долл. Ее акции котируются на Нью-Йоркской фондовой бирже под аббревиатурой WMT. Финансовый год компании заканчивается 31 января, поэтому в четвертый квартал 2002 года включаются ноябрь и декабрь 2001 года, а также январь 2002 года. Временной ряд квартальных доходов компании приведен на рис. 22.
Рис. 22. Квартальные доходы компании Wal-Mart Stores, Inc. (млн. долл.)
Для таких квартальных рядов, как этот, классическая мультипликативная модель, кроме тренда, циклического и случайного компонента, содержит сезонный компонент: Y i = T i * S i * C i * I i
Прогнозирование месячных и временны х рядов с помощью метода наименьших квадратов. Регрессионная модель, включающая сезонный компонент, основана на комбинированном подходе. Для вычисления тренда применяется метод наименьших квадратов, описанный ранее, а для учета сезонного компонента - категорийная переменная (подробнее см. раздел Регрессионные модели с фиктивной переменной и эффекты взаимодействия ). Для аппроксимации временных рядов с учетом сезонных компонентов используется экспоненциальная модель. В модели, аппроксимирующей квартальный временной ряд, для учета четырех кварталов нам понадобились три фиктивные переменные Q 1 , Q 2 и Q 3 , а в модели для месячного временного ряда 12 месяцев представляются с помощью 11 фиктивных переменных. Поскольку в этих моделях в качестве отклика используется переменная logY i , а не Y i , для вычисления настоящих регрессионных коэффициентов необходимо выполнить обратное преобразование.
Чтобы проиллюстрировать процесс построения модели, аппроксимирующей квартальный временной ряд, вернемся к доходам компании Wal-Mart. Параметры экспоненциальной модели, полученные с помощью Пакета анализа Excel, показаны на рис. 23.
Рис. 23. Регрессионный анализ квартальных доходов компании Wal-Mart Stores, Inc.
Видно, что экспоненциальная модель довольно хорошо аппроксимирует исходные данные. Коэффициент смешанной корреляции r 2 равен 99,4% (ячейки J5), скорректированный коэффициент смешанной корреляции - 99,3% (ячейки J6), тестовая F -статистика - 1 333,51 (ячейки M12), а р -значение равно 0,0000. При уровне значимости α = 0,05, каждый регрессионный коэффициент в классической мультипликативной модели временного ряда является статистически значимым. Применяя к ним операцию потенцирования, получаем следующие параметры:
Коэффициенты 
интерпретируются следующим образом.
Используя регрессионные коэффициенты b i , можно предсказать доход, полученный компанией в конкретном квартале. Например, предскажем доход компании для четвертого квартала 2002 года (X i = 35):
log = b 0 + b 1 Х i = 4,265 + 0,016*35 = 4,825
= 10 4,825 = 66 834
Таким образом, согласно прогнозу в четвертом квартале 2002 года компания должна была получить доход, равный 67 млрд. долл. (вряд ли следует делать прогноз с точностью до миллиона). Для того чтобы распространить прогноз на период времени, находящийся за пределами временного ряда, например, на первый квартал 2003 года (X i = 36, Q 1 = 1), необходимо выполнить следующие вычисления:
logŶ i = b 0 + b 1 Х i + b 2 Q 1 = 4,265 + 0,016*36 – 0,093*1 = 4,748
10 4,748 = 55 976
Индексы
Индексы используются в качестве индикаторов, реагирующих на изменения экономической ситуации или деловой активности. Существуют многочисленные разновидности индексов, в частности, индексы цен, количественные индексы, ценностные индексы и социологические индексы. В данном разделе мы рассмотрим лишь индекс цен. Индекс - величина некоторого экономического показателя (или группы показателей) в конкретный момент времени, выраженный в процентах от его значения в базовый момент времени.
Индекс цен. Простой индекс цен отражает процентное изменение цены товара (или группы товаров) в течение заданного периода времени по сравнению с ценой этого товара (или группы товаров) в конкретный момент времени в прошлом. При вычислении индекса цен прежде всего следует выбрать базовый промежуток времени - интервал времени в прошлом, с которым будут производиться сравнения. При выборе базового промежутка времени для конкретного индекса периоды экономической стабильности являются более предпочтительными по сравнению с периодами экономического подъема или спада. Кроме того, базовый промежуток не должен быть слишком удаленным во времени, чтобы на результаты сравнения не слишком сильно влияли изменения технологии и привычек потребителей. Индекс цен вычисляется по формуле:
где I i - индекс цен в i -м году, Р i - цена в i -м году, Р баз - цена в базовом году.
Индекс цен - процентное изменение цены товара (или группы товаров) в заданный период времени по отношению к цене товара в базовый момент времени. В качестве примера рассмотрим индекс цен на неэтилированный бензин в США в промежутке времени с 1980 по 2002 г. (рис. 24). Например:
Рис. 24. Цена галлона неэтилированного бензина и простой индекс цен в США с 1980 по 2002 г. (базовые годы - 1980 и 1995)
Итак, в 2002 г. цена неэтилированного бензина в США была на 4,8% больше, чем в 1980 г. Анализ рис. 24 показывает, что индекс цен в 1981 и 1982 гг. был больше индекса цен в 1980 г., а затем вплоть до 2000 года не превышал базового уровня. Поскольку в качестве базового периода выбран 1980 г., вероятно, имеет смысл выбрать более близкий год, например, 1995 г. Формула для пересчета индекса по отношению к новому базовому промежутку времени:
где I новый - новый индекс цен, I старый - старый индекс цен, I новая база – значение индекса цен в новом базовом году при расчете для старого базового года.
Предположим, что в качестве новой базы выбран 1995 год. Используя формулу (10), получаем новый индекс цен для 2002 года:
Итак, в 2002 г. неэтилированный бензин в США стоил на 13,9% больше, чем в 1995 г.
Невзвешенные составные индексы цен. Несмотря на то что индекс цен на любой отдельный товар представляет несомненный интерес, более важным является индекс цен на группу товаров, позволяющий оценить стоимость и уровень жизни большого количества потребителей. Невзвешенный составной индекс цен, определенный формулой (11), приписывает каждому отдельному виду товаров одинаковый вес. Составной индекс цен отражает процентное изменение цены группы товаров (часто называемой потребительской корзиной) в заданный период времени по отношению к цене этой группы товаров в базовый момент времени.
где t i - номер товара (1, 2, …, n ), n - количество товаров в рассматриваемой группе, - сумма цен на каждый из n товаров в период времени t , - сумма цен на каждый из n товаров в нулевой период времени, - величина невзвешенного составного индекса в период времени t .
На рис. 25 представлены средние цены на три вида фруктов за период с 1980 по 1999 гг. Для вычисления невзвешенного составного индекса цен в разные годы применяется формула (11), считая базовым 1980 год.
Итак, в 1999 г. суммарная цена фунта яблок, фунта бананов и фунта апельсинов на 59,4% превышала суммарную цену на эти фрукты в 1980 г.
Рис. 25. Цены (в долл.) на три вида фруктов и невзвешенный составной индекс цен
Невзвешенный составной индекс цен выражает изменения цен на всю группу товаров с течением времени. Несмотря на то что этот индекс легко вычислять, у него есть два явных недостатка. Во-первых, при вычислении этого индекса все виды товаров считаются одинаково важными, поэтому дорогие товары приобретают излишнее влияние на индекс. Во-вторых, не все товары потребляются одинаково интенсивно, поэтому изменения цен на мало потребляемые товары слишком сильно влияют на невзвешенный индекс.
Взвешенные составные индексы цен. Из-за недостатков невзвешенных индексов цен более предпочтительными являются взвешенные индексы цен, учитывающие различия цен и уровней потребления товаров, образующих потребительскую корзину. Существуют два типа взвешенных составных индексов цен. Индекс цен Лапейрэ , определенный формулой (12), использует уровни потребления в базовом году. Взвешенный составной индекс цен позволяет учесть уровни потребления товаров, образующих потребительскую корзину, присваивая каждому товару определенный вес.
где t - период времени (0, 1, 2, …), i - номер товара (1, 2, …, n ), n i в нулевой период времени, - значение индекса Лапейрэ в период времени t .
Вычисления индекса Лапейрэ показаны на рис. 26; в качестве базового используется 1980 год.
Рис. 26. Цены (в долл.), количество (потребление в фунтах на душу населения) трех видов фруктов и индекс Лапейрэ
Итак, индекс Лапейрэ в 1999 г. равен 154,2. Это свидетельствует от том, что в 1999 году эти три вида фруктов были на 54,2% дороже, чем в 1980 году. Обратите внимание на то, что этот индекс меньше невзвешенного индекса, равного 159,4, поскольку цены на апельсины - фрукты, потребляемые меньше остальных, - выросли больше, чем цена яблок и бананов. Иначе говоря, поскольку цены на фрукты, потребляемые наиболее интенсивно, выросли меньше, чем цены на апельсины, индекс Лапейрэ меньше невзвешенного составного индекса.
Индекс цен Пааше использует уровни потребления товара в текущем, а не базовом периоде времени. Следовательно, индекс Пааше более точно отражает полную стоимость потребления товаров в заданный момент времени. Однако этот индекс имеет два существенных недостатка. Во-первых, как правило, текущие уровни потребления трудно определить. По этой причине многие популярные индексы используют индекс Лапейрэ, а не индекс Пааше. Во-вторых, если цена некоторого конкретного товара, входящего в потребительскую корзину, резко возрастает, покупатели снижают уровень его потребления по необходимости, а не вследствие изменения вкусов. Индекс Пааше вычисляется по формуле:
где t - период времени (0, 1, 2, …), i - номер товара (1, 2, …, n ), n - количество товаров в рассматриваемой группе, - количество единиц товара i в нулевой период времени, - значение индекса Пааше в период времени t .
Вычисления индекса Пааше показаны на рис. 27; в качестве базового используется 1980 год.
Рис. 27. Цены (в долл.), количество (потребление в фунтах на душу населения) трех видов фруктов и индекс Пааше
Итак, индекс Пааше в 1999 г. равен 147,0. Это свидетельствует от том, что в 1999 году эти три вида фруктов были на 47,0% дороже, чем в 1980 году.
Некоторые популярные индексы цен. В бизнесе и экономике используется несколько индексов цен. Наиболее популярным является индекс потребительских цен (Consumer Index Price - CPI). Официально этот индекс называется CPI-U, чтобы подчеркнуть, что он вычисляется для городов (urban), хотя, как правило, его называют просто CPI. Этот индекс ежемесячно публикуется Бюро статистики труда (U. S. Bureau of Labor Statistics) в качестве основного инструмента для измерения стоимости жизни в США. Индекс потребительских цен является составным и взвешенным по методу Лапейрэ. При его вычислении используются цены 400 наиболее широко потребляемых продуктов, видов одежды, транспортных, медицинских и коммунальных услуг. В данный момент при вычислении этого индекса в качестве базового используется период 1982–1984 гг. (рис. 28). Важной функцией индекса CPI является его использование в качестве дефлятора. Индекс CPI используется для пересчета фактических цен в реальные путем умножения каждой цены на коэффициент 100/CPI. Расчеты показывают, что за последние 30 лет среднегодовые темпы инфляции в США составили 2,9%.
Рис. 28. Динамика Consumer Index Price; полные данные см. Excel-файл
Другим важным индексом цен, публикуемым Бюро статистики труда, является индекс цен производителей (Producer Price Index - PPI). Индекс PPI является взвешенным составным индексом, использующим метод Лапейрэ для оценки изменения цен товаров, продаваемых их производителями. Индекс PPI является лидирующим индикатором для индекса CPI. Иначе говоря, увеличение индекса PPI приводит к увеличению индекса CPI, и наоборот, уменьшение индекса PPI приводит к уменьшению индекса CPI. Финансовые индексы, такие как индекс Доу-Джонса для акций промышленных предприятий (Dow Jones Industrial Average - DJIA), S&P 500 и NASDAQ, используются для оценки изменения стоимости акций в США. Многие индексы позволяют оценить прибыльность международных фондовых рынков. К таким индексам относятся индекс Nikkei в Японии, Dax 30 в Германии и SSE Composite в Китае.
Ловушки, связанные с анализом временны х рядов
Значение методологии, использующей информацию о прошлом и настоящем для того, чтобы прогнозировать будущее, более двухсот лет назад красноречиво описал государственный деятель Патрик Генри: «У меня есть лишь одна лампа, освещающая путь, - мой опыт. Только знание прошлого позволяет судить о будущем».
Анализ временных рядов основан на предположении, что факторы, влиявшие на деловую активность в прошлом и влияющие в настоящем, будут действовать и в будущем. Если это правда, анализ временных рядов представляет собой эффективное средство прогнозирования и управления. Однако критики классических методов, основанных на анализе временных рядов, утверждают, что эти методы слишком наивны и примитивны. Иначе говоря, математическая модель, учитывающая факторы, действовавшие в прошлом, не должна механически экстраполировать тренды в будущее без учета экспертных оценок, опыта деловой активности, изменения технологии, а также привычек и потребностей людей. Пытаясь исправить это положение, в последние годы специалисты по эконометрии разрабатывали сложные компьютерные модели экономической активности, учитывающие перечисленные выше факторы.
Тем не менее, методы анализа временных рядов представляют собой превосходный инструмент прогнозирования (как краткосрочного, так и долгосрочного), если они применяются правильно, в сочетании с другими методами прогнозирования, а также с учетом экспертных оценок и опыта.
Резюме. В заметке с помощью анализа временных рядов разработаны модели для прогнозирования доходов трех компаний: Wm. Wrigley Jr. Company, Cabot Corporation и Wal-Mart. Описаны компоненты временного ряда, а также несколько подходов к прогнозированию годовых временных рядов - метод скользящих средних, метод экспоненциального сглаживания, линейная, квадратичная и экспоненциальная модели, а также авторегрессионная модель. Рассмотрена регрессионная модель, содержащая фиктивные переменные, соответствующие сезонному компоненту. Показано применение метода наименьших квадратов для прогнозирования месячных и квартальных временных рядов (рис. 29).
Р степеней свободы утрачиваются при сравнении значений временного ряда.
Всем привет, раз на хабре пошел цикл статей про нейронные сети, то и я напишу про возможность использования нейронных сетей в задаче прогнозирования финансовых временных рядов.Рис. 1 - Интервальный график в виде японских свечей индекса РТС. Период - день.
Для справки: каждая фигура на графике показывает нам определенный промежуток времени (в данном случае один день) и движения цены за этот промежуток. Опишем их:
- цена открытия - это величина цены в начале этого промежутка времени
- цена закрытия - это величина цены в конце этого промежутка времени
- максимальная цена - это максимальная цена за весь этот промежуток времени
- минимальная цена - это минимальная цена за весь этот промежуток времени
- если цена шла вверх (бычий тренд) за этот период - тело свечи будет белым (или прозрачным)
- если цена шла вниз (медвежий тренд) за этот период - тело свечи будет черным (или закрашенным) 
Рис. 2 - Японские свечи.
Действительно значимыми для предсказаний являются изменения котировок. Поэтому на вход нейронной сети после предварительной обработки будем подавать ряд процентных приращений котировок, рассчитанных по формуле X[t] / X, где X[t] и X цены закрытия периодов. 
Рис. 3 - Ряд процентных приращений котировок, рассчитанных по формуле X[t] / X.
Но, т.к. изначально процентные приращения имеют гауссово распределение, а из всех статистических функций распределения, определенных на конечном интервале, максимальной энтропией обладает равномерное распределение, то для этого перекодируем входные переменные, чтобы все примеры в обучающей выборке несли примерно одинаковую информационную нагрузку.
Рис. 4 - Распределение процентных приращений котировок.
Алгоритм здесь следующий - отрезок от минимального процентного приращения до максимального разбивается на N отрезков, так, чтобы в диапазон значений каждого отрезка входило равное количество процентных приращений котировок.
Рис. 5 - Границы 6 отрезков, количество процентных приращений в каждом отрезке равно.
Далее перекодируем процентные приращения в классы, идентифицирующие каждый отрезок.
Рис. 6 - Перекодирование процентных приращений.
И получим равномерное распределение.
Рис. 7 - Равномерное распределение.
Задача получения входных образов для формирования обучающего множества в задачах прогнозирования временных рядов предполагает использование метода «окна». Этот метод подразумевает использование «окна» с фиксированным размером, способного перемещаться по временной последовательности исторических данных, начиная с первого элемента, и предназначены для доступа к данным временного ряда, причем «окно» размером N, получив такие данные, передает на вход нейронной сети элементы с 1 по N-1, а N-ый элемент используется в качестве выхода.
Рис. 8 - Метод «окна».
Качество обучающей выборки тем выше, чем меньше ее противоречивость и больше повторяемость. Для задач прогнозирования финансовых временных рядов высокая противоречивость обучающей выборки является признаком того, что способ описания выбран неудачно. Факторы влияющие на противоречивость и повторяемость:
1) количество элементов обучающей выборки - чем больше элементов, тем больше противоречивость и повторяемость;
2) количество классов на которые перекодировали процентные приращения - при увеличение снижается противоречивость и повторяемость;
3) глубина погружения в финансовый временной ряд («окно») - чем больше глубина, тем меньше противоречивость и меньше повторяемость.
При создании обучающей выборки, меняя эти параметры, необходимо найти баланс при котором уровень противоречивости минимален а повторяемость максимальна.
Для практического примера спрогнозируем направления приращений индекса РТС с 16.01.2012 по 17.04.2012 гг, период - день.
Рис. 9 - График индекса РТС с 8.01.2012 по 18.04.2012 гг, период - день.
Создадим коллекцию нейронных сетей, показавших наилучшие результаты (более 70% правильно спрогнозированных направлений изменений значения индекса) на тестовом множестве (последние 50 периодов). Через каждые 5 периодов коллекция пересоздается, в тестовое множество включается уже прогнозированные периоды. Нейронные сети, входящие в коллекцию не однотипны - у каждой подбирается размер обучающей выборки, количество классов на которые перекодируются процентные приращения, глубина погружения («окно») и количество нейронов в скрытом слое так, чтобы наиболее точно прогнозировала текущую рыночную ситуацию (последние 50 периодов).
Базовая архитектура используемых нейронных сетей - многослойный перцептрон с одним скрытым слоем. Есть прекрасная готовая реализация в библиотеке ALGLIB . В качестве алгоритма обучения используем L-BFGS алгоритм (limited memory BFGS), квази-Ньютоновский метод с трудоемкостью итерации, линейной по количеству весовых коэффициентов WCount и размеру обучающего множества, и умеренными требованиями к дополнительной памяти - O(WCount).
Пример коллекции:
Прогноз с: 16.01.2012 по: 20.01.2012
Количество сетей: 16
Параметры сетей:
Вход: 3 Скрытый слой: 18 Количество классов: 4 Длина обучающей выборки: 200 Результат на об. выб.: 74,6 Результат на тестовой выб.: 72,5
Вход: 3 Скрытый слой: 19 Количество классов: 4 Длина обучающей выборки: 200 Результат на об. выб.: 74,6 Результат на тестовой выб.: 72,5
Вход: 3 Скрытый слой: 20 Количество классов: 4 Длина обучающей выборки: 200 Результат на об. выб.: 74,6 Результат на тестовой выб.: 72,5
Вход: 4 Скрытый слой: 18 Количество классов: 4 Длина обучающей выборки: 200 Результат на об. выб.: 75,6 Результат на тестовой выб.: 74,5
Вход: 4 Скрытый слой: 20 Количество классов: 4 Длина обучающей выборки: 200 Результат на об. выб.: 74,1 Результат на тестовой выб.: 72,5
Вход: 5 Скрытый слой: 19 Количество классов: 4 Длина обучающей выборки: 200 Результат на об. выб.: 74,6 Результат на тестовой выб.: 70,6
Вход: 5 Скрытый слой: 20 Количество классов: 4 Длина обучающей выборки: 200 Результат на об. выб.: 76,1 Результат на тестовой выб.: 72,5
Вход: 4 Скрытый слой: 18 Количество классов: 5 Длина обучающей выборки: 200 Результат на об. выб.: 67,2 Результат на тестовой выб.: 74,5
Вход: 5 Скрытый слой: 18 Количество классов: 5 Длина обучающей выборки: 200 Результат на об. выб.: 70,6 Результат на тестовой выб.: 74,5
Вход: 5 Скрытый слой: 19 Количество классов: 5 Длина обучающей выборки: 200 Результат на об. выб.: 76,6 Результат на тестовой выб.: 74,5
Вход: 5 Скрытый слой: 20 Количество классов: 5 Длина обучающей выборки: 200 Результат на об. выб.: 76,1 Результат на тестовой выб.: 74,5
Вход: 3 Скрытый слой: 18 Количество классов: 4 Длина обучающей выборки: 270 Результат на об. выб.: 74,9 Результат на тестовой выб.: 70,6
Вход: 3 Скрытый слой: 19 Количество классов: 4 Длина обучающей выборки: 270 Результат на об. выб.: 74,9 Результат на тестовой выб.: 70,6
Вход: 3 Скрытый слой: 20 Количество классов: 4 Длина обучающей выборки: 270 Результат на об. выб.: 74,9 Результат на тестовой выб.: 70,6
Вход: 5 Скрытый слой: 18 Количество классов: 4 Длина обучающей выборки: 340 Результат на об. выб.: 78,0 Результат на тестовой выб.: 70,6
Вход: 5 Скрытый слой: 19 Количество классов: 4 Длина обучающей выборки: 340 Результат на об. выб.: 79,5 Результат на тестовой выб.: 74,5
Параметры всех использованных коллекций можно посмотреть в файле
Так как прогнозируем направление изменения индекса РТС, то используем простейшую стратегию - открываем позицию по цене закрытия текущего периода и закрываем ее по цене закрытия прогнозируемого периода, фиксируя прибыль или убыток.
Рис. 10 - Результат работы.
Результат работы с 16.01.2012 по 17.04.2012 гг: 77% правильно прогнозированных направлений изменений значения индекса.
Теги:
