На каждом из двух комбинатов работает

Решим несколько задач из задания 17.

Задача 1. В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи кг никеля в день требуется человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях сможет ежедневно производить завод?

Сначала поясним термин, который встречается в условии:

Человеко-час

Вот что написано по этому поводу в Википедии:

"Человеко-час - единица учёта рабочего времени, соответствует часу работы одного человека. Иногда удобно оценить работу через количество человеко-часов для её выполнения, что позволяет при планировании более точно сопоставлять количество работников и сроки выполнения задания.

Суммарные человеко-часы являются результатом умножения количества работников на время, потраченное на работу. То есть 40 человеко-часов формируют 1 человек, работающий 40 часов, или 2 человека, работающие 20 часов, или 4 человека, работающие 10 часов и т. д."

Иногда при решении задачи удобно найти, сколько человеко-часов требуется для изготовления единицы продукции. Например, если в условии сказано, что один рабочий делает за час две детали, следовательно, на изготовление одной детали требуется человеко-часа.

Так как в каждой области имеем по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки, получаем 500 человеко-часов в сутки в каждой области.

Пусть в первой области добывается кг алюминия и кг никеля в сутки. Во второй области, соответственно кг алюминия и кг никеля в сутки.

В первой области один рабочий за час добывает

0,2 кг алюминия, следовательно, на изготовление 1 кг алюминия требуется 5 человеко-часов, и на добычу кг алюминия человеко-часов,

0,1 кг никеля, следовательно, на изготовление 1 кг никеля требуется 10 человеко-часов, и на добычу кг никеля человеко-часов.

Так как за сутки вырабатывается всего 500 человеко-часов, получаем первое уравнение:

Во второй области на изготовление кг алюминия требуется человеко-часов, и на изготовление кг никеля требуется человеко-часов.

Так как за сутки вырабатывается всего 500 человеко-часов, получаем второе уравнение:

Всего в обоих областях добывается кг алюминия и кг никеля.

По условию в сплаве на на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля, следовательно, никеля должно быть в два раза больше, чем алюминия. Получаем третье уравнение:

В итоге масса полученного сплава равна суммарной массе добытых металлов:

Или, учитывая последнее уравнение,

Получили систему:

Выразим все переменные через одну, например, через .

Из первого уравнения: .

Из второго уравнения: . (Сразу заметим, что .)

Подставим в третье уравнение:

Подставим выражение для в четвертое уравнение системы и получим функциональную зависимость массы сплава от переменной :

Где .

Найдем максимальное значение функции на отрезке .

Найдем производную и приравняем ее к нулю.

На отрезке производная равна нулю при . Легко проверить, что слева от производная положительна, а справа отрицательна, следовательно функция имеет на отрезке единственный максимум в точке , следовательно, в точке функция принимает наибольшее значение.

Найдем его.

В двух областях есть по 40 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий добывает за час 0,1 кг алюминия или 0,2 кг никеля. Во второй области для добычи кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи кг никеля в день требуется человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать алюминий или никель, причем 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть суммарно в двух областях для нужд промышленности?

В каждой области рабочие в сутки вырабатывают человеко-часов.

По условию 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. В первой области один рабочий добывает за час 0,1 кг алюминия или 0,2 кг никеля, то есть никель добывать выгоднее. Тогда в первой области 40 рабочих за сутки добудут кг никеля.

Пусть во второй области в сутки добывают кг алюминия и кг никеля. Тогда при условии (1) нужно найти наибольшее значение суммы .

Из уравнения (1) выразим : .

Получим функцию зависимости массы металлов, добытых во второй области от : на отрезке .

Приравняем производную у нулю:

Промежутку принадлежит точка . Докажем, что - точка максимума функции . Слева от точки (например, в точке ) .

Справа от точки (например, в точке ) , следовательно, - точка максимума функции .

Найдем

В итоге, суммарная добыча металлов в в двух областях составит кг.

На каждом комбинате работает по 200 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает 1 деталь А или 3 детали В. На втором комбинате для изготовления деталей (и А, и В) требуется человеко-смен. Оба эти комбината поставляют детали на комбинат,из которых собирают изделие,для изготовления которого нужна 1 деталь А и 1 деталь В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?

Пусть на первом комбинате за смену изготавливается деталей А и деталей В. На втором комбинате, соответственно деталей А и деталей В.

В каждую смену отрабатывается 200 человеко-смен.

Получим систему уравнений:

Из первого уравнения , из второго:

Подставим в третье уравнение:

Тогда

Найдем наибольшее значение функции на отрезке

Приравняем производную к нулю:

Нетрудно убедиться, что слева от точки производная положительна, а справа - отрицательна. Следовательно, точка - точка максимума функции

на отрезке

НО! Величины могут принимать только натуральные значения.

То есть наиболее близкие к точке максимума числа 13 и 14.

Рассмотрим :

Проверяем : . Мы получим наибольшее целое , если . Тогда

Если :

Ответ: 161.

Рассмотрим другое решение.

Решим в целых числах уравнение .

Возможны варианты:

; ;

Найдем для каждой пары значения и :

Получили тот же ответ: 161.

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 кв. м и номера "люкс" площадью 49 кв. м. Общая площадь, которую можно отвести под номера составляет 630 кв. м. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 руб в сутки, а номер "люкс" - 5000 руб в сутки. Какую наибольшую сумму денег может заработать на своем отеле предприниматель?

Сначала посчитаем, какую прибыль приносит 1 кв. м номера каждого типа.

Стандартный номер имеет площадь 21 кв. м и приносит отелю 2000 руб в сутки, следовательно, 1 кв. м этого номера приносит отелю руб. в сутки.

Стандартный номер имеет площадь 49 кв. м и приносит отелю 5000 руб в сутки, следовательно, 1 кв. м этого номера приносит отелю руб. в сутки.

Очевидно, что "удой" с каждого квадратного метра номера "люкс" выше, чем с квадратного метра стандартного номера. То есть для предпринимателя выгоднее отвести под номера "люкс" максимальную площадь. Однако, он не может распределить площадь под номера произвольным образом - площадь, отведенная под стандартные номера должна быть кратна площади одного номера, то есть числу 21, а площадь, отведенная под номера "люкс" должна быть кратна числу 49.

Подберем соответствующее количество номеров. Предприниматель не может отвести всю площадь под номера "люкс", так как 630 не делится на 49.

Пусть предприниматель запланировал 1 стандартный номер. Тогда под номера "люкс" останется 630-21=609. 609 не делится на 49.

Пусть предприниматель запланировал 2 стандартных номера. Тогда под номера "люкс" останется 630-42=588. 588 делится на 49. 588:49=12

Итак, предприниматель получит максимальную сумму денег, если запланирует 2 стандартных номера и 12 номеров люкс.

И эта сумма равна:

Ответ: 64 000.

Заметим, что в этой задаче все так прекрасно устроилось, так как оказалось возможным решить в целых числах уравнение , где - количество стандартных номеров, и - количество номеров "люкс".

Если мы вместо числа 630 возьмем, например, число 653 (как предлагается в сборнике ЕГЭ 2016, Математика, 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2, (Ященко И.В., Волчкевич М. А., Высоцкий И.Р.), то легко убедиться, что уравнение не имеет решений в целых числах. Тогда, видимо, предприниматель не может отвести всю площадь без остатка под номера. И у него должна остаться "кладовочка".

Найдем, какую наибольшую сумму получит предприниматель в этом случае.

Пусть предприниматель всю площадь отведет под номера "люкс". Тогда у него получится 13 номеров и останутся неиспользованными 16 кв. м. (653:49=13(16)) Доход в этом случае составит руб.

Пусть предприниматель запланировал 1 стандартный номер. Тогда под номера "люкс" останется 653-21=632 м. 632:49=12(2). То есть можно будет спроектировать 12 номеров "люкс", останутся неиспользованными кв. м. На этой площади можно разместить еще два стандартных номера, и останутся неиспользованными 2 кв. м. Доход в этом случае составит руб.

Ответ: 66 000.

Презентации.

Новые экономические задачи

в ЕГЭ – 2016 года

(задача 17)

Собрала

учитель математики

МКОУ СОШ №10

Комарова Галина Петровна

Юца 2015

№1. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 300 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 1 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Ответ: 5 400 кг сплава сможет произвести завод ежедневно.

№2. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратный метр и номера «люкс» площадью 49 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» 4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Ответ: 104 500 рублей в сутки сможет заработать предприниматель на своем отеле.

№3. В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х х 2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у 2 человеко-часов труда.

1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металла так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Ответ: 90 кг сплава сможет произвести завод за сутки.

№4. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Ответ: 86 000 рублей сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель.

№5. В двух областях есть по 90 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х 2 человеко-часов, а для добычи у кг никеля в день требуется у 2 человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причем 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

Ответ: 165 кг металлов можно добыть в двух областях.

№6. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 200ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет - 200 ц/га, а на втором – 300 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свеклу - по цене 13 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Ответ: 69 000 000 рублей может получить фермер.

№7 . В двух областях есть по 250 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х 2 человеко-часов, а для добычи у кг никеля в день требуется у 2 человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причем 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности.

Ответ: 300 кг металлов можно добыть в двух областях.

№8. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором – 300ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет - 300 ц/га, а на втором – 400 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 5 000 руб. за центнер, а свеклу - по цене 6 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Ответ: 44 000 рублей может получить фермер.

№9. В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х 2 человеко-часов, а для добычи у кг никеля в день требуется у 2 человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на

2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металла так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Ответ: 240 кг металлов можно добыть в двух областях.

№10 . На каждом из двух комбинатов работает по 1 800 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает за смену 1 детали А или 2 деталь В. На втором комбинате для изготовления t t 2 человеко-смен.

Ответ: 1860 изделий

№11 . На каждом из двух комбинатов работает по 200 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает за смену 1 детали А или 3 деталь В. На втором комбинате для изготовления t деталей (и А, и В) требуется t 2 человеко-смен.

Обе эти комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужна 1 деталь А и 1 детали В.

При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях сможет собрать комбинат за смену?

Ответ: 220 изделий.

№12 . На каждом из двух комбинатов изготавливают детали А и В. На первом комбинате работает 40 человек, и один рабочий изготавливает за смену 15 детали А или 5 деталей В. На втором комбинате работает 160 человек, и один рабочий изготавливает за смену 5 деталей А и 15 деталей В.

При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях сможет собрать комбинат за смену?

Ответ: 1800 изделий.

№13 . На каждом из двух комбинатов изготавливают детали А и В. На первом комбинате работает 40 человек, и один рабочий изготавливает за смену 15 детали А или 5 деталей В. На втором комбинате работает 100 человек, и один рабочий изготавливает за смену 5 деталей А и 15 деталей В.

Обе эти комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужна 2 детали А и 1 деталь В.

При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях сможет собрать комбинат за смену?

Ответ: 1980 изделий.

№14. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 855 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» - 3000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Ответ: 63 000 рублей.

№15 . На каждом из двух комбинатов изготавливают детали А и В. На первом комбинате работает 60 человек, и один рабочий изготавливает за смену 10 детали А или 15 деталей В. На втором комбинате работает 260 человек, и один рабочий изготавливает за смену 15 деталей А и 10 деталей В.

Обе эти комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужна 2 детали А и 1 деталь В.

При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях сможет собрать комбинат за смену?

Ответ: 2250 изделий.

Литература:

ЕГЭ 2016. Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий / И.В. Ященко, М.А. Волчкевич, И.Р. Высоцкий, Р.К. Гордин, П.В.Семенов, и т.д.; под ред. И.В. Ященко – М.: Издательство «Экзамен», 2016. – 247, с.

ЕГЭ-2016. Математика: 30 вариантов экзаменационных работ для подготовки к единому государственному экзамену: профильный уровень \ под ред. И.В. Ященко. – Москва: АСТ: Астрель, 2016. – 135, с.

Источник задания: Решение 3852. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Ответ.

Задание 17. На каждом из двух комбинатов работает по 100 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 1 деталь В. На втором комбинате для изготовления t деталей (и А, и В) требуется t^2 человеко-смен.

Оба эти комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужна 1 деталь А и 3 детали В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?

Решение.

Для изготовления изделия нужна 1 деталь А и 3 детали В. На втором комбинате число рабочих должно распределяться так, чтобы из их числа извлекался квадратный корень (так как за смену должно изготавливаться целое число деталей). Из 100 человек квадратный корень можно извлечь при следующих распределениях рабочих на две группы:

(на деталь А)
(на деталь В)

То есть на втором комбинате будет изготавливаться за смену деталей А и деталей В.

На первом комбинате рабочие должны быть распределены так, чтобы они изготавливали деталей B в 3 раза больше, чем деталей А с учетом производства этих же деталей на втором комбинате. Пусть x рабочих изготавливают деталь А на первом комбинате, тогда 100-x рабочих будут изготавливать деталь В. Так как за смену один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 1 деталь В, то можно записать следующее отношение:

,

Задачи на оптимальный выбор
1. В 1­е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум
классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом
пределения
посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно
быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
23. После рас
―
2. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно
распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их
суточная зарплата составляет 4t2 у. е. Если на втором объекте работает t человек, то их
суточная зарплата составляет t2у. е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду
рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у. е.
в этом случае придется заплатить рабочим?
3. Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к пе­
рекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от
перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. через сколь­
ко минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние.
4. Алексей вышел из дома на прогулку со скоростью v км/ч. После того, как он прошел 6 км, из дома сле­
дом за ним выбежала собака Жучка, скорость которой была на 9 км/ч больше скорости Алексея. Когда Жучка
догнала хозяина, они повернули назад и вместе возвратились домой со скоростью 4 км/ч. Найдите значение v, при
котором время прогулки Алексея окажется наименьшим. Сколько при этом составит время его прогулки?
5. В бассейн проведены три трубы. Первая труба наливает 30 м3 воды в час. Вторая труба наливает в час на
3V м3 меньше, чем первая (0 < V < 10), а третья труба наливает в час на 10V м3 больше первой. Сначала первая и
вторая трубы, работая вместе, наливают 30% бассейна, а затем все три трубы, работая вместе, наливают
оставшиеся 0,7 бассейна. При каком значении V бассейн быстрее всего наполнится указанным способом?
6. Садовод привез на рынок 91 кг яблок, которые после транспортировки разделил на три сорта. Яблоки
первого сорта он продавал по 40 руб., второго сорта – по 30 руб., третьего сорта – по 20 руб. за килограмм.
Выручка от продажи всех яблок составила 2170 руб. Известно, что масса яблок 2­го сорта меньше массы яблок
3­го сорта на столько же процентов, на сколько процентов масса яблок 1­го сорта меньше массы яблок 2­го
сорта. Сколько килограммов яблок второго сорта продал садовод?
7. Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры типов А и В. Количество загруженных на
баржу контейнеров типа В не менее чем на 25% превосходит количество загруженных контейнеров типа А. Вес и
стоимость одного контейнера типа А составляет 2 тонны и 5 млн. руб., контейнера типа В – 5 тонн и 7 млн.
руб.соответственно. Определите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн. руб.) всех контейнеров,
перевозимых баржей при данных условиях.
8. Леонид является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одина­
ковые приборы, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.
В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 4t3часов в
неделю, то за эту неделю они производят t приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе,
трудятся суммарно t3 часов в неделю, они производят t приборов.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабочему 1 тысячу рублей. Необходимо,
чтобы за неделю суммарно производилось 20 приборов. Какую наименьшую сумму придется тратить владельцу
заводов еженедельно на оплату труда рабочих?
9. Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же
сумму положил на два года в другой банк под 15% годовых. Через два года Паша решил продлить срок вклада
еще на 2 года. Однако к тому времени процентная ставка по вкладам в этом банке изменилась и составляла
уже p% годовых. В итоге через четыре года на счету у Паши оказалась большая сумма, чем у Саши, причем эта
разность составила менее 10% от суммы, вложенной каждым первоначально. Найдите наибольшее возможное
целое значение процентной ставки.
10. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать

картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором - 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом
поле составляет 300 ц/га, а на втором - 400 ц/га.
Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу - по цене 11 000

11. В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче


день требуется у2 человеко­часов труда.

заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в двух областях?
12. На каждом из двух заводов работает по 100 человек. На первом заводе один рабочий изготавливает за
смену 3 детали А или 1 деталь В. На втором заводе для изготовления t деталей (и А, и В) требуется t2 человеко­
смен. Оба завода поставляют детали на комбинат, где собирают изделие, причем для его изготовления нужна
1 деталь А и 3 детали В. При этом заводы договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно
было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за
смену?
13. В 1­е классы поступает 43 человека: 23 мальчика и 20 девочек. Их распределили по двум классам: в
одном должно получиться 22 человека, а в другом
пределения посчитали процент мальчиков в
каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная
сумма была наибольшей?
21. После рас
―
14. Фабрика, производящая пищевые полуфабрикаты, выпускает блинчики со следующими видами
начинки: ягодная и творожная. В данной ниже таблице приведены себестоимость и отпускная цена, а также про­
изводственные возможности фабрики по каждому виду продукта при полной загрузке всех мощностей только
данным видом продукта.

Вид начинки
Себестоимость
(за 1 тонну)
Отпускная цена
(за 1 тонну)
Производственные
возможности
ягоды
творог
70 тыс. руб.
100 тыс. руб.
90 (тонн в мес.)
100 тыс. руб.
135 тыс. руб.
75 (тонн в мес.)

Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции каждо­
го вида должно быть выпущено не менее 15 тонн. Предполагая, что вся продукция фабрики находит спрос
(реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль, которую может получить фабрика от про­
изводства блинчиков за 1 месяц.
15. Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары - стеклянной и жестяной. Произ­
водственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80
центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми
сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены
себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.

Вид тары
стеклянная
жестяная
Себестоимость,
1 ц.
Отпускная цена,
1 ц.
1500 руб.
1100 руб.
2100 руб.
1750 руб.

Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально воз­
можную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продук­
ции и её себестоимостью).
16. Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при
объёме t2 Гбайт входящей в него информации выходит 20t Гбайт, а с сервера №2 при объёме t2 Гбайт входящей в
него информации выходит
Гбайт обработанной информации; 25 < t < 55. Каков наибольший общий объём вы­
ходящей информации при общем объёме входящей информации в 3364 Гбайт?
17. Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одина­
ковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммар­
но t2 часов в неделю, то за эту неделю они производт t единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на
заводе, расположенном во втором городе, - 200 рублей.

Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество
единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
18. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно оди­
наковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.
В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то
за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, тру­
дятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.
Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количе­
ство единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
19. Производство x тыс. единиц продукции обходится в q = 0,5x2 + x + 7 млн рублей в год. При цене p тыс.

наименьшем значении p через три года суммарная прибыль составит не менее 75 млн рублей?
20. Производство x тыс. единиц продукции обходится в q = 0,5x2 + 2x + 5 млн рублей в год. При цене p тыс.
рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет px − q. При каком
наименьшем значении p через четыре года суммарная прибыль составит не менее 52 млн рублей?
21. Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на
таком заводе равны
млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за
единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит
. Когда завод будет
построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком
наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?
22. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать
картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность
картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором - 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом
поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га.
Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу - по цене 8000 руб. за
центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
23. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные но­
мера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, кото­
рую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту пло­
щадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки,
а номер «люкс» - 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём
отеле предприниматель?
24. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные но­
мера площадью 30 квадратных метров и номера «люкс» площадью 40 квадратных метров. Общая площадь, кото­
рую можно отвести под номера, составляет 940 квадратных метров. Предприниматель может определить эту
площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 4000 рублей в
стуки, а номер «люкс» - 5000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на
своем отеле предприниматель?
25. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 20 рабочих, каждый из которых
готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 2 кг никеля. Во вто­
рой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за
час добывает 2 кг алюминия или 1 кг никеля.




26. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых
готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. Во вто­
рой шахте имеется 260 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за
час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля.
Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алю­
миния и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между
собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько кило­
граммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

27. В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче
алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,2 кг никеля. Во
человеко­часов труда, а для добычи y кг никеля в
день требуется
человеко­часов труда.


собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько кило­
граммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
28. В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче
алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во
второй области для добычи х кг алюминия в день требуется
человеко­часов труда, а для добычи у кг никеля в
день требуется
человеко­часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алю­
миния и никеля, в котором на 3 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между
собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько кило­
граммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
29. В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добы­
че алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во
второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко­часов труда, а для добычи у кг никеля в

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алю­
миния и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между
собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько кило­
граммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
30. В двух областях работают по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на
добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля.
Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко­часов труда, а для добычи у кг никеля
в день требуется y2 человеко­часов труда.
Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно

промышленности?
31. Вася мечтает о собственной квартире, которая стоит 3 млн.руб. Вася может купить ее в кредит, при

платежами, при этом ему придется выплатить сумму, на 180% превышающую исходную. Вместо этого, Вася
может какое­то время снимать квартиру (стоимость аренды
кладывая каждый месяц
на покупку квартиры сумму, которая останется от его возможного платежа банку (по первой схеме) после упла­
ты арендной платы за съемную квартиру. За какое время в этом случае Вася сможет накопить на квартиру, если

15 тыс. руб. в месяц), от
―
32. Вася мечтает о собственной квартире, которая стоит 2 млн руб. Вася может купить ее в кредит, при
этом банк готов выдать эту сумму сразу, а погашать кредит Васе придется 20 лет равными ежемесячными
платежами, при этом ему придется выплатить сумму, на 260% превышающую исходную. Вместо этого, Вася
может какое­то время снимать квартиру (стоимость аренды – 14 тыс. руб. в месяц), откладывая каждый месяц на
покупку квартиры сумму, которая останется от его возможного платежа банку (по первой схеме) после уплаты
арендной платы за съемную квартиру. За сколько месяцев в этом случае Вася сможет накопить на квартиру, если
считать, что стоимость ее не изменится?
33. Некто в 2016 году взял в банке кредит в 6,6 млн рублей под процент, который начисляется один раз в
год в середине года. В 2017, 2018 и 2019 году, в начале года, он вносил равные суммы так, что после начисления
процента на оставшуюся сумму в июле, долг на конец года был равен 6,6 млн. рублей. Затем, в 2020 и 2021 году,
остаток долга выплачивался равными суммами так, что кредит был закрыт в 2021 году. Каков был процент по
кредиту, если за весь период кредитования было выплачено 12,6 млн. рублей?
34. В двух областях есть по 90 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче
алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во

день требуется y2 человеко­часов труда.
Для нужд промышленности можно использоваться или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия
можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для
нужд промышленности?

35. В двух областях есть по 250 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче
алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во
второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко­часов труда, а для добычи y кг никеля в
день требуется y2 человеко­часов труда.
Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно
заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд
промышленности?
36. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать
картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность
картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором - 200 ц/га. Урожайность свёклы на первом
поле составляет 200 ц/га, а на втором - 300 ц/га.
Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу - по цене 13 000
руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
37. Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t2 тыс. руб. (т. е. к
концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго - 4 тыс. руб. и т. д.), в течение 20 лет. В конце любого
года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 25%
годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?
38. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят
тыс. рублей в конце
В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги
года
раз.
на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в
Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма
на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце
двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?

39. Фермер в октябре продавал картофель в два раза дешевле, чем в марте. При этом выручка
от продажи картофеля в октябре оказалась на 53% ниже по сравнению с мартом. Определите, на
сколько процентов меньше картофеля продал фермер в октябре, чем в марте?
40. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет
погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще
через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину
полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
41. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно,
выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй – за
три дня?