При принятии стратегических управленческих решений должен быть использован принцип временной стоимости денег. В основе этой концепции лежит положение о том, что одна и та же сумма денег сегодня стоит больше, чем спустя некоторое время, так как данная сумма может быть использована для получения дохода. Следовательно, будущая стоимость имеющейся в наличии сейчас суммы денег через какой-то промежуток времени равна ее сегодняшней номинальной стоимости плюс доход на нее, выраженный в процентах. Например, имеющаяся у нас банкнота в 100 руб. по своей стоимости через год равна 100 руб. плюс еще несколько гривен дохода. Размер этих дополнительных нескольких гривен определяется процентной ставкой.
Аналогично тому, как стоимость сегодняшних денег можно выразить в деньгах будущих, так и стоимость будущих денег может быть выражена в деньгах сегодняшних как текущая (или приведенная), то есть нынешняя стоимость при помощи обратной процедуры оценки: например, стоимость 100 руб., полученных через год, на нынешний момент времени определяется путем вычитания из этих 100 руб. суммы процента (дисконтирования).
Таким образом, процент можно рассматривать как плату за использование денег, которую их владелец получает, а пользователь отдает. Выплаты процента имеют место как в случае непосредственного ссужения-заимствования, так и во всех других случаях, когда возникает вопрос о стоимости денег во времени: при оплате поставляемых или приобретаемых услуг в течение нескольких оговоренных периодов времени, оценке альтернативных инвестиционных решений, вариантов закупки оборудования и других активов и т.д. Так, в управлении инновационной деятельностью альтернативные варианты управленческих решений приводятся в сопоставимый вид по фактору времени (время осуществления проектов или вложения инвестиций). Сущность фактора времени заключается здесь в том, что инвестор, вложив свой капитал в какой-либо проект, через несколько лет получит большую сумму. Для учета фактора времени прошлые затраты приводятся к будущему году пуска объекта в эксплуатацию (или к году реализации мероприятия) при помощи умножения номинальных прошлых затрат на коэффициент накопления.
С позиций бухгалтерского учета важно различать затраты на выплату процента и процентные доходы, а также собственно процент и основную сумму, на которую он начисляется. Процент, как правило, устанавливается в виде ставки за определенный период, выраженный в процентах, а величина процентных выплат определяется на основе основной суммы, на которую начисляется процент, ставки процента и числа периодов. Обычно в качестве такого периода берется год, хотя весьма распространены контракты, в которых оговаривается и другая протяженность периода, за который выплачивается процент: полугодие, квартал, месяц. В отсутствие указания периода начисления процента в качестве такового подразумевается год. Принципиальное значение имеет классификация процентов на простые и сложные. Различие между ними возникает при начислении процентов в течение нескольких периодов (лет).
При использовании простых процентов их сумма не меняется от периода к периоду, поскольку неизменной остается основная сумма, на которую они начисляются. Так, при получении займа в размере 1000 руб. на три года под 10% годовых заемщик выплатит заимодателю 100 руб. в первый год, 100 руб. - во второй, в третий - тоже 100 руб. и основную сумму долга. Общую сумму процентных выплат можно рассчитать по формуле P x i x n, где P - основная сумма, i - ставка процента и n - число периодов, на которые выдана ссуда.
Начисление сложных процентов происходит в тех случаях, когда по истечении одного периода процентные выплаты и основная сумма складываются и полученный результат выступает базой для начисления процента в следующий период. Причем такая процедура используется в течение всех периодов при переходе от одного из них к другому. Так, начисление сложных процентов на ссуду в 1000 руб. будет выглядеть следующим образом:
1-й год - 1000 руб. × 0,1 = 100 руб.;
2-й год - (1000 руб. + 100 руб.) × 0,1 = 110 руб.;
3-й год - (1000 руб. + 100 руб. + 110 руб.) × 0,1 = 121 руб.
Принцип начисления сложных процентов заложен в основу понятий будущей и текущей стоимости. Для расчета будущей стоимости денег сегодня или текущей их стоимости в некий момент в будущем применяются следующие методы:
Последовательный расчет процентных выплат от периода к периоду на основании знания ставки процента, основной суммы и числа периодов (см. вышеприведенный расчет);
Использование математических формул зависимости процентных выплат от основной суммы, ставки процента и числа периодов;
Использование таблиц значение текущей и будущей стоимостей одной единицы валюты;
Использование специализированных калькуляторов и компьютерных программ (специализированных программ и любых электронных таблиц).
Для упрощения расчета будущей стоимости имеющейся сегодня суммы денег или текущей стоимости некой суммы, которую мы хотим получить в будущем, используется простой, но весьма остроумный математический прием: расчеты проводятся применительно не ко всей основной сумме, а к одной единице, после чего их результаты умножаются на размер суммы. Определяемая таким способом будущая стоимость одной единицы валюты называется будущей стоимостью единицы (Кt1) и вычисляется по формуле:
Kt1 = (1 + n) t .
Так, при ставке процента, равной 12, и числе периодов, равном 5, будущая стоимость одной единицы валюты составит (1 + 0,12) 5 = 1,76234. Помножив на это число ту сумму, которой мы располагаем, получим ее будущую стоимость через 5 периодов (например, лет) при ставке процента, равной 12. Так, будущая стоимость 1000 руб. составит 1762,34 руб.
Поскольку эти методы расчета задают однозначное соответствие между основной суммой, ставкой процента, числом периодов и доходом в будущем, при их помощи можно легко вычислить ставку процента или число периодов (лет), на которые нужно вложить основную сумму, чтобы получить желаемый доход.
При точном вычислении ставки процента целесообразнее пользоваться формулами, калькулятором или электронными таблицами, поскольку она может оказаться дробным числом, в то время как в таблицах будущей или текущей стоимости соответствующие значения указаны только для целых значений ставки процента, за исключением 2,5 (такая ставка весьма распространена при поквартальном начислении процента).
Будущая стоимость некой имеющейся в настоящем суммы денег получается путем начисления сложных процентов на основную сумму в течение нескольких периодов (отделяющих сегодняшний день от того момента в будущем, на который оценивается данная будущая сумма) и их сложения с нею. Текущая стоимость некой суммы денег в будущем определяется вычитанием из нее начисленных за несколько периодов сложных процентов, иначе называемых ее дисконтированием.
Ставка процента, как правило, определяется тремя факторами, аппелируя к которым можно вынести суждение о том, соответствует она рыночной или нет. Первая составляющая ставки процента - это ставка в чистом виде, т.е. некая премия за то, что хозяйственный субъект отказывается от использования ссужаемых под процент денег на определенный период. Ведь тем самым он отказывается от расходования этих денег на личные нужды или альтернативных вариантов их помещения в рост. Этот компонент ставки процента хозяйственный субъект определяет исходя как из собственных представлений о ценности денег для себя в данный момент, так и из существующих на рынке ставок процента на вложение средств.
Вторая составляющая ставки процента обусловлена риском полного или частичного невозвращения вложенных средств. Она существенно зависит от категории заемщика, определяемой, прежде всего, степенью его надежности, размером и качеством предлагаемого в обеспечение ссуды залога, гарантиями третьих лиц и другими обстоятельствами, так или иначе позволяющими судить о перспективах возвращения ссужаемой суммы.
Наконец, третьей составляющей ставки процента является уровень инфляции, который закладывается в нее для предотвращения обесценения основной суммы и процентных поступлений.
На основе принципов будущей и текущей стоимостей осуществляются расчеты как применительно к одной основной сумме, вкладываемой единовременно, так и применительно к нескольким основным суммам, вкладываемым в течение нескольких периодов равномерными частями, - аннуитету. На каждую из этих частей начисляются сложные проценты. Такая часть называется аннуитетным платежом и может либо вкладываться, либо изыматься из общей суммы аннуитета. Аннуитеты делятся на два вида в зависимости от того, выплачиваются аннуитетные платежи (с соответствующим начислением сложных процентов) в конце или в начале очередного периода. В первом случае речь идет о так называемом обыкновенном аннуитете, или аннуитете постнумерандо, во втором - об аннуитете пренумерандо. При отсутствии указания на конкретный вид аннуитета имеется в виду обыкновенный аннуитет.
Будущая стоимость обыкновенного аннуитета является будущей стоимостью нескольких поступлений или выплат равных денежных сумм, осуществляемых на протяжении определенного числа периодов начисления сложных процентов по установленной ставке процента. Будущая стоимость обычного аннуитета определяется методами, аналогичными вышеназванным способам определения будущей стоимости единицы валюты. Наиболее характерным направлением применения принципа будущей стоимости простого аннуитета является учет накопления какого-либо фонда, предназначенного в будущем для выплаты задолженности, финансирования расширения производственных мощностей, осуществления инвестиционных проектов и хозяйственных нужд.
Текущая стоимость обыкновенного аннуитета представляет собой выраженный в деньгах сегодняшний эквивалент аннуитетных платежей (как поступлений, так и выплат), осуществляемых в течение нескольких будущих периодов. Аннуитетные платежи производятся равными суммами через равные интервалы времени при неизменной ставке сложного процента.
Будущая стоимость аннуитета пренумерандо превосходит будущую стоимость обыкновенного за счет большего (на один период) числа периодов, за которые начисляется процент. Это происходит благодаря тому, что при аннуитете пренумерандо каждый аннуитетный платеж осуществляется в начале соответствующего периода, а не в конце, как при обыкновенном аннуитете. Сложный процент при аннуитете пренумерандо начинает начисляться с конца первого, а не второго периода, как при обыкновенном.
Нынешняя стоимость аннуитета пренумерандо определяется методом дисконтирования - списания с суммы аннуитета в будущем суммы сложных процентов за число периодов, по истечении которых она начисляется. Однако из-за того, что аннуитетные платежи вносятся в начале каждого периода, число периодов дисконтирования на единицу меньше числа периодов, за которые вносятся аннуитетные платежи.
В бухгалтерской практике часто возникают ситуации, когда необходимо рассчитать несколько сумм по принципу их будущей или текущей стоимости. Одним из примеров такой ситуации может служить так называемый отложенный аннуитет, состоящий из двух фаз:
1) вложения капитала в течение нескольких периодов, чтобы по их окончании накопить определенную сумму, состоящую из основных сумм вложений и сложных процентов;
2) выплаты накопленной суммы единовременно или равными частями в течение нескольких периодов. В последнем случае на оставшуюся сумму аннуитета продолжает начисляться сложный процент.
Итак, существует несколько принципов определения стоимости денег в зависимости от времени их поступления или выплаты и начисления процента:
1) простой процент;
2) будущая стоимость единицы валюты;
3) текущая стоимость единицы валюты;
4) будущая стоимость аннуитетных платежей в единицу валюты (обыкновенный аннуитет);
5) будущая стоимость аннуитетных платежей в единицу валюты (аннуитет пренумерандо);
6) нынешняя стоимость аннуитетных платежей в единицу валюты (обыкновенный аннуитет);
7) нынешняя стоимость аннуитетных платежей в единицу валюты (аннуитет пренумерандо).
Глава 1. Фактор времени и оценка потоков платежей
В этой главе:
Выплаты по ценным бумагам характеризуются размером, сроком их получения и степенью риска. Поэтому при оценке эффективности операции с той или иной ценной бумагой прежде всего следует учитывать время и условия генерируемых ею выплат. В процессе определения цены операции и ее доходности возникает необходимость перехода от оценок будущих поступлений к значениям их стоимости в настоящий момент. В этой главе будет показано, как оценки предполагаемых выплат по ценным бумагам с точки зрения времени их получения могут быть использованы для определения основных количественных характеристик подобных операций. Их применение для анализа ценных бумаг конкретного вида будет рассмотрено в следующих главах.
1.1 Временная ценность денег
В условиях рыночной экономики при проведении финансовых операций важнейшую роль играет фактор времени. "Золотое" правило бизнеса гласит:
Сумма, полученная сегодня, больше той же суммы, полученной завтра.
Поясним "золотое" правило бизнеса на следующем условном примере.
Пример 1.1
Предположим, что некто X обладает суммой S 0 = 10000, которую он может положить в банк на депозит под 10% годовых.
В идеальном случае (отсутствие инфляции, налогообложения, риска неплатежеспособности банка и т.д.) проведение этой операции обеспечит получение через год суммы, равной уже 11000:
(10000,00 + 10000 ´ 0,1) = 10000 (1 +0,1) = 11000.
Если указанная сумма (10000) окажется в распоряжении Х только через год, он будет вынужден отложить или даже отменить осуществление этой операции, теряя тем самым возможность получить доход в 1000.
Очевидно, что с этой точки зрения сумма S 1 = 10000, получение которой ожидается только через год, является в данной ситуации для Х менее ценной по сравнению с эквивалентной суммой S 0 , имеющейся к текущему моменту времени, поскольку обладание последней связано с возможностью заработать дополнительный доход (1000) и увеличить свои средства до 11000.
В этом же смысле текущая стоимость будущих 10000 для Х эквивалентна той сумме, которую необходимо поместить в банк под 10% чтобы получить их год спустя:
10000 / (1 + 0,1) = 9090,91.
Продемонстрированная неравноценность двух одинаковых по величине (S 0 = S 1 = 10000), но разных по времени получения (t 0 ¹ t 1 ) денежных сумм – явление, широко известное и осознанное в финансовом мире. Его существование обусловлено целым рядом причин. Вот лишь некоторые из них:
Исследования этого явления нашли свое воплощение в формулировке принципа временной ценности денег (time value of money), который является краеугольным камнем в современном финансовом менеджменте . Согласно этому принципу, сегодняшние поступления ценнее будущих . Соответственно будущие поступления обладают меньшей ценностью, по сравнению с современными.
Из принципа временной ценности денег вытекает, по крайней мере, два важных следствия:
Таким образом, необходимость учета фактора времени при проведении финансовых операций требует применения специальных количественных методов его оценки.
В условиях рыночной экономики при проведении финансовых операций важнейшую роль играет фактор времени. «Золотое» правило бизнеса гласит: Сумма, полученная сегодня, больше эквивалентной суммы, полученной завтра. Проиллюстрируем это ключевое правило бизнеса с помощью простой и наглядной модели «инвестиции-потребление» известного экономиста И. Фишера (I. Fisher), который разработал одно из наиболее фундаментальных положений финансового менеджмента - принцип временнбй стоимости денег (time value of money). Модель Фишера базируется на ряде теоретических допущений, наиболее существенными из которых являются: наличие бесперебойно и эффективно функционирующего рынка капиталов; возможность для любого лица беспрепятственного заимствования и кредитования по единой процентной ставке; временная ограниченность модели (два периода); условие полной определенности. 1) Каждая единица дохода, инвестированная в текущем периоде, дает возможность заработать сумму (1 + r), 2) Каждая единица будущего дохода должна обладать меньшей ценностью по сравнению с текущей, поскольку отсрочка ее получения лишает возможность заработать в перспективе дополнительный доход в размере (1 + г). Продемонстрированная неравноценность двух одинаковых по величине (S 0 = но разных по времени получения денежных сумм (t 0 Ф t l) - явление, широко известное и осознанное в финансовом мире. Его существование обусловлено целым рядом причин. Вот лишь некоторые из них:
Предпочтение индивидуумами в общем случае немедленного потребления отложенному;
Имеющаяся в наличии денежная сумма в условиях рынка может быть инвестирована и спустя некоторое время принести доход;
В реальном мире будущее всегда связано с неопределенностью, поэтому будущие доходы всегда более рисковые, чем текущие;
Даже при небольшой инфляции покупательная способность денег со временем снижается и др.
Исследования этого явления нашли свое воплощение в формулировке принципа временнбй ценности денег (Time Value of Money - TVM), который является краеугольным камнем в современном финансовом менеджменте. Согласно этому принципу сегодняшние поступления ценнее будущих. Соответственно, будущие поступления обладают меньшей ценностью по сравнению с текущими.
Из принципа временной ценности денег вытекает, по крайней мере, два важных следствия:
Необходимость учета фактора времени, в особенности при проведении долгосрочных финансовых операций;
Некорректность (с позиции финансового менеджмента) суммирования денежных величин, относящихся к разным периодам времени (Разумеется, подобное суммирование допустимо, если фактор времени не имеет особого значения, например, в бухгалтерском учете).
Таким образом, необходимость учета фактора времени в финансовом менеджменте требует применения специальных методов его оценки.
14. Теории и модели временной структуры процентных ставок.
Теории временной структуры процентных ставок
Интерес к изучению временной структуры процентных ставок возник в конце XIX века. Существует несколько теорий кривой доходности ценных бумаг. Наиболее проверяемой теорией является теория ожиданий.
Теория ожиданий
В общем виде теория ожиданий предполагает, что долгосрочные процентные ставки отражают ожидания краткосрочных ставок. Различают два типа теории ожиданий: чистую теорию ожиданий и теорию ожиданий.
Чистая теория ожиданий утверждает, что долгосрочные процентные ставки равны среднему от ожидаемых краткосрочных процентных ставок. В первоначальном виде теория ожиданий предполагала совершенное предвидение и нейтральность инвесторов по отношению к риску. Это утверждение равносильно нескольким эквивалентным определениям.
1) Ожидаемая доходность от владения облигациями с любыми сроками до погашения за период времени будет одинаковой и равна спот-ставке по облигации с сроком до погашения:
2) Спот-ставка по облигации, погашаемой через периодов, равна ожидаемой ставке за период владения облигацией с большим сроком до погашения:
3) Доходность долгосрочной облигации равна среднему ожидаемых доходностей краткосрочных облигаций за весь срок до погашения:
4) Форвардная премия за срок равна нулю для любого срока до погашения (форвардная ставка равна ожидаемой спот-ставке):
Однако многие ученые указывали на то, что в данном виде теория ожиданий противоречит ряду требований. Развитие теории рациональных ожиданий позволило преодолеть возникшее противоречие. С этого времени теория ожиданий для временной структуры предполагала наличие ненулевой премии в зависимости от срока до погашения. Теория рациональных ожиданий применительно к временной структуре процентных ставок вошла в большинство учебников по теории финансов, макроэкономике и денежной теории под названием собственно теории ожиданий.
Согласно данной теории ожиданий ожидаемая избыточная доходность (премия за срок) равна постоянной величине, одинаковой для облигаций со всеми сроками до погашения,
Оба вида теории ожиданий обладают рядом свойств, позволяющих объяснить форму наблюдаемых кривых доходности. Во-первых, они объясняют, почему доходности облигаций с различными сроками до погашения движутся однонаправлено. Если рост краткосрочных процентных ставок сегодня воспринимается как долгосрочное повышение уровня процента, то сохраняются ожидания их роста и в будущем. Ожидаемое повышение краткосрочных ставок вызывает рост долгосрочных ставок в текущем периоде. Таким образом, краткосрочные и долгосрочные ставки движутся однонаправлено.
Во-вторых, теории ожиданий объясняют, почему кривая доходности имеет положительный наклон, когда краткосрочные ставки низки, и отрицательный наклон, когда краткосрочные ставки высоки. Если краткосрочные ставки низки (ниже долгосрочного среднего уровня), то экономические агенты ожидают их роста, если высоки (выше долгосрочного среднего уровня) – снижения. Таким образом, долгосрочные ставки, равные среднему текущих и будущих краткосрочных ставок, оказываются выше или ниже доходности коротких облигаций.
В-третьих, данные теории объясняют большую волатильность краткосрочных ставок по сравнению с долгосрочными. Поскольку процентные ставки демонстрируют свойство возвращаться к среднему, то среднее краткосрочных ставок должно иметь меньшую волатильность, чем сами спот-ставки.
Однако теории ожиданий не могут объяснить тот факт, что кривая доходности имеет преимущественно положительный наклон. В этом случае, согласно теории, краткосрочные процентные ставки чаще находятся ниже долгосрочного среднего уровня. Кроме того, согласно приведенным выше формулировкам обоих типов теории ожиданий кривая доходности должна стремиться к горизонтальной прямой, что на практике наблюдается редко.
Допущение о возможности наличия постоянной премии за срок позволило сблизить теорию ожиданий и альтернативный подход, развиваемый на протяжении десятилетий – теорию предпочтения ликвидности.
Применительно к анализу временной структуры российского рынка ценных бумаг особо стоит выделить работы, посвященные проверке теории ожиданий на развивающихся рынках (Энтов, Радыгин, Мау, Синельников, Трофимов, Дробышевский, Луговой и др., 1998). Исследования показали, что хотя чистая гипотеза ожиданий не оправдывается, предсказательная способность временной структуры процентных ставок на развивающихся рынках соответствует, в целом, результатам, полученным для развитых финансовых рынков, и текущие долгосрочные процентные ставки содержат информацию о будущих коротких ставках процента.
В предыдущей главе 1, в разделе 1.3, были рассмотрены те исторические изменения, которые претерпели деньги за последние несколько столетий. Основная отличительная особенность современных денег, по сравнению со средневековыми металлическими, состоит в том, что их покупательная способность теперь не остаётся неизменной во времени. В соответствии с этим, И. Фишер ещё в 1898 г. в книге «Покупательная сила денег» высказал гениальную идею определения стоимости любого, действующего в настоящее время денежного актива: стоимость денежного актива в любой настоящий момент времени равняется сумме текущих стоимостей всех будущих поступлений денежного потока, порождаемого данным активом (рис. 6).
На рис. 7 показано, что сам по себе денежный номинал (один условный доллар) при переходе от сегодня к завтра остаётся тем же самым, однако его покупательная способность меняется: 1$ сегодня не равен по покупательной способности тому же 1$ завтра;
На рис. 8 показан второй из сформулированных выше тезисов: тот же условный доллар завтра будет дешевле, потому что материальные ценности («треугольник» МЦ), которые стоят за долларом сегодня, завтра уменьшатся, поскольку будут потреблены (показан «усечённый треугольник» МЦ);
Чтобы сегодняшний денежный номинал завтра имел ту же покупательную способность, что и сегодня (и мы могли бы вместо знака > написать =), необходимо часть сегодняшних денег инвестировать в предпринимательские проекты, которые завтра компенсируют потреблённую (от сегодня до завтра) часть материальных ценностей ДМЦ (рис. 9).
Из принципа временной ценности денег вытекает два логических следствия:
С разновременными (относящимися к разным моментам времени) денежными номиналами впрямую (непосредственно) оперировать нельзя (запрещено данным принципом);
Если денежные номиналы относятся к разным моментам времени (например, суммы денег, получаемые (выплачиваемые) в разные дни, разные месяцы, разные кварталы и т.п.), то их сначала необходимо привести (пересчитать) к одному моменту времени (к сегодняшнему или, наоборот, к какому-то будущему моменту) и только после этого их можно складывать, вычитать и т.д.
Исходя из данного принципа, Дж. Уильямс в 1938 г. построил математический аппарат «дисконтированных денежных потоков», получивший название «финансовая математика», и предназначенный для пересчётов стоимости денежных номиналов, относящихся к разным периодам (моментам) времени. В следующих разделах главы 2
последовательно (от простого к сложному) развернём формальные основы финансовой математики.
2.2. Первичная ситуация учёта временной ценности денег
Представим на графической модели (рис. 10) третий пункт принципа временной ценности денег в несколько упрощённом виде (без изображения проектов - их необходимость будем только подразумевать) и введём формальные обозначения:
НС - «настоящая стоимость» - денежные номиналы, относящиеся сегодняшнему моменту; в англоязычном варианте PV - present value;
БС - «будущая стоимость» - стоимость, которую мы должны иметь завтра (с учётом прироста материальных ценностей, необходимого для компенсации обесценения сегодняшних денежных номиналов); в англоязычном варианте FV - future value.
Введём формальный параметр г, которому придадим три смысловых плана (рис. 11).
Рис. 11. Смысловые планы параметра r Это значит, что параметр r мы будем трактовать трояким образом, в зависимости от того, какую задачу решаем: то как индекс инфляции (темп обесценения денег), то как процент наращивания стоимости (для компенсации обесценения номиналов), то как требуемую доходность инвестора от вложений денег (с целью сохранения от инфляции). К примеру, если в данное время в данном месте инфляция составляет 10% (г = 10%), то для её компенсации нужно обеспечить прирост стоимости материальных ценностей на 10% (r = 10%) и инвестору, чтобы сохранить свои деньги от обесценения, необходимо их инвестировать с требуемой доходностью не ниже 10% (г = 10%).
Теперь представим А, входящую в БС, несколько иначе: будем считать, что она является величиной, равной г НС, где г - процентная ставка наращивания настоящей стоимости в будущем, необходимая для сохранения сегодняшнего номинала (по стоимости) завтра, или:
За соотношениями (3) и (4) стоят следующие содержательные посылки:
Денежные номиналы, относящиеся к двум разным моментам времени, впрямую не сопоставимы; их всякий раз необходимо приводить к одному моменту времени: к «будущему» - по формуле (3), или к «настоящему» - по формуле (4);
Выделяют два типа задач, связанных с указанными пересчетами:
I. Прямая задача - пересчёт «сегодняшних» номиналов в «завтрашние»; она называется «задачей наращивания (мультиплицирования) стоимости»;
II. Обратная задача - пересчёт ожидаемых будущих («завтрашних») номиналов в «сегодняшние»; она называется «задачей дисконтирования (приведения к настоящему моменту времени) стоимости»; тот и другой пересчёт предполагает сохранение баланса стоимостей (при изменении номиналов) во времени;
Параметр r - для прямой задачи трактуется как процентная ставка наращивания стоимости в будущем; для обратной задачи - как требуемая доходность инвестора.
Таким образом, мы рассмотрели первую, простейшую теоретическую ситуацию, в которой рассматривали два момента времени («сегодня» и «завтра») и две единичные стоимости (НС и БС), кото
рые должны быть эквивалентны в указанных двух моментах времени. Графически это можно представить так (рис. 12).
2.3. Пересчёт денежных номиналов для n интервалов времени
Если мы имеем несколько временных интервалов (в общем случае - n) и две единичной суммы денежных номиналов - НС на начало первого временного интервала и - на БСП конец последнего n-го временного интервала, то графическая модель этой (второй) ситуации будет выглядеть так (рис 13).
На рис. 13 изображена ось времени, на ней - отсечки временных моментов: от 0 - настоящий момент - до n - последний, будущий момент времени, на который (прямая задача) или от которого (обратная задача) требуется сделать пересчёт денежных номиналов. Соответственно, символ будущей стоимости здесь должен иметь индекс последнего момента времени - БСП.
Наращивание (мультиплицирование) будущей стоимости может осуществляться двумя способами (по двум схемам расчётов):
1) простых процентов; 2) сложных процентов.
Схема простых процентов основана на неизменности базы для начисления процентов. Если даны n - периодов, в каждый из которых начисляют проценты, то в итоге (через n - периодов) будем иметь:
Примером применения схемы сложных процентов может быть ситуация банковского вклада, когда начисленные в предыдущий год проценты прибавляются к сумме вклада и эта общая сумма служит базой для начисления процентов для следующего периода.
Схема сложных процентов - базовая в финансовом менеджменте. Коэффициенты наращивания и дисконтирования стоимости, рассчитанные по данной схеме, табулированы. Это значит - рассчитаны для всех значений возможных процентных ставок (г) и временных моментов (t). Результаты расчётов внесены в специальные финансовые таблицы, которые есть в любом учебнике финансового менеджмента, в том числе в данном учебном пособии (см. Приложение 4).
В таблицу 3 Приложения 4 помещены «мультиплицирующие множители» - коэффициенты наращивания стоимости для разных процентных ставок (r) - первый параметр, и разных будущих моментов времени (t = 1, 2, 3, ... n) - второй параметр:
«дисконтирующий множитель».
значения помещены в таблицу 1 Приложения 4.
Методика работы с финансовыми таблицами дана в Приложении 5.
2.4. Пересчёт денежных потоков общего вида
Следующим усложнением (третья ситуация) является переход к рассмотрению не единичной денежной суммы, а денежного потока - фундаментального понятия финансового менеджмента.
Денежный поток - это последовательность денежных поступлений (платежей) в течение нескольких периодов, осуществляемых через равные интервалы времени: С1, С2, С3, ... Сп.
В общем случае, все Q могут быть неравными друг другу и быть с разными знаками: если с «+», то это трактуется как поступление денег, если с «-», то это - выплаты (инвестиции) денег.
При этом различают две разновидности денежных потоков:
а) пренумерандо; б) постнумерандо.
«Пренумерандо» - это денежный поток, платежи которого осуществляются в момент начала каждого временного интервала (периода). В содержательном плане - это поток авансов и предоплат (рис. 15):
Оценка того и другого денежного потока (ДП) может осуществляться в рамках решения тех же двух задач:
Прямая задача - это оценка каждого из элементов денежного потока с позиции будущего, и затем суммирование элементов ДП,
пересчитанных на последний (n-й) момент времени (наращивание, или мультиплицирование суммарной стоимости ДП).
Смысл прямой задачи состоит в следующем: если на чей-то счёт в банке через равные промежутки времени (например, в конце каждого месяца) поступают некоторые денежные суммы С1, С2, С3 ,... Сп и требуется узнать, сколько там накопится через год (n равно 12 месяцев), то впрямую величины Q складывать нельзя, поскольку на них будут начисляться проценты. Поэтому их все нужно сначала, как бы, «сдвинуть» на конец года, скорректировав каждую величину Q на соответствующий коэффициент наращивания стоимости. Таких «сдвижек» придётся сделать: для первого элемента (п - 1) раз (временных интервалов), для второго (п - 2) раза, и т.д., в общем случае (n - t) разов. И только после этих процедур можно будет суммировать величины, относящиеся уже к одному, конечному, или n-му моменту времени.
Обратная задача - это оценка каждого элемента ДП с позиции настоящего (дисконтирование, или приведение суммарной стоимости ДП к нулевому моменту) и затем суммирование.
Смысл обратной задачи не столь прозрачен, нежели - прямой. Суть здесь можно понять на следующем примере, который типичен для практики именно финансового менеджера.
Если стоит задача определить, по какой максимально допустимой цене имеет смысл покупать на рынке выставленную на продажу ценную бумагу, то следует определить ту общую сумму денег (в виде дивидендов, если это - акция, купонных доходов, если - корпоративная облигация и т.п.), которую она может принести инвестору в будущем за всё время действия данной ценной бумаги. Эта сумма всех будущих поступлений денег и будет определять максимально допустимую цену бумаги, которую за неё может себе позволить дать инвестор.
Но здесь есть важный нюанс: разновременные денежные номиналы складывать нельзя (в соответствии с принципом временной
ценности денег). В силу их инфляционного обесценения от периода к периоду 1000 долларов сегодня и 1000 долларов, например, через 10 лет - существенно разные (по покупательной способности) денежные номиналы. Поэтому все они должны быть сначала пересчитаны на сегодняшний момент времени (момент покупки ценной бумаги) с учётом предстоящего обесценения. Последнее обеспечивается за счёт процедуры дисконтирования элементов денежного потока, т.е. «сдвижки», или пересчёта, каждого элемента ДП к начальному моменту на то количество шагов, которое соответствует его номеру на оси времени: первый - на 1 шаг влево, второй - на 2 и т.д. При этом ставка г, по которой должен делаться пересчёт элементов ДП, здесь будет трактоваться инвестором как «требуемая доходность», необходимая ему для компенсации инфляционного обесценения денежных номиналов в предстоящих будущих периодах.
Графическое изображение прямой задачи для ДП постнуме- рандо (для краткости - «пст») представлено на рис. 17:
Такая графическая конструкция (и ей подобные, рассматриваемые ниже) носит название Cash Flow Model - Модель денежного потока, или «Модель кэш-фло».
Символ X БСпст называется «суммарной будущей стоимостью денежного потока постнумерандо». Эта величина рассчитывается следующим образом:
Графическое изображение обратной задачи для денежного потока постнумерандо представлено на рис. 18:
Символ X НСпст называется «суммарной настоящей стоимостью ДП постнумерандо». Расчет этой величины осуществляют по следующим формулам:
Если речь идет о денежном потоке «пренумерандо» (для краткости - «пре»), то для прямой задачи графическая модель ДП будет выглядеть следующим образом (рис. 19):
Обратная задача для денежного потока «пренумерандо» может быть представлена графически следующим образом (рис. 20):
Расчёт величины ХНСпре может быть осуществлен за счёт «сдвижки» влево каждого элемента ДП, причём таких «сдвижек» будет на одну меньше (по сравнению с расчётом ХНСпст). Формально это выглядит так:
Аннуитет - чрезвычайно распространённый в финансовой практике вид денежного потока. Его примерами могут служить ежемесячные выплаты зарплаты в виде окладов, получение ежегодных фиксированных дивидендов владельцем привилегированной акции или ежепериодные выплаты инвестору купонного дохода по облигации.
Для аннуитетов решают те же самые прямую и обратную задачи. Содержательный смысл их тот же, что и для денежных потоков общего вида.
Для аннуитета постнумерандо суммарная будущая стоимость ХБАпст будет равна:
где: г - требуемая доходность инвестора (процентная ставка наращивания стоимости элементов аннуитета);
n - количество элементов аннуитета.
Аналогично рассчитывается суммарная настоящая стоимость аннуитета постнумерандо:
где: г - требуемая доходность инвестора, компенсирующая инфляционное обесценение элементов аннуитета;
n - количество элементов в аннуитете.
Для аннуитетов пренумерандо применяются те же процедуры уточняющего пересчёта, что и для соответствующих денежных потоков общего вида (см. формулы 15 и 17):
Существует 2 частных случая аннуитетов:
а) бессрочный аннуитет (перпетуитет);
б) составной аннуитет.
Управление денежными потоками и их анализ базируются на теоретических концепциях, особое место среди которых занимает концепция временной ценности денег или ценности денег во времени (time value of money) – объективно существующая характеристика денежных ресурсов. Смысл ее состоит в том, что денежная единица сегодня и денежная единица, ожидаемая к получению в будущем, неравноценны: сегодняшние поступления гораздо ценнее будущих. Иными словами, одна и та же денежная сумма имеет разную ценность во времени по отношению к данному текущему моменту времени.
Эта неравноценность определяется действием как минимум трех причин: инфляцией , которая приводит к обесцениванию денег, риском неполучения ожидаемой суммы денег и оборачиваемостью . Оборачиваемость заключается в том, что денежные средства, как и любой актив, должны с течением времени генерировать доход по приемлемой ставке. Таким образом, сумма, ожидаемая к получению через некоторое время, должна превышать первоначально вкладываемую сумму на величину приемлемого дохода. Из принципа временной ценности денег вытекают два следствия:
1. необходимость учета фактора времени при проведении финансовых операций (покупке и продаже ценных бумаг, осуществлении лизинга, реализации инвестиционных проектов, получении и погашении кредитов и др.);
2. некорректность суммирования денежных величин, относящихся к разным периодам времени.
Поэтому необходимо приведение денежных потоков к одному моменту времени посредством применения специальных количественных методов оценки временного фактора. Фактор времени учитывается с помощью методов наращения и дисконтирования . С помощью этих методов осуществляется приведение денежных сумм, относящихся к различным временным периодам, к требуемому моменту времени в настоящем или будущем. Методы наращения и дисконтирования являются инструментарием для оценки денежных потоков.
Оценка денежных потоков может выполняться в рамках решения двух задач:
1. Прямой , когда проводится оценка с точки зрения будущего, то есть реализуется схема наращения. Под наращением понимается процесс увеличения первоначальной стоимости в результате начисления процентов по приемлемой ставке. Метод наращения позволяет определить будущую величину (future value - FV) текущей стоимости (present value - PV) через некоторый промежуток времени (n) исходя из заданной процентной ставки (interest rate - i).
2. Обратной , когда проводится оценка с точки зрения настоящего, то есть реализуется схема дисконтирования. Под дисконтированием (discounting) понимается приведение будущей стоимости денежных средств к настоящему моменту времени. Метод дисконтирования помогает определить современное, то есть текущее значение (PV) будущей стоимости (FV). Вторая задача чаще встречается в финансовом и инвестиционном анализе.
Таким образом, в первом случае движение денег идет от настоящего к будущему, а во втором – от будущего к настоящему. Оценка денежных потоков методами наращения и дисконтирования лежит в основе современных методов количественного финансового анализа и используется во многих методиках планирования и оценки эффективности реальных и финансовых инвестиций, оценки бизнеса и т.д.
В зависимости от условий проведения финансовых операций наращение и дисконтирование денежных средств могут осуществляться с использованием схемы простых или сложных процентов.
Простые проценты начисляются на первоначальную стоимость, то есть база начисления простых процентов неизменна (всегда PV). Схема простых процентов используется в практике банковских расчетов при начислении процентов по депозитам и кредитам.
Сложные проценты имеют место, когда сумма начисленного процента не выплачивается после каждого периода, а присоединяется к исходной сумме, то есть происходит капитализация процентов по мере их начисления. В результате база начисления сложных процентов всегда разная, так как в нее включаются ранее начисленные проценты. Сложные проценты, как правило, применяются в долгосрочных финансовых операциях, при высоком уровне инфляции и риска.
Наращение и дисконтирование денежных потоков предполагает обоснованный выбор ставки процента (нормы дисконта). В этом качестве могут быть использованы средняя депозитная или кредитная ставки, индивидуальная норма доходности с учетом определенных факторов (уровня инфляции, степени риска и ликвидности), норма доходности по альтернативным видам инвестиций, норма доходности по текущей деятельности и другие. От степени обоснованности величины процентной ставки во многом зависят результаты расчета, их качество.