Реальные данные часто содержат все три компоненты. В большинстве случаев временной ряд можно представить как сумму или произведение трендовой , циклической и случайной компонент. В случае суммы имеет место аддитивная модель временного ряда:
(1)
в случае произведения – мультипликативная модель:
. (2)
Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда – выявление количественного выражения каждой из компонент и использование полученной информации для прогноза будущих значений ряда или построение модели взаимосвязи двух или более временных рядов.
Сначала рассмотрим основные подходы к анализу отдельного временного ряда. Такой ряд может содержать, помимо случайной составляющей, либо только тенденцию, либо только сезонную (циклическую) компоненту, либо все компоненты вместе. Для того, чтобы выявить наличие той или иной неслучайной компоненты, исследуется корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда, или автокорреляция уровней ряда. Основная идея такого анализа заключается в том, что при наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих.
Количественно автокорреляцию можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.
Коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и т.е. при лаге 1.
Он вычисляется по следующей формуле:
(3)
где в качестве средних величин берутся значения:
(4)
В первом случае усредняются значения ряда, начиная со второго до последнего, во втором случае - значения ряда с первого до предпоследнего.
Формулу (3) можно представить как формулу выборочного коэффициента корреляции:
(5)
где в качестве переменной берется ряд 
а в качестве переменной ряд 
Если значение коэффициента (3) близко к единице, это указывает на очень тесную зависимость между соседними уровнями временного ряда и о наличии во временном ряде сильной линейной тенденции.
Аналогично определяются коэффициенты автокорреляции более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:
(6)
где в качестве одной средней величины берут среднюю уровней ряда с третьего до последнего, а в качестве другой - среднюю с первого уровня до
(7)
Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Для обеспечения статистической достоверности максимальный лаг, как считают некоторые известные эконометристы, не должен превышать четверти общего объема выборки.
Коэффициент автокорреляции строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции, и поэтому он характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. По нему можно судить о наличии линейной или близкой к линейной тенденции. Однако для некоторых временных рядов с сильной нелинейной тенденцией (например, параболической или экспоненциальной), коэффициент автокорреляции уровней ряда может приближаться к нулю.
Кроме того, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных имеют положительную автокорреляцию уровней, однако при этом не исключается убывающая тенденция.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней различных порядков, начиная с первого, называется автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага называется коррелограммой. Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы помогает выявить структуру ряда. Здесь уместно привести следующие качественные рассуждения.
Если наиболее высоким является коэффициент автокорреляции первого порядка, очевидно, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка τ , ряд содержит циклические колебания с периодичностью в τ моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, то либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний и имеет только случайную составляющую, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для исследования которой нужно провести дополнительный анализ.
Пример . Пусть имеются данные об объёмах потребления электроэнергии жителями района за 16 кварталов, млн. квт.-ч:
| t | ||||||||||||||||
| y t | 6,0 | 4,4 | 5,0 | 9,0 | 7,2 | 4,8 | 6,0 | 10,0 | 8,0 | 5,6 | 6,4 | 11,0 | 9,0 | 6,6 | 7,0 | 10,8 |
Нанесем эти значения на график:
Определим автокорреляционную функцию данного временного ряда. Рассчитаем коэффициент автокорреляции первого порядка. Для этого определим средние значения:
С учетом этих значений можно построить вспомогательную таблицу:
| t | y t |  | ||||
| 6,0 | -1,0667 | 1,137778 | ||||
| 4,4 | -2,9867 | -2,6667 | 3,185778 | 8,920178 | 7,111111 | |
| 5,0 | -2,3867 | -2,0667 | 6,364444 | 5,696178 | 4,271111 | |
| 9,0 | 1,6133 | 1,9333 | -3,33422 | 2,602844 | 3,737778 | |
| 7,2 | -0,1867 | 0,1333 | -0,36089 | 0,034844 | 0,017778 | |
| 4,8 | -2,5867 | -2,2667 | -0,34489 | 6,690844 | 5,137778 | |
| 6,0 | -1,3867 | -1,0667 | 3,143111 | 1,922844 | 1,137778 | |
| 10,0 | 2,6133 | 2,9333 | -2,78756 | 6,829511 | 8,604444 | |
| 8,0 | 0,6133 | 0,9333 | 1,799111 | 0,376178 | 0,871111 | |
| 5,6 | -1,7867 | -1,4667 | -1,66756 | 3,192178 | 2,151111 | |
| 6,4 | -0,9867 | -0,6667 | 1,447111 | 0,973511 | 0,444444 | |
| 11,0 | 3,6133 | 3,9333 | -2,40889 | 13,05618 | 15,47111 | |
| 9,0 | 1,6133 | 1,9333 | 6,345778 | 2,602844 | 3,737778 | |
| 6,6 | -0,7867 | -0,4667 | -1,52089 | 0,618844 | 0,217778 | |
| 7,0 | -0,3867 | -0,0667 | 0,180444 | 0,149511 | 0,004444 | |
| 10,8 | 3,4133 | -0,22756 | 11,65084 | |||
| Итог | 9,813333 | 65,3173 | 54,0533 |
С помощью итоговых сумм подсчитаем величину коэффициента автокорреляции первого порядка:
.
Это значение свидетельствует о слабой зависимости текущих уровней ряда от непосредственно им предшествующих. Однако из графика очевидно наличие возрастающей тенденции уровней ряда, на которую накладываются циклические колебания.
Продолжая аналогичные расчеты для второго, третьего и т.д. порядков, получим автокорреляционную функцию, значения которой сведем в таблицу и построим по ней коррелограмму:
| Лаг | ||||||||
| 0,16515 | 0,56687 | 0,11355 | 0,98302 | 0,11871 | 0,72204 | 0,00336 | 0,97384 |
 |
В случае, если при анализе структуры временного ряда обнаружена только тенденция и отсутствуют циклические колебания (случайная составляющая присутствует всегда), следует приступать к моделированию тенденции. Если же во временном ряде имеют место и циклические колебания, прежде всего следует исключить именно циклическую составляющую, и лишь затем приступать к моделированию тенденции. Выявление тенденции состоит в построении аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда . Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда .
Зависимость от времени может принимать разные формы, поэтому для её формализации используют различные виды функций:
Линейный тренд: 
;
Гипербола: 
;
Экспоненциальный тренд: (или );
Степенной тренд: ;
Параболический тренд второго и более высоких порядков:
Параметры каждого из трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время , а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда y t (или уровни за вычетом циклической составляющей, если таковая была обнаружена). Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.
Существует несколько способов определения типа тенденции. Чаще всего используют качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет некоторых основных показателей динамики. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни y t и y t -1 тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.
Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации и выбора уравнения тренда с максимальным значением этого коэффициента. Реализация этого метода относительно проста при компьютерной обработке данных.
При анализе временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания, наиболее простым подходом является расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временнóго ряда в форме (1) или (2).
Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель (1), в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель (2), которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.
Построение модели (1) или (2) сводится к расчету значений Т , S или Е для каждого уровня ряда. Процесс построения модели включает в себя следующие шаги:
1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2. Расчет значений сезонной компоненты S .
3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (Т+Е ) в аддитивной или (Т·Е ) в мультипликативной модели.
4. Аналитическое выравнивание уровней (Т+Е ) или (Т·Е ) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.
5. Расчет полученных по модели значений (Т+S ) или (Т·S )
6. Расчет абсолютных и относительных ошибок.
Пример . Построение аддитивной модели временного ряда . Рассмотрим данные об объёме потребления электроэнергии жителями района из ранее приведенного примера. Из анализа автокорреляционной функции было показано, что данный временнóй ряд содержит сезонные колебания периодичностью в 4 квартала. Объёмы потребления электроэнергии в осенне – зимний период (I и IV кварталы) выше, чем весной и летом (II и III кварталы). По графику этого ряда можно установить наличие приблизительно равной амплитуды колебаний. Это говорит о возможном наличии аддитивной модели. Рассчитаем её компоненты.
Шаг 1 . Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней.
Поскольку циклические колебания имеют периодичность в 4 квартала, просуммируем уровни ряда последовательно за каждые 4 квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объёмы потребления электроэнергии (колонка 3 в таблице 1).
Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (колонка 4 таблицы 1). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.
Поскольку скользящие средние получены осреднением четырех соседних уровней ряда, т.е. четного числа значений, они соответствуют серединам подынтервалов, состоящих из четверок чисел, т.е. должны располагаться между третьим и четвертым значениями четверок исходного ряда. Для того, чтобы скользящие средние располагались на одних временных отметках с исходным рядом, пары соседних скользящих средних ещё раз усредняются и получаются центрированные скользящие средние (колонка 5 таблицы 1). При этом теряются первые две и последние две отметки временного ряда, что связано с осреднением по четырем точкам.
Таблица 1
| № квартала | Потребление электроэнергии y t | Итого за четыре квартала | Оценка сезонной компоненты | ||
| 6,0 | |||||
| 4,4 | |||||
| 5,0 | 24,4 | 6,10 | 6,25 | -1,250 | |
| 9,0 | 25,6 | 6,40 | 6,45 | 2,550 | |
| 7,2 | 26,0 | 6,50 | 6,625 | 0,575 | |
| 4,8 | 27,0 | 6,75 | 6,875 | -2,075 | |
| 6,0 | 28,0 | 7,00 | 7,1 | -1,100 | |
| 10,0 | 28,8 | 7,20 | 7,3 | 2,700 | |
| 8,0 | 29,6 | 7,40 | 7,45 | 0,550 | |
| 5,6 | 30,0 | 7,50 | 7,625 | -2,025 | |
| 6,4 | 31,0 | 7,75 | 7,875 | -1,475 | |
| 11,0 | 32,0 | 8,00 | 8,125 | 2,875 | |
| 9,0 | 33,0 | 8,25 | 8,325 | 0,675 | |
| 6,6 | 33,6 | 8,40 | 8,375 | -1,775 | |
| 7,0 | 33,4 | 8,35 | |||
| 10,8 |
Шаг 2 . Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда (колонка 2 таблицы 1) и центрированными скользящими средними (колонка 5). Эти значения помещаем в колонку 6 таблицы 1 и используем для расчета значений сезонной компоненты (таблица 2), которые представляют собой средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты S i . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период (в данном случае – за год) взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем точкам (здесь – по четырем кварталам) должна быть равна нулю.
Таблица 2
Для данной модели сумма средних оценок сезонной компоненты равна:
0,6-1,958-1,275+2,708=0,075.
Эта сумма оказалась не равной нулю, поэтому каждую оценку уменьшим на величину поправки, равной одной четверти полученного значения:
Δ=0,075/4=0,01875.
Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты (они записаны в последней строке таблицы 2):
(8)
Эти значения при суммировании уже равны нулю:
0,581-1,977-1,294+2,69=0.
Шаг 3 . Исключаем влияние сезонной компоненты, вычитая её значения из каждого уровня исходного временного ряда. Получаем величины:
T+E=Y-S (9)
Эти значения рассчитываются в каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту (колонка 4 следующей таблицы):
Таблица 3
| t | T | T+S | E 2 | ||||
| 6,0 | 0,581 | 5,419 | 5,902 | 6,483 | -0,483 | 0,2332 | |
| 4,4 | -1,977 | 6,377 | 6,088 | 4,111 | 0,289 | 0,0833 | |
| 5,0 | -1,294 | 6,294 | 6,275 | 4,981 | 0,019 | 0,0004 | |
| 9,0 | 2,69 | 6,310 | 6,461 | 9,151 | -0,151 | 0,0228 | |
| 7,2 | 0,581 | 6,619 | 6,648 | 7,229 | -0,029 | 0,0008 | |
| 4,8 | -1,977 | 6,777 | 6,834 | 4,857 | -0,057 | 0,0032 | |
| 6,0 | -1,294 | 7,294 | 7,020 | 5,726 | 0,274 | 0,0749 | |
| 10,0 | 2,69 | 7,310 | 7,207 | 9,897 | 0,103 | 0,0107 | |
| 8,0 | 0,581 | 7,419 | 7,393 | 7,974 | 0,026 | 0,0007 | |
| 5,6 | -1,977 | 7,577 | 7,580 | 5,603 | -0,003 | 0,0000 | |
| 6,4 | -1,294 | 7,694 | 7,766 | 6,472 | -0,072 | 0,0052 | |
| 11,0 | 2,69 | 8,310 | 7,952 | 10,642 | 0,358 | 0,1278 | |
| 9,0 | 0,581 | 8,419 | 8,139 | 8,720 | 0,280 | 0,0785 | |
| 6,6 | -1,977 | 8,577 | 8,325 | 6,348 | 0,252 | 0,0634 | |
| 7,0 | -1,294 | 8,294 | 8,512 | 7,218 | -0,218 | 0,0474 | |
| 10,8 | 2,69 | 8,110 | 8,698 | 11,388 | -0,588 | 0,3458 |
Шаг 4 . Определим трендовую компоненту данной модели. Для этого проведем выравнивание ряда (Т+Е ) с помощью линейного тренда:
, найдем уровни Т
для каждого момента времени (колонка 5 таблицы 3).
Шаг 5 . Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов, т.е. к значениям в колонке 5 таблицы 3 прибавим значения в колонке 3. Результаты операции представлены в колонке 6 таблицы 3.
Шаг 6 . В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производим по формуле:
(10)
Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в колонке 7 таблицы 3.
По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построения модели или для выбора наилучшей модели можно применять сумму квадратов полученных абсолютных ошибок. Для данной аддитивной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна 1,10. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной 71,59, эта величина составляет чуть более 1,5%. Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 98,5% общей вариации уровней временного ряда потребления электроэнергии за последние 16 кварталов.
Пример . Построение мультипликативной модели временного ряда . Пусть имеются поквартальные данные о прибыли компании за последние четыре года:
Таблица 4
График временного ряда свидетельствует о наличии сезонных колебаний периодичностью 4 квартала и общей убывающей тенденции уровней ряда:
 |
Шаг 1 . Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой аддитивной модели. Результаты расчетов оценок сезонной компоненты представлены в таблице:
Таблица 5
| № квартала | Прибыль компании | Итого за четыре квартала | Скользящая средняя за четыре квартала | Центрированная скользящая средняя | Оценка сезонной компоненты |
| 81,500 | 81,250 | 1,108 | |||
| 81,000 | 80,000 | 0,800 | |||
| 79,000 | 77,750 | 0,900 | |||
| 76,500 | 75,750 | 1,215 | |||
| 75,000 | 74,000 | 1,081 | |||
| 73,000 | 71,500 | 0,811 | |||
| 70,000 | 68,500 | 0,905 | |||
| 67,000 | 65,750 | 1,217 | |||
| 64,500 | 63,250 | 1,075 | |||
| 62,000 | 59,500 | 0,807 | |||
| 57,000 | 54,750 | 0,950 | |||
| 52,500 | 50,250 | 1,194 | |||
| 48,000 | |||||
Шаг 2 . Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (колонка 6 таблицы). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S . Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты S i . Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна равняться числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла (год) равно четырем кварталам. Результаты расчетов сведем в таблицу:
Таблица 6
Здесь сумма средних оценок сезонных компонент по всем четырем кварталам
не равна четырем. Чтобы эта сумма равнялась четырем, умножим каждое слагаемое на поправочный коэффициент
Шаг 3 . Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Тем самым мы получим величины
, (12)
Шаг 4 . Определим трендовую компоненту в мультипликативной модели. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни (Т+Е ). Уравнение тренда имеет вид:
Подставляя в это уравнение значения , найдем уровни Т
для каждого момента времени (колонка 5 таблицы).
Шаг 5 . Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (колонка 6 таблицы).
Шаг 6 . Расчет ошибок в мультипликативной модели произведем по формуле:
. (13)
Численные значения ошибок приведены в колонке 7 таблицы. Для того, чтобы сравнить мультипликативную модель и другие модели временного ряда, можно по аналогии с аддитивной моделью использовать сумму квадратов абсолютных ошибок. Абсолютные ошибки в мультипликативной модели определяются как:
. (14)
В данной модели сумма квадратов абсолютных ошибок составляет 207,4. Общая сумма квадратов отклонений фактических уровней этого ряда от среднего значения равна 5023. Таким образом, доля объясненной дисперсии уровней ряда составляет 95,9%.
Прогнозирование по аддитивной или мультипликативной модели временного ряда сводится к расчету будущего значения временного ряда по уравнению модели без случайной составляющей в виде
для аддитивной или
для мультипликативной модели.
Понятие сезонных колебаний и сезонной составляющей
Методы распознавания типа тренда и оценки его параметров
Основные типы трендов
Виды и построение временных рядов
ТЕМА 6. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ТРЕНДОВ
План лекции:
Эконометрическую модель можно построить, используя 2 типа исходных данных:
1. данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент (периоды времени). Модели, построенные по этим данным, называются пространственными.
2. данные, характеризующие один объект за ряд последовательных периодов времени. Модели, построенные по этим данным, называются моделями временных рядов
В литературе встречаются также понятия ряда динамики или динамические ряды. Данные термины несколько отличаются по сущности от понятия временной ряд , поскольку не каждый ряд уровней за последовательные периоды времени на самом деле содержат динамику какого - либо показателя.
Термин динамика правильнее относить к изменениям, направленному развитию, наличию тенденций рассматриваемых показателей. Следовательно, временной ряд – это более общее понятии, включающее, как динамические, так и статистические последовательности уровней какого-либо показателя.
Временной ряд – это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень состояния и изменения изучаемого явления.
Классификация временных рядов.
Каждый временной ряд включает 2 обязательных элемента:
2. конкретное значение показателей (уровень ряда)
Временной ряд различаю по следующим признакам:
1. повремени:
а) моментный ряд, характеризующий изучаемое явление в конкретный момент времени
б) интервальный, т.е., уровень ряда, характеризующий признак за определенный период времени
2. по форме представления:
а) абсолютных величин
б) относительных величин
в) средних величин
3. по расстоянию между датами или интервалами времени:
а) полные ряды, когда даты следуют друг за другом с равными интервалами-
б) неполные.
а) частных показателей, характеризующих явления односторонне, изолированных
б) ряды агрегированных показателей, т.е. характеризующих явления комплексно.
Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов. Условно их можно подразделить на 3 группы:
1) факторы, формирующие тенденцию ряда
2) факторы, формирующие цикличность колебаний ряда
3) случайные факторы
При статистическом изучении динамики, необходимо четко разделять 2 основных ее элемента:
1) тенденцию
2) колеблемость,
чтобы с помощью специальных показателей дать каждому из них, количественную характеристику
Колеблемость – это отклонение уровней отдельных периодов времени от тенденции динамики.
Тренд – это устойчивая тенденция во временном ряду, более или менее свободная от случайных колебаний.
Тенденции изменения показателей сложных общественных явлений только приближенно можно выразить тем или иным уравнением, линией тренда.
Во временных рядах обычно различают тенденции трех видов.
Тенденция среднего уровня выражается обычно с помощью математического уравнения линии, вокруг которой варьируют фактические уровни исследуемого явления. Уравнение имеет следующий вид: ƒ.
Смысл этой функции заключается в том, что значения тренда в отдельные моменты времени выступают математическими ожиданиями ряда динамики.
Тенденция дисперсии характеризует тенденцию изменения отклонений между эмпирическими уровнями и детерминированной компонентой ряда.
Тенденция автокорреляции характеризует связь между отдельными уровнями ряда динамики.
Общие составляющие компоненты временного ряда y или :
: Регулярная (основная) компонента, характеризующая общую тенденцию ряда (тренд)
v:Сезонная компонента (внутригодичные колебания) в общем виде - циклическая составляющая
e: Случайная компонента (случайные отклонения).
Как видим, все компоненты, которые формируют уровень временного ряда, подразделяются на три группы. Основной составляющей является тренд. Значения сезонной и случайной компонент остаются после выделения из него трендовой составляющей.
Если все составляющие компоненты найдены верно, то математическое ожидание случайной компоненты равно нулю и ее колебания около среднего значения постоянны.
При различных сочетаниях в изучаемом явлении этих элементов, временной ряд может иметь различные формы:
1) большинство временных рядов имеет тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Данные факторы, взятые в отдельности могут оказывать разнонаправленные воздействия, однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию.
2) изучаемые показатели могут быть подвержены циклическим колебаниям, они могут носить сезонный характер.
3) Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклические компоненты, а каждый их следующий уровень образуется, как сумма среднего уровня ряда и некоторые случайные компоненты.
В реальных условиях временной ряд содержит чаще всего 3 компонента и каждый уровень ряда формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний, и случайной компоненты.
Уровни временного ряда можно представить как сумму или произведение всех его составляющих компонент (трендовой, сезонной и случайной). Модель, в которой все компоненты ряда представлены как сумма этих составляющих, называют аддитивной. Если факторы влияния представлены как произведение составляющих, то модель называют мультипликативной.
Основной задачей эконометрики при исследовании временного рядя является количественное выражение каждой из вышеперечисленных компонент для дальнейшего использования полученной информации. (для прогнозирования будущих значений ряда или построения модели двух или более временных рядов).
Большинство эконометрических моделей строится как динамические эконометрические модели. Это означает, что моделирование причинно-следственных связей между переменными осуществляется во времени, а исходные данные представлены в форме временных рядов.
Временной ряд х t (t=1; n ) – ряд значений какого-либо показателя за несколько последовательных промежутков времени.
Каждый временной ряд х t складывается из следующих основных составляющих (компонентов):
В зависимости от взаимосвязи между составляющими может быть построена либо аддитивная модель : =T+K+S+E, либо мультипликативная модель : =T·K·S·E ряда динамики.
Для определения состава компонентов (структуры временного ряда)
в модели временного ряда строят автокорреляционную функцию.
Автокорреляция – корреляционная связь между последовательными уровнями одного и того же ряда динамики (сдвинутыми на определенный промежуток времени L - лаг). То есть, автокорреляция - это связь между рядом: x 1 , x 2 , ... x n-l
и рядом x 1+l , x 2+l , ...,x n
, где L - положительное целое число. Автокорреляция может быть измерена коэффициентом автокорреляции:
,
где 
,
– средний уровень ряда (x 1+L , x 2+L ,...,x n
),
средний уровень ряда (x 1 , x 2 ,..., x n-L),
s t
, s t-L
– средние квадратические отклонения, для рядов (x 1+L
, x 2+L ,..., x n
) и (x 1 , x 2 ,..., x n-L
) соответственно.
Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если L =1, то имеем коэффициент автокорреляции 1-ого порядка r t,t-1 , если L =2, то коэффициент автокорреляции 2-ого порядка r t,t- 2 и т.д. Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу, число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции уменьшается на 1. Поэтому обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции равный n /4.
Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг (L), при котором автокорреляция (r t,t-L ) наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда .
Для выявления закономерных колебаний внутри года при выполнении контрольной работы рекомендуется рассчитывать не меньше 4-х уровней коэффициентов автокорреляции.
Рассмотрим на примере как построить коррелограмму, чтобы определяется структуру временного ряда.
Пусть нам даны поквартальные данные об объеме выпуска некоторого товара некоторой фирмой –х
(усл.ед.) за 3 года:
|
1993 |
1994 |
1995 |
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
410 |
560 |
715 |
500 |
520 |
740 |
975 |
670 |
705 |
950 |
1200 |
900 |
|
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
х t |
- |
560 |
715 |
500 |
520 |
740 |
975 |
670 |
705 |
950 |
1200 |
900 |
r t,t-1 =0,537 |
|
x t-1 |
- |
410 |
560 |
715 |
500 |
520 |
740 |
975 |
670 |
705 |
950 |
1200 |
|
|
х t |
- |
- |
715 |
500 |
520 |
740 |
975 |
670 |
705 |
950 |
1200 |
900 |
r t,t-2 =0,085 |
|
х t-2 |
- |
- |
410 |
560 |
715 |
500 |
520 |
740 |
975 |
670 |
705 |
950 |
|
|
х t |
- |
- |
- |
500 |
520 |
740 |
975 |
670 |
705 |
950 |
1200 |
900 |
r t,t-3 =0,445 |
|
х t-3 |
- |
- |
- |
410 |
560 |
715 |
500 |
520 |
740 |
975 |
670 |
705 |
|
|
х t |
- |
- |
- |
- |
520 |
740 |
975 |
670 |
705 |
950 |
1200 |
900 |
r t,t-4 =0,990 |
|
х t-4 |
- |
- |
- |
- |
410 |
560 |
715 |
500 |
520 |
740 |
975 |
670 |
|
|
х t |
- |
- |
- |
- |
- |
740 |
975 |
670 |
705 |
950 |
1200 |
900 |
r t,t-5 =0,294 |
|
х t-5 |
- |
- |
- |
- |
- |
410 |
560 |
715 |
500 |
520 |
740 |
975 |
Результаты расчетов представлены в таблице 7.
Таблица 7
|
Лаг (порядок) – L |
r t,t-L |
Коррелограмма |
|
1 |
0,537 |
**** |
|
2 |
0,085 |
* |
|
3 |
0,445 |
*** |
|
4 |
0,990 |
***** |
|
5 |
0,294 |
** |
Вывод: в данном ряду динамики имеется тенденция (т.к. r t,t-1 =0,537 →1) и периодические колебания с периодом (L) равным 4, т.е. имеют место сезонные колебания (т.к. r t,t-4 =0,99 →1).
Построение модели временного ряда с сезонными колебаниями (аддитивная модель
).
Процесс построения модели временного ряда (х
), содержащего n
уровней некоторого показателя за Z
лет, с L сезонными колебаниями включает следующие шаги:
1) Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней
(х c
). Произведем выравнивание исходного ряда взятого из примера, рассмотренного выше, методом скользящей средней с периодом усреднения равным 3. Результаты представлены в таблице 9 (столбец 4).
2) Расчет значений сезонной составляющейS i , i=1;L ,
где L
– число сезонов в году. Для нашего примера L =4 (сезоны - кварталы).
Расчет значений сезонных составляющих осуществляется после устранения тенденции из исходных уровней ряда: x-x c
(столбец 5, таблица 9). Для дальнейшего расчета S i
построим отдельную таблицу. Строки данной таблицы соответствуют сезонам, столбцы - годам. В теле таблицы находятся значения: x -x c
. По этим данным рассчитываются средние оценки сезонных составляющих каждой строке (S c i)
. Если сумма всех средних оценок равна нулю (), то данные средние и будут окончательными значениями сезонных составляющих (S i =S c i
). Если их сумма не равна нулю, то рассчитываются скорректированные значения сезонных составляющих вычитанием из средней оценки величины равной отношению суммы средних оценок к их общему числу (
). Для нашего примера расчет значений S i
представлен в таблице 8.
Таблица 8
|
Номер сезона |
Год 1 |
Год 2 |
Год 3 |
Средняя оценка сезонной составляющей |
Скорректированная оценка сезонной составляющей S i |
|
1 |
- |
-66,67 |
-70,00 |
-68,33 |
-67,15 |
|
2 |
-1,67 |
-5,00 |
-1,67 |
-2,78 |
-1,60 |
|
3 |
123,33 |
180 ,00 |
183,33 |
162,22 |
163,40 |
|
4 |
-78,33 |
-113,33 |
- |
-95,83 |
-94,66 |
|
Итого |
|
|
|
-4, 72 |
0 |
.
.
:
(столбец 7 таблицы 9).
|
T |
t у |
x |
x c |
x- x c |
x s |
T |
|
E |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
1 |
-11 |
410 |
- |
- |
477,15 |
462,9 0 |
395,75 |
14,25 |
|
|
2 |
-9 |
560 |
561,67 |
-1,67 |
561,60 |
512,75 |
511,15 |
48,85 |
|
|
3 |
-7 |
715 |
591,67 |
123,33 |
551,60 |
562,60 |
726,00 |
-11,01 |
|
|
4 |
-5 |
500 |
578,33 |
-78,33 |
594,65 |
612,45 |
517,80 |
-17,80 |
|
|
5 |
-3 |
520 |
586,67 |
-66,67 |
587,15 |
662,31 |
595,15 |
-75,15 |
|
|
6 |
-1 |
740 |
745 ,00 |
-5 ,00 |
741,60 |
712,16 |
710,56 |
29,44 |
|
|
7 |
1 |
975 |
795 ,00 |
180 ,00 |
811,60 |
762,00 |
925,41 |
49,59 |
|
|
8 |
3 |
670 |
783,33 |
-113,33 |
764,65 |
811,86 |
717,21 |
-47,21 |
|
|
9 |
5 |
705 |
775 ,00 |
-70 ,00 |
772,15 |
861,71 |
794,56 |
-89,56 |
|
|
10 |
7 |
950 |
951,67 |
-1,67 |
951,60 |
911,56 |
909,97 |
40,03 |
|
|
11 |
9 |
1200 |
1016,67 |
183,33 |
1036, 60 |
961,41 |
1124,82 |
75,18 |
|
|
12 |
11 |
900 |
- |
- |
994,65 |
1011,27 |
916,61 |
-16,61 |
|
Итого |
8845 |
|
|
8845 ,00 |
8845 ,00 |
8845 ,00 |
16,61 |
||
Прогнозирование по аддитивной модели
.
Пусть требуется дать прогноз уровня временного ряда на период (n
+1). Точечный прогноз значения уровня временного ряда х n+1
в аддитивной модели есть сумма трендовой компоненты и сезонной компоненты (соответствующей i
–ому сезону прогноза): =T n+1 +S i .
Для построения доверительного интервала прогноза нужно рассчитать среднюю ошибку прогноза:
m р =
,
где h
- число параметров в уравнении тренда;
t yp
– значение условной переменной времени для периода прогнозирования.
Затем рассчитаем предельную ошибку прогноза: D р =t a
· m р
,
где t a
- коэффициент доверия, определяемый по таблицам Стьюдента по уровню значимости α и числу степеней свободы равным (n-h
).
Окончательно получим: (-D р; +D р).
Вопрос 1: «ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВРЕМЕННОГО РЯДА»
Можно построить эконометрическую модель, используя два типа исходных данных:
· данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент (период) времени;
· данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов (периодов) времени.
Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные на основе второго типа данных, называютсямоделями временных рядов.
Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:
· факторы, формирующие тенденцию ряда;
· факторы, формирующие циклические колебания ряда;
· случайные факторы.
При различных сочетаниях в изучаемом явлении или процессе этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать различные формы.
Во-первых, большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Очевидно, что эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. На рис. 6.1 а) показан гипотетический временной ряд, содержащий возрастающую тенденцию.
Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию в летний период выше, чем в зимний; уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка, а также с фазой-бизнес цикла, в которой находится экономика страны. На рис. 6.1 б) представлен гипотетический временной ряд, содержащий только сезонную компоненту.
Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты. Пример ряда, содержащего только случайную компоненту, приведен на рис. 6.1 в).
Очевидно, что реальные данные не следуют целиком и полностью из каких-либо описанных выше моделей. Чаще всего они содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.
В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача эконометрического исследования от дельного временного ряда - выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов
Рис. 6.1. «Основные компоненты временного ряда: а – возрастающая тенденция; б – сезонная компонента, в – случайная компонента.
Вопрос 2: «АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ УРОВНЕЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА И ВЫЯВЛЕНИЕ ЕГО СТРУКТУРЫ»
При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называютавтокорреляцией уровней рада.
Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Рассмотрим пример.
Пример 6.1 Расчет коэффициентов автокорреляции уровней для временного ряда расходов на конечное потребление.
Пусть имеются следующие условные данные о средних расходах на конечное потребление y t (д.е.) за 8 лет. Табл. 6.1
Расчет коэффициента автокорреляции первого порядка для временного ряда расходов на конечное потребление, д.е.
| t | ()* () | ||||||
| 1 | 7 | - | - | - | - | - | - |
| 2 | 8 | 7 | -3,29 | -3,00 | 9,86 | 10,80 | 9,00 |
| 3 | 8 | 8 | -3,29 | -2,00 | 6,57 | 10,80 | 4,00 |
| 4 | 10 | 8 | -1,29 | -2,00 | 2,57 | 1,65 | 4,00 |
| 5 | 11 | 10 | -0,29 | 0,00 | 0,00 | 0,08 | 0,00 |
| 6 | 12 | 11 | 0,71 | 1,00 | 0,71 | 0,51 | 1,00 |
| 7 | 14 | 12 | 2,71 | 2,00 | 5,43 | 7,37 | 4,00 |
| 8 | 16 | 14 | 4,71 | 4,00 | 18,86 | 22,22 | 16,00 |
| Итого | 86 | 70 | 0 | 0 | 44,00 | 53,42857 | 38 |
Расходы на конечное потребление в текущем году зависят от расходов на конечное потребление предыдущих лет.
Определим коэффициент корреляции между рядами и и измерим тесноту связи между расходами на конечное потребление текущего и предыдущего годов. Добавим в таблицу 6.1 временно й ряд
Одна из рабочих формул для расчета коэффициента корреляции имеет вид:
В качестве переменной х
мы рассмотрим ряд 
; в качестве переменной y – ряд
.
Тогда приведенная выше формула примет вид
Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней первого порядка, т.к. он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда t и t-1 , т.е. при лаге 1.
Для данных пример 6.1 соотноешния (6.2) составят:
Используя формулу (6.1), получаем коэффициент автокорреляции первого порядка:
Полученное значение свидетельствует об очень тесной зависимости между расходами на конечное потребление текущего и непосредственно предшествующего годов, и, следовательно, о наличии во временном ряде расходов на конечное потребление сильной линейное тенденции.
Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорелляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:
Для данных из примера 6.1 получим:
Построим таблицу 6.2 подставив полученные значения в формулу (6.3), имеем:
Таблица 6.2
Расчет коэффициента автокорреляции второго порядка для временного ряда расходов на конечное потребление, д.е.
| t | |||||||
| 1 | 7 | - | - | - | - | - | - |
| 2 | 8 | - | - | - | - | - | - |
| 3 | 8 | 7 | -3,833 | -2,333 | 8,944 | 14,694 | 5,444 |
| 4 | 10 | 8 | -1,833 | -1,333 | 2,444 | 3,361 | 1,778 |
| 5 | 11 | 8 | -0,833 | -1,333 | 1,111 | 0,694 | 1,778 |
| 6 | 12 | 10 | 0,167 | 0,667 | 0,111 | 0,028 | 0,444 |
| 7 | 14 | 11 | 2,167 | 1,667 | 3,611 | 4,694 | 2,778 |
| 8 | 16 | 12 | 4,167 | 2,667 | 11,111 | 17,361 | 7,111 |
| Итого | 86 | 56 | 0,000 | 0,000 | 27,333 | 40,833 | 19,333 |
Полученные результаты еще раз подтверждают вывод о том, что ряд расходов на конечное потребление содержит линейную тенденцию.
Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается.
Необходимо отметить два важных свойства коэффициента корреляции.
Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.
Во-вторых , по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называютавтокорреляционной функцией временного рада. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называетсякоррелограммой.
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а, следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т. е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка t , ряд содержит циклические колебания с периодичностью в t моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний и имеет структуру, сходную со структурой ряда, изображенного на рис. 6.1 в), либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.
Временной ряд расходов на конечное потребление, рассмотренный нами в примере 6.1, содержит только тенденцию, так как коэффициенты автокорреляции его уровней высокие.
Пример 6.2. Автокорреляционная функция и выявление структуры ряда.
Пусть имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии жителями региона за 16 кварталов. (табл. 6.3).
Потребление электроэнергии жителями региона, млн. кВт*ч
| t | |||||
| 1 | 6,0 | - | - | - | - |
| 2 | 4,4 | 6,0 | - | - | - |
| 3 | 5,0 | 4,4 | 6,0 | - | - |
| 4 | 9,0 | 5,0 | 4,4 | 6,0 | - |
| 5 | 7,2 | 9,0 | 5,0 | 4,4 | 6,0 |
| 6 | 4,8 | 7,2 | 9,0 | 5,0 | 4,4 |
| 7 | 6,0 | 4,8 | 7,2 | 9,0 | 5,0 |
| 8 | 10 | 6,0 | 4,8 | 7,2 | 9,0 |
| 9 | 8,0 | 10 | 6,0 | 4,8 | 7,2 |
| 10 | 5,6 | 8,0 | 10 | 6,0 | 4,8 |
| 11 | 6,4 | 5,6 | 8,0 | 10 | 6,0 |
| 12 | 11,0 | 6,4 | 5,6 | 8,0 | 10 |
| 13 | 9,0 | 11,0 | 6,4 | 5,6 | 8,0 |
| 14 | 6,6 | 9,0 | 11,0 | 6,4 | 5,6 |
| 15 | 7,0 | 6,6 | 9,0 | 11,0 | 6,4 |
| 16 | 10,8 | 7,0 | 6,6 | 9,0 | 11,0 |
Нанесем эти значения на график 6.2
Рис. 6.2. «Потребление электроэнергии жителями региона»
Определим коэффициент автокорреляции первого порядка (добавим 6.3 и воспользуемся формулой расчета линейного коэффициента корреляции). Он составит: . Отметим, что расчет этого коэффициента производился по 15, а не по 16 парам наблюдений. Это значение свидетельствует о слабой зависимости текущих уровней ряда от непосредственно им предшествующих уровней. Однако, как следует из графика, структура этого ряда такова, что каждый следующий уровень зависит от уровня и в гораздо большей степени, чем от уровня . Построим ряд (см. табл. 6.3). Рассчитав коэффициент автокорреляции второго порядка , получим количественную характеристику корреляционной связи рядов , ,: . Продолжив расчеты аналогичным образом, получим автокорреляционную функцию этого ряда. Ее значения и коррелограмма приведены в таблице 6.4. Аналогично рассчитываем и другие автокорреляции
Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временно м ряде, во-первых, линейной тенденции, во-вторых, сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала. Данный вывод подтверждается и графическим анализом структуры ряда (см. рис. 6.2).
Аналогично, если, например, при анализе временно го ряда наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции уровней второго порядка, ряд содержит циклические колебания в два периода времени, т.е. имеет пилообразную структуру.
Вопрос 3: «Моделирование тенденции временного ряда»
Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называютаналитическим выравниванием временного ряда.
Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:
Линейный тренд 
Гипербола: 
;
Экспоненциальный тренд:
Тренд в форме степенной функции:
Парабола второго и более высоких порядков:
Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t = 1, 2, …, n, а в качестве зависимой переменной - фактические уровни временного ряда у t . Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.
Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространенных способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет некоторых основных показателей динамики. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни и тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов
Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации R 2 и выбора уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффициента детерминации. Реализация этого метода относительно проста при компьютерной обработке данных.
Вопрос 4: «Моделирование сезонных и циклических колебаний»
Существует несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания.
Простейший подход - расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда. Общий вид аддитивной модели следующий:
Y=T+S+E (6.5)
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (Е) компонент. Общий вид мультипликативной модели выгладит так:
Y=T*S*E (6.6)
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может бьггь представлен как произведение трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.
Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда.
Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.
1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2. Расчет значений сезонной компоненты S.
3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (Т+ Е) в аддитивной или (Т*Е) в мультипликативной модели.
4. Аналитическое выравнивание уровней (Т+Е) или (Т*Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.
5. Расчет полученных по модели значений (Т + S) или (T * S).
6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.
Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок Е для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.
Подробнее методику построения каждой из моделей рассмотрим на примерах.
Пример 6.4. Построение аддитивной модели временного ряда.
Обратимся к данным об объеме потребления электроэнергии жителями района за последние четыре года, представленным в табл. 6.3.
В примере 6.2 было показано, что данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4. Объемы потребления электроэнергии в осенне-зимний период времени (I и IV кварталы) выше, чем весной и летом (II иIII кварталы). По графику, этого ряда (рис. 6.2) можно установить наличие приблизительно равной амплитуды колебаний. Это свидетельствует о возможном существовании в ряде аддитивной модели. Рассчитаем ее компоненты.
Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
а. просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (гр. 3 табл. 6.5);
б. разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 табл. 6.5). Отметим, что полученные таким образом выравненные значения уже не содержат сезонной компоненты;
в. приведем эта значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних - центрированные скользящие средние (гр. 5 табл. 6.5).
Расчет оценок сезонной компонентности в аддитивной модели
| № квартала, t | Потребление электроэнергии, | Итого за четыре квартала | Скользящая средняя за четыре квартала | Центрированная скользящая средняя | Оценка сезонной компоненты |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 6 | - | - | - | - |
| 2 | 4,4 | 24,40 | 6,100 | - | - |
| 3 | 5 | 25,60 | 6,400 | 6,250 | -1,250 |
| 4 | 9 | 26,00 | 6,500 | 6,450 | 2,550 |
| 5 | 7,2 | 27,00 | 6,750 | 6,625 | 0,575 |
| 6 | 4,8 | 28,00 | 7,000 | 6,875 | -2,075 |
| 7 | 6 | 28,80 | 7,200 | 7,100 | -1,100 |
| 8 | 10 | 29,60 | 7,400 | 7,300 | 2,700 |
| 9 | 8 | 30,00 | 7,500 | 7,450 | 0,550 |
| 10 | 5,6 | 31,00 | 7,750 | 7,625 | -2,025 |
| 11 | 6,4 | 32,00 | 8,000 | 7,875 | -1,475 |
| 12 | 11 | 33,00 | 8,250 | 8,125 | 2,875 |
| 13 | 9 | 33,60 | 8,400 | 8,325 | 0,675 |
| 14 | 6,6 | 33,40 | 8,375 | -1,775 | |
| 15 | 7 | ||||
| 16 | 10,8 |
Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями рада и центрированными скользящими средними (гр. 6 табл. 6.5). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (табл. 6.6). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.
Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели
Для данной модели имеем:
0,6-1,958-1,275+2,708=0,075
Определим корректирующий коэффициент:
К=0,075/4 = 0,01875
Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:
Где i =1:4
Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:
0,581-1,977-1,294+2,960=0
Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:
I квартал: = 0.581
II квартал: = -1,979
III квартал: = -1,294
IV квартал: = 2,690
Занесем полученные значения в табл. 6.6 для соответствующих кварталов каждого года (стр.3)
Шаг 3. Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины Т+E=Y-S (гр.4 табл. 6.7). Эти значения рассчитываются за каждый период времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.
Расчет выравненных значений Т и ошибок Е в аддитивной модели
| t |  | T | T+S |  | E 2 | ||
| 1 | 6,0 | 0,581 | 5,419 | 5,902 | 6,483 | -0,483 | 0,2333 |
| 2 | 4,4 | -1,977 | 6,337 | 6,088 | 4,111 | 0,289 | 0,0835 |
| 3 | 5,0 | -1,294 | 6,294 | 6,275 | 4,981 | 0,019 | 0,0004 |
| 4 | 9,0 | 2,690 | 6,310 | 6,461 | 9,151 | -0,151 | 0,0228 |
| 5 | 7,2 | 0,581 | 6,619 | 6,648 | 7,229 | -0,029 | 0,0008 |
| 6 | 4,8 | -1,977 | 6,777 | 6,834 | 4,857 | -0,057 | 0,0032 |
| 7 | 6,0 | -1,294 | 7,294 | 7,020 | 5,727 | 0,273 | 0,0745 |
| 8 | 10,0 | 2,690 | 7,310 | 7,207 | 9,896 | 0,104 | 0,0108 |
| 9 | 8,0 | 0,581 | 7,419 | 7,393 | 7,974 | 0,026 | 0,0007 |
| 10 | 5,6 | -1,977 | 7,577 | 7,580 | 5,603 | -0,030 | 0,0009 |
| 11 | 6,4 | -1,294 | 7,694 | 7,766 | 6,472 | -0,072 | 0,0052 |
| 12 | 11,0 | 2,690 | 8,310 | 7,952 | 10,642 | 0,358 | 0,1282 |
| 13 | 9,0 | 0,581 | 8,419 | 8,139 | 8,720 | 0,258 | 0,0784 |
| 14 | 6,6 | -1,977 | 8,577 | 8,325 | 6,348 | 0,252 | 0,0635 |
| 15 | 7,0 | -1,294 | 8,294 | 8,519 | 7,218 | -0,218 | 0,0475 |
| 16 | 10,8 | 2,690 | 8,110 | 8,698 | 11,388 | -0,588 | 0,3457 |
Шаг 4. Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (Т+Е) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:
Константа 5,715416
Коэффициент регрессии 0,186421
Стандартная ошибка коэффициента регрессии 0,015188
R-квадрат 0,914971
Число наблюдений 16
Число степеней свободы 14
Таким образом, имеем следующий линейный тренд:
Т=5,715+0,186*t
Подставляя в это уравнение значения t=1, …, 16, найдем уровни Т для каждого момента времени (гр. 5 табл. 6.7). График уравнения тренда приведен на рис. 6.3.
Рис. 6.3. «Потребление электроэнергии жителями района (фактическое, выравненные и полученные по аддитивной модели значения уровней ряда)
Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения (Т+S) представлены на рис. 6.3.
Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производится по формуле
E=Y-(T+S) (6.8)
Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в гр. 7 табл. 6.7.
По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построения модели или для выбора наилучшей модели можно применять сумму квадратов полученных абсолютных ошибок. Для данной аддитивной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна 1,10. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной 71,59 , эта величина составляет чуть более 1,5%
(1-1,10/71,59)*100=1,536
Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 98,5% общей вариации уровней временно го ряда потребления электроэнергии за последние 16 кварталов.
Вопрос 5: «Моделирование тенденции временного ряда при наличии структурных изменений».
От сезонных и циклических колебаний следует отличать единовременные изменения характера тенденции временно го ряда, вызванные структурными изменениями в экономике или иными факторами. В этом случае, начиная с некоторого момента времени , происходит изменение характера динамики изучаемого показателя, что приводит к изменению параметров тренда, описывающего эту динамику. Схематично такая ситуация изображена на рис. 6.4
Рис. 6.4. «Изменение характера тенденции временного ряда».
Момент (период) времени сопровождается значительными изменениями ряда факторов, оказывающих сильное воздействие на изучаемый показатель . Чаще всего эти изменения вызваны изменениями в общеэкономической ситуации или факторами (событиями) глобального характера, приведшими к изменению структуры экономики (например, начало крупных экономических реформ, изменение экономического курса, нефтяные кризисы и прочие факторы). Если исследуемый временной ряд включает в себя соответствующий момент (период) времени, то одной из задач его изучения становится выяснение вопроса о том, значимо ли повлияли общие структурные изменения на характер этой тенденции.
Если это влияние значимо, то для моделирования тенденции данного временного ряда следует использовать кусочно-линейные модели регрессии , т.е. разделить исходную совокупность на две подсовокупности (до момента времени и после момента ) и построить отдельно по каждой подсовокупности уравнения линейной регрессии (на рис. 6.4 этим уравнением соответствуют прямые (1) и (2)). Если структурные изменении незначительно повлияли на характер тенденции ряда , то ее можно описать с помощью единого для всей совокупности данных уравнения тренда (на рис. 6.4 этому уравнению соответствует прямая (3)).
Каждый из описанных выше подходов имеет свои положительные и отрицательные стороны. При построении кусочно-линейной модели происходит снижение остаточной суммы квадратов по сравнению с единым для всей совокупности уравнением тренда. Однако разделение исходной совокупности на две части ведет к потере числа наблюдений, и, следовательно, к снижению числа степеней свободы в кажодм уравнении кусочно-линейной модели. Построение единого для всей совокупности уравнения тренда, напротив, позволяет, сохранить число наблюдений n исходной совокупности, однако остаточная сумма квадратов по этому уравнению будет выше по сравнению с кусочно-линейной модели. Построение единого для всей совокупности уравнения тренда, напротив, позволяет сохранить число наблюдений n исходной совокупности, однако остаточная сумма квадратов по этому уравнению будет выше по сравнению с кусочно-линейной моделью. Очевидно, что выбор одной из двух моделей (кусочно-линейной или единого уравнения тренда) будет зависеть от соотношения между снижением остаточной дисперсии и потерей числа степеней свободы при переходе от единого уравнения регрессии к кусочно-линейной модели.
| № уравнения | Вид уравнения | Число наблюдений в совокупности | Остаточная сумма квадратов | Число параметров в уравнении 1 | Число степеней свободы остаточной дисперсии |
| Кусочно-линейная модель |
|||||
| (1) |  | ||||
| (2) |  | ||||
| Уравнение тренда по всей совокупности |
|||||
| (3) |  | ||||
| 1 В рассматриваемой нами формулировке число параметров всех уравнений k 1 =k 2 =k 3 =2. В общем случае число параметров в каждом уравнении может различаться. |
|||||
Формальный статистический тест для оценки этого соотношения был предложен Грегори Чоу. Применение этого теста предполагает расчет параметров уравнений трендов, графики которых изображены на рис. 6.5 (1), (2), (3). Введем систему обозначений, приведенную в табл. 6.8
Выдвинем гипотезу Н 0 о структурной стабильности тенденции изучаемого временного ряда.
Остаточную сумму квадратов по кусочно-линейной модели () можно найти как сумму и
Соответствующее ей число степеней свободы зависит:
Тогда сокращение остаточной дисперсии при переходе от единого уравнения тренда к кусочно-линейной модели можно определить следующим образом:
Число степеней свободы, соответствующее , с учетом соотношения 6.10 будет равно
Найденное значение сравнивают с табличным, полученным по таблицам распределения Фишера для уровня значимости и числа степеней свободы и
Пример 6.2. Расчет параметров тренда.
Имеются помесячные данные о темпах роста номинальной заработной платы в РФ за 10 месяцев 2010 года в процентах к уровню предыдущего месяца 2009 г. (Табл. 6.3). Требуется выбрать наилучший тип тренда и определить его параметры.
Построим график данного временного ряда
Рис. 6.2. Динамика темпов роста номинальной заработной платы за 10 мес. 2010г.
На графике рис. 6.2. заметно наличие возрастающего тренда (тенденции). Возможно существование линейной зависимости.
Http://homekid.ru/kidinspb2010/kid2010part2.htm
Временной ряд
Временно́й ряд (или ряд динамики) - собранный в разные моменты времени статистический материал о значении каких-либо параметров (в простейшем случае одного) исследуемого процесса. Каждая единица статистического материала называется измерением или отсчётом, также допустимо называть его уровнем на указанный с ним момент времени. Во временном ряде каждому отчету должно быть указано время измерения или номер измерения по порядку. Временной ряд существенно отличается от простой выборки данных , так как при анализе учитывается взаимосвязь измерений со временем, а не только статистическое разнообразие и статистические характеристики выборки .
Ана́лиз временны́х рядо́в - совокупность математико -статистических методов анализа , предназначенных для выявления структуры временных рядов и для их прогнозирования . Сюда относятся, в частности, методы регрессионного анализа . Выявление структуры временного ряда необходимо для того, чтобы построить математическую модель того явления, которое является источником анализируемого временного ряда. Прогноз будущих значений временного ряда используется для эффективного принятия решений.
Пример временного ряда
Временные ряды состоят из двух элементов:
Временные ряды классифицируются по следующим признакам:
Временные ряды, как правило, возникают в результате измерения некоторого показателя. Это могут быть как показатели (характеристики) технических систем, так и показатели природных, социальных, экономических и других систем (например, погодные данные). Типичным примером временного ряда можно назвать биржевой курс, при анализе которого пытаются определить основное направление развития (тенденцию или тренда).
Wikimedia Foundation . 2010 .
временной ряд - — временной ряд ряд динамики динамический ряд Ряд последовательных значений, характеризующих изменение показателя во времени. В.р. разделяются, во первых, на моментные ряды… … Справочник технического переводчика
Временной ряд - (или ряд динамики, или динамический ряд) ряд последовательных значений, характеризующих изменение показателя во времени. В.р. разделяются, во первых, на моментные ряды (данные которых характеризуют величину явления по состоянию на… … Экономико-математический словарь
временной ряд - – это последовательность наблюдений, упорядоченных во времени (или пространстве). Если какое нибудь явление наблюдают на протяжении некоторого времени, имеет смысл представить данные в том порядке, в котором они возникали, из за того, в… … Словарь социологической статистики
ВРЕМЕННОЙ РЯД - англ. series, time; нем. Zeitreihe. Сопоставление количественных данных, к рые характеризуют состояние объекта в различные моменты времени. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 … Энциклопедия социологии
ВРЕМЕННОЙ РЯД - Упорядочение или организация данных во временном измерении, обычно с обозначенными постоянными временными категориями. Например, изменения некоторой модели поведения могут быть закодированы во временном измерении, когда наблюдения проводятся… … Толковый словарь по психологии
временной ряд - laikinė seka statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. temporal series; time sequence vok. Zeitfolge, f; Zeitsequenz, f rus. временная последовательность, f; временной ряд, m pranc. séquence de temporisation, f … Automatikos terminų žodynas
ВРЕМЕННОЙ РЯД - первоначально в статистич. литературе ряд наблюдений в различные моменты времени (напр., экономические В. р., метеорологические В. р.). В советской экономич. литературе наряду с термином В. р. употребляется термин ряд динамики. С середины 20 х гг … Математическая энциклопедия
Временной ряд - организация данных во временном измерении. Позволяет выявлять колебания активности функции. Например, циркадианные (суточные) и иные ритмы … Энциклопедический словарь по психологии и педагогике
ВРЕМЕННОЙ РЯД - англ. series, time; нем. Zeitreihe. Сопоставление количественных данных, к рые характеризуют состояние объекта в различные моменты времени … Толковый словарь по социологии
ВРЕМЕННОЙ РЯД - (times series) в идеале совокупность данных, в которой четко определенное количество записывается в последовательных равных промежутках времени точках на протяжении определенного периода (К. Марш, 1988), в частности, индекс розничных цен. Там,… … Большой толковый социологический словарь
