Числовой ряд.
Среди числ. рядов выделяют знакопостоянные, знакочередующиеся, знакопеременные.
Частичной суммой ряда соответсв. номеру n наз. сумма n первых его слагаемых.
Частичная сумма.
Ряд a n наз. сходящимся, если последовательность частичных сумм для этого ряда имеет предел, т.е. если сущ-т число . Это число наз.суммой ряда.
Пусть задана бесконечная последовательность чисел . Выражение. наз-ют числовым рядом. При этом числа наз. членами ряда.
Числовой ряд часто записывают в виде. Теорема (необходимый признак сходимости ряда): если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании n.
Следствие. Если n-й член ряда не стремится к нулю при , то ряд расходится.
Признак Даламбера - признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.
Если для числового
ряда
существует
такое числоq, что
0 Определение.
Частной
суммой числового ряда
называется
сумма.
Числовой ряд называется
сходящимся
,
если существует предел,
при этом
S
называется
суммой ряда.
Теорема
.
Числовой ряд сходится тогда и
только тогда, когда для любого существует
такое,
что для всехm,n
><. Доказательство
. Заметим, что
.
После этого утверждение превращается
в критерий
Коши сходимости последовательности
. Теорема
. Если ряд сходится,
то. Доказательство
. Из свойств пределов
следует, что .
Отсюда следует, что. Геометрический
ряд Обобщеный
гармонический ряд В
частности, при к=1 получаем гармонический
ряд Эталонные
ряды, т.е. разложения элементарных
функций, можно использовать для получения
рядов тех же функций, но сложного
аргумента. Пусть
функции Un(x),n∈N,
определены в области D. Выражение U
1
(x
)
+
U
2
(x
)
+… +
U
n
(x
)+…=
U
n
(x
),
где х
∈
D
,
наз.
функциональным
рядом.
Каждому значению x 0 ∈D
соответствует числовой ряд
U
n
(x
0
)
.
Этот ряд может быть сходящимся или
расходящимся. Если для x
0
∈
D
числовой ряд
U
n
(x
0
)
сходится, то говорят, чтo
функциональный ряд сходится в точке
x
0
,
и точку
x
0
наз.
точкой
сходимости
.Если
функциональный ряд сходится в каждой
точке x
∈
E
⊂
D
,
то этот ряд наз. сходящимся
на множестве Е
,
а множество Е
наз. областью сходимости ряда. Если
множество Е
пусто, то ряд расходится в каждой точке
множества D
. Областью сходимости
степенного ряда называется множество
всех значений переменной х, при которых
соответствующий числовой ряд сходится.
Ряд вида а 0
+ а 1
х + а 2
х 2
+ … а n
х n
+ … =
называетсястепенным
рядом,
а –
некот. числа, х – переменная. Коэффициентами
степенного
ряда называются числа а 0
, а 1
, … , а n . Формулой Тейлора
для функции f(x)
в окрестности точки х называется
многочлен Р n (х)
= f(х 0)
+Остаточным
членом формулы Тейлора
называется
последнее слагаемое в формуле Тейлора R n
(x)=
=f(x)
– P n
(x) Т.о., многочлен
Тейлора Р n (х)
служит приближением функции f(х).
Оценкой этого приближения служит
остаточный член формулы Тейлора R n (х). Формулой Маклорена
для функции f(х)
называется ее формула Тейлора при х 0
= 0: f(x)=
f(0)
+
где с – некоторая
точка из интервала (0, х). Сумма всех натуральных чисел может быть записана с использованием следующего числового ряда Этот, на первый взгляд, совершенно противоречащий интуиции результат, тем не менее может быть строго доказан. Но прежде, чем говорить о доказательстве, нужно сделать отступление и вспомнить основные понятия. Начнём с того, что «классической» суммой ряда называется предел частичных сумм ряда, если он существует и конечен. Подробности можно найти в википедии и соответствующей литературе. Если конечный предел не существует, то ряд называется расходящимся. Например, частичная сумма первых k членов числового ряда 1 + 2 + 3 + 4 +… записывается следующим образом Нетрудно понять, что эта сумма неограниченно растёт при стремлении k к бесконечности. Следовательно, исходный ряд является расходящимся и, строго говоря, не имеет суммы. Существует, однако, множество способов присвоить конечное значение расходящимся рядам. Ряд 1+2+3+4+… далеко не единственный из расходящихся рядов. Возьмём, например, ряд Гранди Который тоже расходится, но известно, что метод суммирования Чезаро позволяет присвоить этому ряду конечное значение 1/2. Суммирование по Чезаро заключается в оперировании не частичными суммами ряда, а их арифметическими средними. Позволив себе порассуждать в вольном стиле, можно сказать, что то частичные суммы ряда Гранди осцилируют между 0 и 1, в зависимости от того какой член ряда является последним в сумме (+1 или -1), отсюда и значение 1/2, как арифметическое среднее двух возможных значений частичных сумм. Другим интересным примером расходящегося ряда является знакопеременный ряд 1 - 2 + 3 - 4 +... , частичные суммы которого также осцилируют. Суммирование методом Абеля позволяет присвоить данному ряду конечное значение 1/4. Отметим, что метод Абеля является, своего рода, развитием метода суммирования по Чезаро, поэтому результат 1/4 несложно осмыслить с точки зрения интуиции. Здесь важно отметить, что методы суммирования не являются трюками, которые придумали математики, чтобы как-то совладать с расходящимися рядами. Если вы примените суммирование по Чезаро или метод Абеля к сходящемуся ряду, то ответ, который дают эти методы, равен классической сумме сходящегося ряда. Ни суммирование по Чезаро, ни метод Абеля, однако, не позволяют работать с рядом 1 + 2 + 3 + 4 +..., т. к. средние арифметические частичных сумм, равно как и средние арифметические средних арифметических, расходятся. Кроме того, если значения 1/2 или 1/4 ещё как-то можно принять и соотнести с соответствующими рядами, то -1/12 сложно связать с рядом 1 + 2 + 3 + 4 +..., представляющим собой бесконечную последовательность положительных целых чисел. Существует несколько способов прийти к результату -1/12. В этой заметке я лишь кратко остановлюсь на одном из них, а именно регуляризации дзета-функцией . Введём дзета-функцию Подставляя s = -1
, получим исходный числовой ряд 1+2+3+4+…. Проделаем над этой функцией ряд несложных математических действий Где является эта-функцией Дирихле При значении s = -1
эта-функция становится уже знакомым нам рядом 1 - 2 + 3 - 4 + 5 -… «сумма» которого равна 1/4. Теперь мы можем легко решить уравнение Интересно, что этот результат находит своё применение в физике. Например, в теории струн. Обратимся к стр. 22 книги Joseph Polchinski «String Theory»: Если для кого-то теория струн не является убедительным примером в силу отсутствия доказательств множества следствий этой теории, то можно также упомянуть, что похожие методы фигурируют в квантовой теории поля при попытке рассчитать эффект Казимира . Чтобы два раза не ходить, ещё пара интересных примеров с дзета-функцией Для тех, кто захочет получить больше информации по теме отмечу, что написать данную заметку я решил после перевода соответствующей статьи на википедии , где в разделе «Ссылки» вы сможете найти массу дополнительного материала, в основном на английском языке. Числовой ряд является некой последовательностью, которая рассматривается совместно с другой последовательностью (ее еще называют последовательностью частичных сумм). Подобные понятия применяются в математическом и комплексном анализе. Сумму числового ряда можно легко вычислить в Excel с помощью функции РЯД.СУММ. Рассмотрим на примере, как работает данная функция, а после построим график функций. Научимся применять числовой ряд на практике при подсчете роста капитала. Но для начала немного теории. Числовой ряд можно рассматривать как систему приближений к числам. Для его обозначения применяют формулу: Здесь показана начальная последовательность чисел ряда и правило суммирования: Запись обозначает: суммируются натуральные числа от 1 до «плюс бесконечности». Так как i = 1, то подсчет суммы начинается с единицы. Если бы здесь стояло другое число (например, 2, 3), то суммировать мы начинали бы с него (с 2, 3). В соответствии с переменной i ряд можно записать развернуто: А 1 + а 2 + а 3 + а 4 + а 5 + … (до «плюс бесконечности). Определение суммы числового ряда дается через «частичные суммы». В математике они обозначаются Sn. Распишем наш числовой ряд в виде частичных сумм: S 2 = а 1 + а 2 S 3 = а 1 + а 2 + а 3 S 4 = а 1 + а 2 + а 3 + а 4 Сумма числового ряда – это предел частичных сумм S n . Если предел конечен, говорят о «сходящемся» ряде. Бесконечен – о «расходящемся». Сначала найдем сумму числового ряда: Теперь построим в Excel таблицу значений членов ряда: Общий первый аргумент берем из формулы: i=3. Все следующие значения i находим по формуле: =B4+$B$1. Ставим курсор в нижний правый угол ячейки В5 и размножаем формулу. Найдем значения. Делаем активной ячейку С4 и вводим формулу: =СУММ(2*B4+1). Копируем ячейку С4 на заданный диапазон. Значение суммы аргументов получаем с помощью функции: =СУММ(C4:C11). Комбинация горячих клавиш ALT+«+» (плюс на клавиатуре). Для нахождения суммы числового ряда в Excel применяется математическая функция РЯД.СУММ. Программой используется следующая формула: Аргументы функции: Важные условия для работоспособности функции: Та же функция РЯД.СУММ работает со степенными рядами (одним из вариантов функциональных рядов). В отличие от числовых, их аргументы являются функциями. Функциональные ряды часто используются в финансово-экономической сфере. Можно сказать, это их прикладная область. Например, положили в банк определенную сумму денег (а) на определенный период (n). Имеем ежегодную выплату х процентов. Для расчета наращенной суммы на конец первого периода используется формула: S 1 = a (1 + x).
На конец второго и последующих периодов – вид выражений следующий: S 2 = a (1 + x) 2 ;
S 3 = a (1 + x) 2 и т.д.
Чтобы найти общую сумму: S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n
Частичные суммы в Excel можно найти с помощью функции БС(). Исходные параметры для учебной задачи: Используя стандартную математическую функцию, найдем накопленную сумму в конце срока сумму. Для этого в ячейке D2 используем формулу: =B2*СТЕПЕНЬ(1+B3;4) Теперь в ячейке D3 решим эту же задачу с помощью встроенной функции Excel: =БС(B3;B1;;-B2) Результаты одинаковые, как и должно быть. Как заполнить аргументы функции БС(): Таким образом, функция БС помогла найти нам сумму функционального ряда. В Excel есть и другие встроенные функции для нахождения разных параметров. Обычно это функции для работы с инвестиционными проектами, ценными бумагами и амортизационными платежами. Построим график функций, отражающий рост капитала. Для этого нам нужно построить график функции являющейся суммой построенного ряда. За пример, возьмем те же данные по вкладу: В первой строке показана накопленная сумма через год. Во второй – через два. И так далее. Сделаем еще один столбец, в котором отразим прибыль: Как мы считали – в строке формул. На основании полученных данных построим график функций. Выделим 2 диапазона: A5:A9 и C5:C9. Переходим на вкладку «Вставка» - инструмент «Диаграммы». Выбираем первый график: Сделаем задачу еще более "прикладной". В примере мы использовали сложные проценты. Они начисляются на наращенную в предыдущем периоде сумму. Возьмем для сравнения простые проценты. Формула простых процентов в Excel: =$B$2*(1+A6*B6) Добавим полученные значения в график «Рост капитала». Какие именно выводы сделает инвестор – очевидно. Математическая формула частичной суммы функционального ряда (с простыми процентами): S n = a (1 + x*n), где а – первоначальная сумма вклада, х – проценты, n – период. И т.д. – достаточно самых минимальных знаний о числовых рядах
. Необходимо понимать, что такое ряд , уметь расписывать его подробно и не округлять глаза после словосочетаний «ряд сходится», «ряд расходится», «сумма ряда». Поэтому, если ваше настроение совсем на нуле, пожалуйста, уделите 5-10 минут статье Ряды для чайников
(буквально первые 2-3 страницы), а потом возвращайтесь сюда и смело начинайте решать примеры! Следует отметить, что в большинстве случаев найти сумму ряда непросто, и этот вопрос обычно решается через функциональные ряды
(доживём-доживём:))
. Так, например, сумма популярного артиста выводится через ряды Фурье
. В этой связи на практике почти всегда требуется установить сам факт сходимости
, но не найти конкретное число (многие, думаю, уже успели это заметить). Однако среди великого множества числовых рядов есть немногочисленные представители, которые позволяют без особых проблем прикоснуться к святая святых даже полному чайнику. И на вводном уроке я приводил пример бесконечно убывающей геометрической прогрессии , сумма которой легко рассчитывается по известной школьной формуле. В данной статье мы продолжим рассматривать похожие примеры, кроме того, узнаем строгое определение суммы и попутно познакомимся с некоторыми свойствами рядов. Разомнёмся… да прямо на прогрессиях и разомнёмся: Пример 1
Найти сумму ряда Решение
: представим наш ряд в виде суммы двух рядов: Почему в данном
случае так можно сделать? Выполненные действия основаны на двух простейших утверждениях: 1) Если сходятся ряды , то будут сходиться и ряды, составленные из сумм или разностей соответствующих членов: . При этом существенно то обстоятельство, что речь идёт о сходящихся
рядах. В нашём примере мы заранее знаем
, что обе геометрические прогрессии сойдутся, а значит, без всяких сомнений раскладываем исходный ряд в два ряда. 2) Второе свойство ещё очевиднее. Константу можно вынести за пределы ряда: , и это не повлияет на его сходимость или расходимость и итоговую сумму. Зачем выносить константу? Да просто чтобы она «не мешалась под ногами». Но иногда бывает выгодно этого и не делать Чистовое оформление примера выглядит примерно так: Ответ
: сумма ряда Начало решения можно оформить несколько в другом стиле – расписать ряд напрямую и перегруппировать его члены: Пример 2
Найти сумму ряда Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Каких-либо особых изысков здесь нет, но однажды мне попался необычный ряд , который может застать врасплох неискушенного человека. Это… тоже бесконечно убывающая геометрическая прогрессия! Действительно, , и сумма рассчитывается буквально за пару мгновений: . А сейчас живительный глоток математического анализа, необходимый для решения дальнейших задач: Строгое определение сходимости/расходимости и суммы ряда в теории даётся через так называемые частичные суммы
ряда. Частичные – значит неполные. Распишем частичные суммы числового ряда : Если предел частичных сумм числового ряда равен конечному
числу: , то такой ряд называют сходящимся
, а само число – суммой ряда
. Если же предел бесконечен либо его не существует, то ряд называют расходящимся
. Вернёмся к демонстрационному ряду и распишем его частичные суммы: Предел частичных сумм – есть в точности бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна: . Похожий предел мы рассматривали на уроке о числовых последовательностях
. Собственно, и сама формула – это прямое следствие вышеизложенных теоретических выкладок (см. 2-ой том матана). Таким образом, прорисовывается общий алгоритм решения нашей задачи
: необходимо составить энную частичную сумму ряда и найти предел . Посмотрим, как это осуществляется на практике: Пример 3
Вычислить сумму ряда Решение
: на первом шаге нужно разложить общий член ряда
в сумму дробей. Используем метод неопределённых коэффициентов
: В результате: Сразу же
полезно провести обратное действие, выполнив тем самым проверку: Теперь составим частичную сумму ряда . Вообще это делается устно, но один раз я максимально подробно распишу, что откуда взялось: Как записать совершенно понятно, но чему равен предыдущий член ? В общий член ряда ВМЕСТО
«эн» подставляем : Почти все слагаемые частичной суммы благополучно сокращаются: Осталось вычислить элементарный предел и узнать сумму ряда: Ответ
: Аналогичный ряд для самостоятельного решения: Пример 4
Вычислить сумму ряда Примерный образец чистового оформления решения в конце урока. Очевидно, что нахождение суммы ряда – это само по себе доказательство его сходимости (помимо признаков сравнения
, Даламбера, Коши
и др.), о чём, в частности, намекает формулировка следующего задания: Пример 5
Найти сумму ряда или установить его расходимость По внешнему виду общего члена можно сразу сказать, как ведёт себя этот товарищ. Без комплексов. С помощью предельного признака сравнения
легко выяснить (причём даже устно), что данный ряд будет сходиться вместе с рядом . Но перед нами редкий случай, когда без особых хлопот рассчитывается ещё и сумма. Решение
: разложим знаменатель дроби в произведение. Для этого нужно решить квадратное уравнение
: Таким образом: Множители лучше расположить в порядке возрастания: . Выполним промежуточную проверку: Таким образом, общий член ряда: Таким образом: Не ленимся: Запишем частичную сумму «эн» членов ряда, при этом обращаем внимание на тот факт, что «счётчик» ряда «начинает работать» с номера . Как и в предыдущих примерах, надёжнее растянуть кобру на приличную длину: Однако если мы запишем в одну-две строчки, то всё равно будет довольно трудно сориентироваться в сокращениях слагаемых (их таки 3 в каждом члене). И здесь нам на помощь придёт… геометрия. Заставим плясать змею под свою дудочку: Да, прямо так и пишем в тетради один член под другим и прямо так их вычёркиваем. Кстати, собственное изобретение. Как понимаете, не от самого лёгкого задания в этой жизни =) В результате всех сокращений получаем: И, наконец, сумма ряда: Ответ
: Пример 8
Вычислить сумму ряда Это пример для самостоятельного решения. Рассматриваемая задача, конечно, не радует нас разнообразием – на практике встречается либо бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, либо ряд с дробно-рациональным общим членом и разложимым многочленом в знаменателе (к слову, далеко не каждый такой многочлен даёт возможность найти сумму ряда). Но, тем не менее, иногда попадаются необычные экземпляры, и по сложившейся доброй традиции я завершаю урок какой-нибудь любопытной задачей. сайт
позволяет найти сумму ряда онлайн
числовой последовательности. Помимо нахождения суммы ряда онлайн числовой последовательности, сервер в режиме онлайн
найдет частичную сумму ряда
. Это полезно для аналитических выкладок, когда сумму ряда онлайн
необходимо представить и найти как решение предела последовательности частичных сумм ряда
. По сравнению с другими сайтами, сайт
обладает неоспоримым преимуществом, так как позволяет найти сумму ряда онлайн
не только числового, но и функционального ряда
, что позволит определить область сходимости исходного ряда
, применяя наиболее известные методы. Согласно теории рядов
, необходимым условием сходимости числовой последовательности является равенство нулю предела от общего члена числового ряда
при стремлении переменной к бесконечности. Однако, это условие не является достаточным для определения сходимости числового ряда онлайн .. Для определения сходимости рядов онлайн
найдены разнообразные достаточные признаки сходимости или расходимости ряда
. Наиболее известные и часто применяемые из них - это признаки Д"Аламбера, Коши, Раабе, сравнения числовых рядов
, а также интегральный признак сходимости числового ряда
. Особое место среди числовых рядов
занимают такие, в которых знаки слагаемых строго чередуются, а абсолютные величины числовых рядов
монотонно убывают. Оказывается, для таких числовых рядов
необходимый признак сходимости ряда онлайн является одновременно и достаточным, то есть равенство нулю предела от общего члена числового ряда
при стремлении переменной к бесконечности. Существует множество различных сайтов, на которых представлены серверы
для вычисления суммы ряда онлайн
, а также разложения функций вряд
в режиме онлайн в некоторой точке из области определения этой функции. Если разложить функцию в ряд онлайн
не представляет на этих серверах особого труда, то вычислить сумму функционального ряда онлайн
, каждым членом которого, в отличие от числового ряда
, является не число, а функция, представляется практически невозможным в силу отсутствия необходимых технических ресурсов. Для www.сайт
такой проблемы не существует.39. Теоремы о сходимости числовых рядов.
40. Эталонные ряды для установления сходимости
41. Функциональные ряды, степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена
Сумма числового ряда
Функция РЯД.СУММ в Excel
Вычисление суммы ряда в Excel
Построение графика функций суммы числового ряда
Дважды используем формулу для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , где – первый член прогрессии, – основание прогрессии.
Дальше по накатанной.Что такое сумма ряда?
И особую роль играет частичная сумма «эн» членов ряда:
Получен общий член ряда в исходном виде, следовательно, разложение в сумму дробей проведено успешно.
Прямо такие пометки и делаем карандашом в тетради. Чертовски удобно.
ОК
Что и требовалось проверить.Сумма ряда