НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
Раздел II. Начисление сложных процентов
Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называютка-
питализацией процентов.
Формула наращения по сложным процентам
Пусть первоначальная сумма долга равна P , тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составитP(1+i) , через 2 годаP(1+i)(1+i)=P(1+i) 2 , черезn лет -P(1+i) n . Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов
S=P(1+i)n |
где S - наращенная сумма,i - годовая ставка сложных процентов,n - срок ссуды,(1+i) n - множитель наращения.
В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.). Наращение по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен P , а знаменатель(1+i).
Отметим, что при сроке n<1 наращение по простым процентам дает больший результат, чем по сложным, а приn>1 - наоборот. В этом нетрудно убедиться на конкретных числовых примерах. Наибольшее превышение суммы, наращенной по простым процентам, над суммой, наращенной по сложным процентам, (при одинаковых процентных ставках) достигается в средней части периода.
Формула наращения по сложным процентам, когда ставка меняется во времени
В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид
S = P(1 + i) n 1 | (1+ i )n 2 | ...(1+ i )nk , | |
где i1 , i2 ,..., ik - последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n1, n2,..., nk соответственно.
В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% в первые два года, 8% в третий год, 5% в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года.
(1+0,3)2 (1+0,28)(1+0,25)=2,704
НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
Формула удвоения суммы
В целях оценки своих перспектив кредитор или должник может задаться вопросом: через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз при данной процентной ставке. Обычно это требуется при прогнозировании своих инвестиционных возможностей в будущем. Ответ получим, приравняв множитель наращения величинеN :
а) для простых процентов
(1+niпрост. ) = N, откуда | |||
N − 1 | |||
пр ост. | |||
б) для сложных процентов
(1+iсложн. )n = N, откуда
Особенно часто используется N =2. Тогда формулы (21) и (22) называются формулами удвоения и принимают следующий вид:
а) для простых процентов
б) для сложных процентов
Если формулу (23) легко применять для прикидочных расчетов, то формула (24) требует применения калькулятора. Однако при небольших ставках процентов (скажем, менее 10%) вместо нее можно использовать более простую приближенную. Ее легко получить, если учесть, что ln 2 0,7, а ln(1+i) i. Тогда
n ≈ 0,7/i . |
а) При простых процентах: | ||||||
пр ост. | ||||||
НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
б) При сложных процентах и точной формуле:
ln(1+ 01,) | |||||||||
слож н. | |||||||||
в) При сложных процентах и приближенной формуле: n ≈ 0,7/i = 0,7/0,1 =7 лет.
1) Одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к совершенно различным результатам.
2) При малых значениях ставки сложных процентов точная и приближенная формулы дают практически одинаковые результаты.
Начисление годовых процентов при дробном числе лет
При дробном числе лет проценты начисляются разными способами: 1) По формуле сложных процентов
S=P(1+i)n , | ||
На основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются |
||
сложные проценты, а за дробное - простые | ||
S=P(1+i)a (1+bi), | ||
где n=a+b, a -целое число лет, b -дробная часть года. | ||
В ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрез- |
||
ки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е. | ||
S=P(1+i)a . | ||
Номинальная и эффективная ставки процентов
Номинальная ставка . Пусть годовая ставка сложных процентов равнаj , а число периодов начисления в годуm . Тогда каждый раз проценты начисляют по ставке j/m. Ставкаj называется номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле:
где N/ τ - число (возможно дробное) периодов начисления процентов,τ - период начисления процентов,
НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
2) По смешанной формуле
S = P(1 + | )a (1+ b | ||||
где a - целое число периодов начисления (т.е.a= - целая часть от деления всего срока ссудыN на период начисленияτ ),
b - оставшаяся дробная часть периода начисления (b=N/ τ -a).
Размер ссуды 20 млн. руб. Предоставлена на 28 месяцев. Номинальная ставка равна 60% годовых. Начисление процентов ежеквартальное. Вычислить наращенную сумму в трех ситуациях: 1) когда на дробную часть начисляются сложные проценты, 2) когда на дробную часть начисляются простые проценты 3) когда дробная часть игнорируется. Результаты сравнить.
Начисление процентов ежеквартальное. Всего имеется 3 = 91 3 кварталов.
S = 20(1+ 06, / 4)9 | 73,713 млн. руб. |
||||||||||||
S = 20(1+ | 73,875 млн. руб. |
||||||||||||
3) S=20(1+0,6/4) 9 = 70,358 млн. руб.
Из сопоставления наращенных сумм видим, что наибольшего значения она достигает во втором случае, т.е. при начислении на дробную часть простых процентов.
Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что иm -разовое наращение в год по ставкеj/m.
Если проценты капитализируются m раз в год, каждый раз со ставкойj/m , то, по определению, можно записать равенство для соответствующих множителей наращения:
(1+iэ )n =(1+j/m)mn , |
где i э - эффективная ставка, аj - номинальная. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением
i э =(1 + | −1 | ||||
Обратная зависимость имеет вид | |||||
j=m[(1+iэ )1/m -1]. | |||||
Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10% годовых.
НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
Решение i э =(1+0,1/4) 4 -1=0,1038, т.е. 10,38%.
Пример 10.
Определить какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12% годовых.
Решение. j =4[(1+0,12) 1/4 -1]=0,11495, т.е. 11,495%.
Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов
Здесь, также как и в случае простых процентов, будут рассмотрены два вида учета - математический и банковский.
Математический учет . В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения
S=P(1+i)n
и решим ее относительно P
P = S(1 + 1 i ) n = Svn ,
v n =(1 + 1 i ) n =(1 +i ) − n
учетный или дисконтный множитель.
Если проценты начисляются m раз в году, то получим
P = S | |||||||||||||||||||||
(1+ j /m )mn |
|||||||||||||||||||||
гдеP и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через n лет равноценен сумме P , выплачиваемой в настоящий момент. Разность D=S-P называютдисконтом . Банковский учет . В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле P=S(1-dсл )n , (39) где d сл - сложная годовая учетная ставка. Дисконт в этом случае равен D=S-P=S-S(1-dсл )n =S. (40)
НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта. Номинальная и эффективная учетные ставки процентов Номинальная учетная ставка . В тех случаях, когда дисконтирование применяютm раз в году, используютноминальную учетную ставку f. Тогда в каждом периоде, равном1/m части года, дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставкеf/m . Процесс дисконтирования по этой сложной учетнойm раз в году описывается формулой
где N - общее число периодов дисконтирования (N=mn ). Дисконтирование не один, а m раз в году быстрее снижает величину дисконта. Эффективная учетная ставка . Под эффективной учетной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку, эквивалентную (по финансовым результатам) номинальной, применяемой при заданном числе дисконтирований в годуm . В соответствии с определением эффективной учетной ставки найдем ее связь с номинальной из равенства дисконтных множителей Отметим, что эффективная учетная ставка всегда меньше номинальной. Наращение по сложной учетной ставке. Наращение является обратной задачей для учетных ставок. Формулы наращения по сложным учетным ставкам можно получить, разрешая соответствующие формулы для дисконтирования (39 и 41) относительноS . Получаем из P=S(1-d сл ) n
Пример 11. Какую сумму следует проставить в векселе, если реально выданная сумма равна 20 млн. руб., срок погашения 2 года. Вексель рассчитывается, исходя из сложной годовой учетной ставки 10%. S = (1 − 20 0,1) 2 = 24,691358 млн. руб. | |||||||||||||||||||||
Каждый к депозитам относится по своему: одни предпочитают накапливать деньги на банковских счетах, а кому-то спится легче при понимании того, что все деньги лежат под своей подушкой.
Банки помогают заработать на собственных деньгах - они предлагают денежное вознаграждение в виде начисляемых и выплачиваемых процентов за каждый оформленный сберегательный счёт.
Если вы решили доверить свои сбережения банку, то прежде всего следует понять, сколько же можно заработать, какой банк является более надёжным и на каких условиях он предлагает размещение вкладов.
В этой статье мы остановимся на вопросе того, что представляет собой сложный процент по вкладам, и как его рассчитать.
Существует два вида процентов по депозитам или вкладам - простой и сложный. О первом из них говорить долго не приходится, так как простой процент довольно-таки легко посчитать.
Сложный процент - это такой вид начисления, который увеличивает на свой размер тело депозита без разрывания договора вклада. Также его называют депозитом с капитализацией.
То есть при ставке в 20% с капитализацией условие о том, что в конце периода вы получите на такой же процент больше денег, не действует.
Банкам не выгодны такие депозиты, так как им приходится больше платить за использование привлечённых средств. Поэтому процентные ставки по ним зачастую на порядок меньше, чем у тех вкладов, которые подразумевают простое начисление вознаграждений.
Чаще всего сложный процент представлен в депозитах с возможностью постоянного пополнения. Иногда банки пытаются завлечь и клиентов на вклады, с которых можно снимать либо вкладывать деньги в любое время. Но процентные ставки по второму виду значительно ниже, чем в депозитах, не подразумевающих частичное снятие.
Итак, разобравшись в сути понятия, перейдём к осуществлению практических расчётов.
Предположим, что вы хотите разместить 200 тысяч рублей на депозит. Выбор пал на вклад, который подразумевает начисление сложного банковского процента с уровнем в 11% годовых.
Условия депозита включают ежемесячную капитализацию процентов. Это означает, что то количество процентов, которые полагается вам за размещение вклада в течение месяца, будет начислено и прибавлено к общей сумме первоначального вклада. А со следующего месяца проценты будут насчитываться уже на новый размер вклада.
На практике это выглядит следующим образом:
Вложим 200 тыс. рублей на депозит под 11% с ежемесячной капитализацией процентов. Получаем, что за первый месяц должно начислиться 11% ÷ 12 = 0.917%.
То есть во втором месяце она составит 201834 рублей. И таким же образом можно просчитать и остальные месяцы:
Итого, к последнему месяцу года сумма сложных процентов составит 21118,33 р., а по завершении года человек получит на руки свои 223126.33 рублей. Если бы он разместил свои деньги на обычный депозит без ежемесячной капитализации, то сумма процентов составила бы 22000 рублей. Получается, что на 1126.33 рублей вклад со сложным процентом оказался выгоднее.
То есть получается, что размещать такие вклады действительно выгодно. Но это в теории, на практике, возможно, всё будет по другому из-за некоторых нюансов, которые будут описаны несколько ниже.
На практике мы встречаемся с банками, которые не желают работать себе в убыток. Согласно расчётам, которые осуществлены выше, депозиты со сложной ставкой менее выгодны для любого банка.
Этим можно объяснить разницу процентных ставок, которые предлагают финансовые учреждения в качестве награды за размещение вклада. Те депозиты, которые предполагают капитализацию, всегда имеют более низкий уровень процентов.
Для того чтобы осуществить реальное сравнение, возьмём средние ставки, которые существуют на сегодняшний день.
Представим, у что Иванов К.Л. является счастливым обладателем 1 млн. рублей. Он решил разместить эти деньги в банке. Банковский сотрудник предложил ему два варианта. Первый - разместить вклад на 1 год под 10 % годовых, подразумевающий начисление сложных процентов. Второй вариант - двухлетний вклад под 11% годовых с простым начислением вознаграждений.
Какой вариант выбрать? Проведём расчёт.
В предыдущем примере было подробно показано, как вычислять проценты за каждый месяц. В этот раз поступим проще - будет использоваться уже выведенная формула сложных процентов, которая выглядит следующим образом:
Пс = Д * (1 + Дс / 100 *Пд / По)К - Д, где:
Согласно формуле, вычислим, какие же сложные годовые проценты в нашем примере:
Пс = 1 000 000 *(1 + 10* / 100 * 30 / 365)12 - 1 000 000 = 103 213.20р.
Если Иванов К.Л. выберет второй вариант, то получит следующую сумму процентов через год:
Пп = 1 000 000 * 0,11 = 110 000 р.
Как видно, даже разница в 1% существенно влияет на уровень отличия вознаграждений у вкладов с капитализацией и без. Конечно же, если бы уровень процентов был одинаковым, то капитализация всегда выгодней. Но реальность такова, что банки сознательно занижают проценты по таким вкладам, чтобы не нести убытки.
Конечно, сложный процент по вкладам позволяет их владельцам зарабатывать больше денег за отведённую единицу времени. На примерах, которые указаны выше, видна разница в сумме полученного вознаграждения.
Но нужно учитывать темпы инфляции, рост или падение экономики. В современной ситуации экономисты придерживаются того мнения, что депозиты лишь помогают справиться с факторами, влияющими на процесс обесценивания денег.
Безусловно, банковские учреждения предоставляют гарантии по защите ваших денег, и такой способ намного лучше, чем хранить ценности под матрасом, но если вы хотите с помощью капитала создать новый капитал, то нужно выбирать инвестирование.
Если вы уже точно определились в том, какой вид счёта вам нужен, не принимайте поспешных решений. Даже если депозит с капитализацией процентов имеет очень привлекательную процентную ставку, стоит оценить все риски, которые могут возникнуть. Репутация банка в данном вопросе игрет большую роль, которая говорит о надёжности учреждения.
Для примера можно сказать, что за границей всем людям чужды процентные ставки по депозитам, такие как в России. Точно так же они относятся и к ставкам по кредитам. Там считается нормальным их уровень в районе 1-2 процентов. В связи с этим они воспринимают банки исключительно как средство сбережения своих средств.
В условиях рыночной экономики любое взаимодействие лиц, фирм и предприятий с целью получения прибыли называется сделкой. При кредитных сделках прибыль представляет собой величину дохода от предоставления денежных средств в долг, что на практике реализуется за счет начисления процентов (процентной ставки – i). Проценты зависят от величины предоставляемой суммы, срока ссуды, условий начисления и т. д.
Важнейшее место в финансовых сделках занимает фактор времени (t). С временным фактором связан принцип неравноценности и неэквивалентности вложений. Для того чтобы определить изменения, происходящие с исходной суммой денежных средств (P), необходимо рассчитать величину дохода от предоставления денег в ссуду, вложения их в виде вклада (депозита), инвестированием их в ценные бумаги и т. д.
Процесс увеличения суммы денег в связи с начислением процентов (i) называют наращением, или ростом первоначальной суммы (P). Таким образом, изменение первоначальной стоимости под влиянием двух факторов: процентной ставки и времени называется наращенной стоимостью (S).
Наращенная стоимость может определяться по схеме простых и сложных процентов. Простые проценты используются в случае, когда наращенная сумма определяется по отношению к неизменной базе, то есть начисленные проценты погашаются (выплачиваются) сразу после начисления (таким образом, первоначальная сумма не меняется); в случае, когда исходная сумма (первоначальная) меняется во временном интервале, имеют дело со сложными процентами.
При начислении простых процентов наращенная сумма определяется по формуле
S = P (1 + i t), (1)
где S – наращенная сумма (стоимость), руб.; P – первоначальная сумма (стоимость), руб.; i – процентная ставка, выраженная в коэффициенте; t – период начисления процентов.
S = 10 000 (1+ 0,13 · 1) = 11 300, руб. (сумма погашения кредита);
ΔР = 11 300 – 10 000 = 1 300, руб. (сумма начисленных процентов).
Определить сумму погашения долга при условии ежегодной выплаты процентов, если банком выдана ссуда в сумме 50 000 руб. на 2 года, при ставке – 16 % годовых.
S = 50 000 (1+ 0,16 · 2) = 66 000, руб.
Таким образом, начисление простых процентов осуществляется в случае, когда начисленные проценты не накапливаются на сумму основного долга, а периодически выплачиваются, например, раз в год, полугодие, в квартал, в месяц и т. д., что определяется условиями кредитного договора. Также на практике встречаются случаи, когда расчеты производятся за более короткие периоды, в частности на однодневной основе.
В случае, когда срок ссуды (вклада и т. д.) менее одного года, в расчетах необходимо скорректировать заданную процентную ставку в зависимости от временного интервала. Например, можно представить период начисления процентов (t) в виде отношения , где q – число дней (месяцев, кварталов, полугодий и т. д.) ссуды; k – число дней (месяцев, кварталов, полугодий и т. д.) в году.
Таким образом, формула (1) изменяется и имеет следующий вид:
S = P (1 + i ). (2)
Банк принимает вклады на срочный депозит на срок 3 месяца под 11 % годовых. Рассчитать доход клиента при вложении 100 000 руб. на указанный срок.
S = 100 000 (1+ 0,11 · ) = 102 749,9, руб.;
ΔР = 102 749,9 – 100 000 = 2 749,9, руб.
В зависимости от количества дней в году возможны различные варианты расчетов. В случае, когда за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней), исчисляют обыкновенные, или коммерческие проценты. Когда за базу берут действительное число дней в году (365 или 366 – в високосном году), говорят о точных процентах.
При определении числа дней пользования ссудой также применяется два подхода: точный и обыкновенный. В первом случае подсчитывается фактическое число дней между двумя датами, во втором – месяц принимается равным 30 дням. Как в первом, так и во втором случае, день выдачи и день погашения считаются за один день. Также существуют случаи, когда в исчислении применяется количество расчетных или рабочих банковских дней, число которых в месяц составляет 24 дня.
Таким образом, выделяют четыре варианта расчета:
1) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
2) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды;
3) точные проценты с приближенным числом дней ссуды;
4) точные проценты с банковским числом рабочих дней.
При этом необходимо учесть, что на практике день выдачи и день погашения ссуды (депозита) принимают за один день.
Ссуда выдана в размере 20 000 руб. на срок с 10.01.06 до 15.06.06 под 14 % годовых. Определить сумму погашения ссуды.
1. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:
156=21+28+31+30+31+15;
S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 213,3, руб.
2. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:
S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 205,6, руб.
3. Точные проценты с приближенным числом дней ссуды:
S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 189,0, руб.
4. Точные проценты с банковским числом рабочих дней:
S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 516,7, руб.
Данные для расчета количества дней в периоде представлены в прил. 1, 2.
Как сказано выше, кроме начисления простых процентов применяется сложное начисление, при котором проценты начисляются несколько раз за период и не выплачиваются, а накапливаются на сумму основного долга. Этот механизм особенно эффективен при среднесрочных и долгосрочных кредитах.
После первого года (периода) наращенная сумма определяется по формуле (1), где i будет являться годовой ставкой сложных процентов. После двух лет (периодов) наращенная сумма S 2 составит:
S 2 = S 1 (1 + it) = P (1 + it) · (1 + it) = P (1 + it) 2 .
Таким образом, при начислении сложных процентов (после n лет (периодов) наращения) наращенная сумма определяется по формуле
S = P (1 + i t) n , (3)
где i – ставка сложных процентов, выраженная в коэффициенте; n – число начислений сложных процентов за весь период.
Коэффициент наращения в данном случае рассчитывается по формуле
Кн = (1 + i t) n , (4)
где Кн – коэффициент наращения первоначальной стоимости, ед.
Вкладчик имеет возможность поместить денежные средства в размере 75 000 руб. на депозит в коммерческий банк на 3 года под 10 % годовых.
Определить сумму начисленных процентов к концу срока вклада, при начислении сложных процентов.
S = 75 000 (1+ 0,1 · 1) 3 = 99 825, руб.
ΔР = 24 825, руб.
Таким образом, коэффициент наращения составит:
Кн = (1+ 0,1 · 1) 3 = 1,331
Следовательно, коэффициент наращения показывает, во сколько раз увеличилась первоначальная сумма при заданных условиях.
Доля расчетов с использованием сложных процентов в финансовой практике достаточно велика. Расчеты по правилу сложных процентов часто называют начисление процентов на проценты, а процедуру присоединения начисленных процентов – их реинвестированием или капитализацией.
Рис. 1. Динамика увеличения денежных средств при начислении простых и сложных процентов
Из-за постоянного роста базы вследствие реинвестирования процентов рост первоначальной суммы денег осуществляется с ускорением, что наглядно представлено на рис. 1.
В финансовой практике обычно проценты начисляются несколько раз в году. Если проценты начисляются и присоединяются чаще (m раз в год), то имеет место m-кратное начисление процентов. В такой ситуации в условиях финансовой сделки не оговаривают ставку за период, поэтому в финансовых договорах фиксируется годовая ставка процентов i, на основе которой исчисляют процентную ставку за период (). При этом годовую ставку называют номинальной, она служит основой для определения той ставки, по которой начисляются проценты в каждом периоде, а фактически применяемую в этом случае ставку (() mn) – эффективной, которая характеризует полный эффект (доход) операции с учетом внутригодовой капитализации.
Наращенная сумма по схеме эффективных сложных процентов определяется по формуле
S = P (1+ ) mn , (5)
где i – годовая номинальная ставка, %; (1+ ) mn – коэффициент наращения эффективной ставки; m – число случаев начисления процентов за год; mn – число случаев начисления процентов за период.
S = 20 000 (1+ ) 4·1 = 22 950, руб.
Следует отметить, что при периоде, равным 1 году, число случаев начисления процентов за год будет соответствовать числу случаев начисления процентов за весь период. Если, период составляет более 1 года, тогда n (см. формулу (3)) – будет соответствовать этому значению.
S = 20 000 (1+ ) 4·3 = 31 279, 1 , руб.
Начисление сложных процентов также применяется не только в случаях исчисления возросшей на проценты суммы задолженности, но и при неоднократном учете ценных бумаг, определении арендной платы при лизинговом обслуживании, определении изменения стоимости денег под влиянием инфляции и т. д.
Как говорилось выше, ставку, которая измеряет относительный доход, полученный в целом за период, называют эффективной. Вычисление эффективной процентной ставки применяется для определения реальной доходности финансовых операций. Эта доходность определяется соответствующей эффективной процентной ставкой.
I эф = (1+ ) mn – 1 . (6)
Кредитная организация начисляет проценты на срочный вклад, исходя из номинальной ставки 10 % годовых. Определить эффективную ставку при ежедневном начислении сложных процентов.
i = (1+ ) 365 – 1 = 0,115156, т. е. 11 %.
Реальный доход вкладчика на 1 руб. вложенных средств составит не 10 коп. (из условия), а 11 коп. Таким образом, эффективная процентная ставка по депозиту выше номинальной.
Банк в конце года выплачивает по вкладам 10% годовых. Какова реальная доходность вкладов при начислении процентов: а) ежеквартально; б) по полугодиям.
а) i = (1+ ) 4 – 1 = 0,1038, т. е. 10,38 %;
б) i = (1+ ) 2 – 1 = 0,1025, т. е. 10,25 %.
Расчет показывает, что разница между ставками незначительна, однако начисление 10 % годовых ежеквартально выгодней для вкладчика.
Расчет эффективной процентной ставки в финансовой практике позволяет субъектам финансовых отношений ориентироваться в предложениях различных банков и выбрать наиболее приемлемый вариант вложения средств.
В кредитных соглашениях иногда предусматривается изменение во времени процентной ставки. Это вызвано изменением контрактных условий, предоставлением льгот, предъявлением штрафных санкций, а также изменением общих условий совершаемых сделок, в частности, изменение процентной ставки во времени (как правило, в сторону увеличения) связано с предотвращением банковских рисков, возможных в результате изменения экономической ситуации в стране, роста цен, обесценения национальной валюты и т. д.
Расчет наращенной суммы при изменении процентной ставки во времени может осуществляться как начислением простых процентов, так и сложных. Схема начисления процентов указывается в финансовом соглашении и зависит от срока, суммы и условий операции.
Пусть процентная ставка меняется по годам. Первые n 1 лет она будет равна i 1 , n 2 – i 2 и т. д. При начислении на первоначальную сумму простых процентов необходимо сложить процентные ставки i 1 , i 2 , i n , а при сложных – найти их произведение.
При начислении простых процентов применяется формула
S = P (1+i 1 t 1 + i 2 t 2 + i 3 t 3 + i n t n) , (7)
где i n – ставка простых процентов; t n – продолжительность периода начисления.
В первый год на сумму 10 000 руб. начисляются 10 % годовых, во второй – 10,5 % годовых, в третий – 11 % годовых. Определить сумму погашения, если проценты выплачиваются ежегодно.
S = 10 000 (1+0,10 · 1 +0,105 · 1 + 0,11 · 1)=13 150, руб.;
ΔР = 3 150, руб.
При начислении сложных процентов применяется формула
S = P(1+i 1 t 1)·(1+ i 2 t 2)·(1+ i 3 t 3)·(1+ i n t n) (8)
где i n – ставка сложных процентов; t n – продолжительность периода ее начисления.
В первый год на сумму 10 000 руб. начисляются 10 % годовых, во второй – 10,5 % годовых, в третий – 11 % годовых. Определить сумму погашения, если проценты капитализируются.
S = 10 000 (1+0,10 · 1)·(1 +0,105 · 1)·(1 + 0,11 · 1)= 13 492, 05, руб.
Приведенные примеры подтверждают тот факт, что начисление простых процентов связано с определением наращенной суммы по отношению к неизменной базе, т. е. каждый год (период) проценты начисляются на одну и ту же первоначальную стоимость. Если рассмотреть пример 10, то в этом случае наращенная стоимость составит:
– за первый год: S 1 = 10 000 (1+0,10 · 1) = 11 000, руб.;
ΔР 1 = 1 000, руб.;
– за второй год: S 2 = 10 000 (1+0,105 · 1) = 11 050, руб.;
ΔР 2 = 1 050, руб.;
– за третий год: S 3 = 10 000 (1+0,11 · 1) = 11 100, руб.;
ΔР 3 = 1 100, руб.
Таким образом, сумма процентов за 3 года составит:
ΔР = 1 000+1 050+1 100 = 3 150, руб. (см. пример 10).
В случае начисления сложных процентов, исходная сумма меняется после каждого начисления, так как проценты не выплачиваются, а накапливаются на основную сумму, т. е. происходит начисление процентов на проценты. Рассмотрим пример 11:
– в первом году: S 1 = 10 000 (1+0,10 · 1) = 11 000, руб.;
– во втором году: S 2 = 11000 (1+0,105 · 1) = 12 100, руб.;
– в третьем году: S 3 = 12100 (1+0,11 · 1) = 13 431, руб.
Таким образом, сумма процентов за 3 года составит: i 3 = 3 431, руб. (см. пример 10).
При разработке условий контрактов или их анализе иногда возникает необходимость в решении обратных задач – определение срока операции или уровня процентной ставки.
Формулы для расчета продолжительности ссуды в годах, днях и т. д. можно рассчитать, преобразуя формулы (1) и (5).
Срок ссуды (вклада):
t = · 365 . (9)
Определить на какой срок вкладчику поместить 10 000 руб. на депозит при начислении простых процентов по ставке 10 % годовых, чтобы получить 12 000 руб.
t = (
) · 365 = 730 дней (2 года).
Клиент имеет возможность вложить в банк 50 000 руб. на полгода. Определить процентную ставку, обеспечивающую доход клиента в сумме 2 000 руб.
t = (
) = 0,08 = 8 % годовых
Аналогично определяется необходимый срок окончания финансовой операции и ее протяженность, либо размер требуемой процентной ставки при начислении сложных процентов.
Для упрощения расчетов значения коэффициента (множитель) наращения представлены в прил. 3.
Открывая банковский вклад нужно обращать внимание не только на размер процентной ставки, но и на вид начисления процентов. Бывает простое начисление процентов и сложное. В этой статье мы разберем разницу между видом начисления процентной ставки, а также определим в чем выгода того или иного способа начисления.
Обычно банки предлагают простое начисление процентов. Что это значит? Это значит, что проценты будут начислены на ваш вклад только в конце срока. Т.е. допустим вы открыли вклад под 10% годовых и вложили 10 000 рублей. Через год вам будет начислено в виде процентов 1 000 рублей. Если вы оставите вклад на второй год, то по истечении этого срока вам будет начислена еще 1 000 рублей.
За 2 года, при простом начислении процентов ваша итоговая сумма составит: 12 000 рублей.
Если бы было сложное начисление процентов, то картина немного меняется. Через 1 год, на вашем счету также было бы 11 000 рублей (10 000 — ваш вклад + 1 000 рублей в виде процентов).
Однако, эта начисленная тысяча, в конце первого периода присоединилась бы к основному телу депозиту. И все проценты уже начислялись бы на эту общую сумму. Т.е. вы на второй год получили бы 10%, только уже не с 10 000 рублей, а с 11 тысяч. В деньгах это получается — 1 100 рублей.
Итого, за 2 года при сложном начислении ваша сумма составит: 12 100 рублей
Думаю, нет смысла объяснять, что вы выберите: 12 000 или 12 100 рублей. К тому же дополнительным преимуществом сложным процентов является тот факт, что они также входят в . Т.е. если у банка отзывают лицензию, то все начисленные проценты также подлежат возврату вкладчику.
При простом начислении, деньги выплачиваются только в конце срока, т.е. по факту они не были начислены, даже если до окончания вашего вклада оставался только один день! И в данном случае вы имеете право на возврат только основного капитала.
Особенно привлекательным становится вклад с ежемесячной или ежеквартальной капитализацией процентов. Чем ниже период капитализации по вкладу, тем более высокий доход он дает. Дело тут в кумулятивном эффекте. Когда на начисленные проценты в виде прибыли также начисляется прибыль. Иногда сложные проценты называют процентами с учетом реинвестирования или капитализации . Обращайте на это внимание когда заключаете договор с банком. Если в договоре сказано, что проценты начисляются в конце срока вклада, то речь идет о простом начислении процентов.
Банки не очень часто предлагаю . Даже если проценты начисляются ежемесячно или ежеквартально, банки предпочитают не использовать полученную прибыль для начисления на них дополнительных процентов, а перечисляют на отдельный счет. Дело здесь, как было указано выше, в эффекте рефинансирования, когда эффективная процентная ставка за счет капитализации будет выше, первоначально заявленной банком.
Пример. При номинальной ставке в 9% годовых, реальная эффективная ставка с учетом реинвестирования составила бы 9,4% годовых. При 10% этот показатель вырос бы до 10,5%, а при 11% — до 11,6%.
Банки обычно указывают номинальную процентную ставку, поскольку эффективная процентная ставка при условии снятия процентов может и не случиться.
Для тех, кто хочет сам понять какую сумму он получит вложив деньги под сложный процент в банке есть специальная формула реинвестирования или капитализации вклада:
S=K * (1+r/t)™
K — это ваша первоначальная сумма, которую вы внесли в банк,
r — годовая процентная ставка, под которую вы положили в банк, например, 10% годовых — это 0,1, 12% годовых — это 0,12
t — количество выплат по процентам в год, например, если проценты начисляются ежегодно, то t=1, ежеквартально t=4, ежемесячно t=12
ТМ — количество периодов начисления процентов, т.е. если вы открыли вклад на 2 года, то при ежеквартальном начислении периодов будет 8, при ежемесячном TM будет равно 24.
S — сумма, которая окажется у вас на счету по истечении срока вклада.
Пример.
Вы открыли вклад на срок 2 года, под 12% годовых, капитализация процентов ежеквартальная. Вы внесли 10 000 рублей.
Какая сумма будет у вас в конце срока?
K=10 000
r=0,12%
t=4
TM=8
Получаем, S=10 000 * (1+0.12/4)∧8 = 12 668 рублей.
Итого за 2 года подобный вклад принесет вам 2 668 рублей или 26,68% доходности.
Если, для примера взять простое начисление процентов под те же 12% годовых на 2 года, с ежегодным начислением, но без капитализации, то в конце срока сумма будет немного меньше, а именно 2 400 рублей или 24% доходности.
Конечно, разница в 2,68% не такая уж и большая. Но все меняется если изменится сумма вклада в большую сторону или же увеличиться срок вклада. Именно на больших временных интервалах разница между простым и сложным начисление процентов наиболее заметна. На длительных интервалах времени разница в достигнутом результате может изменяться в разы. Недаром Ротшильды (богатейшее семейство планеты) называли сложные проценты « «.
Рассмотрим Сложный процент (Compound Interest) – начисление процентов как на основную сумму долга, так и на начисленные ранее проценты.
Немного теории
Владелец капитала, предоставляя его на определенное время в долг, рассчитывает на получение дохода от этой сделки. Размер ожидаемого дохода зависит от трех факторов: от величины капитала, предоставляемого в кредит, от срока, на который предоставлен кредит, и от величины ссудного процента или иначе процентной ставки.
Существуют различные методы начисления процентов. Основное их различие сводится к определению исходной суммы (базы), на которую начисляются проценты. Эта сумма может оставаться постоянной в течение всего периода или меняться. В зависимости от этого различают метод начисления по и сложным процентам.
При использовании сложных ставок процентов процентные деньги, начисленные после каждого периода начисления, присоединяются к сумме долга. Таким образом, база для начисления сложных процентов в отличие от использования изменяется в каждом периоде начисления. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, называется капитализацией процентов. Иногда этот метод называют «процент на процент».
В файле примера приведен график для сравнения наращенной суммы с использованием простых и сложных процентов.
В этой статье рассмотрим начисление по сложным процентам в случае постоянной ставки. О переменной ставке в случае сложных процентов .
Пусть первоначальная сумма вклада равна Р, тогда через один год сумма вклада с присоединенными процентами составит =Р*(1+i), через 2 года =P*(1+i)*(1+i)=P*(1+i)^2, через n лет – P*(1+i)^n. Таким образом, получим формулу наращения для сложных процентов:
S = Р*(1+i)^n
где S - наращенная сумма,
i - годовая ставка,
n - срок ссуды в годах,
(1+ i)^n - множитель наращения.
В рассмотренном выше случае капитализация производится 1 раз в год.
При капитализации m раз в год формула наращения для сложных процентов выглядит так:
S = Р*(1+i/m)^(n*m)
i/m – это ставка за период.
На практике обычно используют дискретные проценты (проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени: год (m=1), полугодие (m=2), квартал (m=4), месяц (m=12)).
В MS EXCEL вычислить наращенную сумму к концу срока вклада по сложным процентам можно разными способами.
Рассмотрим задачу : Пусть первоначальная сумма вклада равна 20т.р., годовая ставка = 15%, срок вклада 12 мес. Капитализация производится ежемесячно в конце периода.
Способ 1. Вычисление с помощью таблицы с формулами
Это самый трудоемкий способ, но зато самый наглядный. Он заключается в том, чтобы последовательно вычислить величину вклада на конец каждого периода.
В файле примера
это реализовано на листе Постоянная ставка
.
За первый период будут начислены проценты в сумме =20000*(15%/12)
, т.к. капитализация производится ежемесячно, а в году, как известно, 12 мес.
При начислении процентов за второй период, в качестве базы, на которую начисляются %, необходимо брать не начальную сумму вклада, а сумму вклада в конце первого периода (или начале второго). И так далее все 12 периодов.
Способ 2. Вычисление с помощью формулы Наращенных процентов
Подставим в формулу наращенной суммы S = Р*(1+i)^n значения из задачи.
S = 20000*(1+15%/12)^12
Необходимо помнить, что в качестве процентной ставки нужно указывать ставку за период (период капитализации).
Другой вариант записи формулы – через функцию СТЕПЕНЬ()
=20000*СТЕПЕНЬ(1+15%/12; 12)
Способ 3. Вычисление с помощью функции БС().
Функция БС()
позволяет определить инвестиции при условии периодических равных платежей и постоянной процентной ставки, т.е. она предназначена прежде всего для расчетов в случае . Однако, опустив 3-й параметр (ПЛТ=0), можно ее использовать и для расчета сложных процентов.
=-БС(15%/12;12;;20000)
Или так =-БС(15%/12;12;0;20000;0)
Примечание . В случае переменной ставки для нахождения Будущей стоимости по методу сложных процентов БЗРАСПИС() .
Рассмотрим задачу: Клиент банка положил на депозит 150 000 р. на 5 лет с ежегодным начислением сложных процентов по ставке 12 % годовых. Определить сумму начисленных процентов.
Сумма начисленных процентов I равна разности между величиной наращенной суммы S и начальной суммой Р. Используя формулу для определения наращенной суммы S = Р*(1+i)^n, получим:
I = S – P= Р*(1+i)^n – Р=P*((1+i)^n –1)=150000*((1+12%)^5-1)
Результат: 114 351,25р.
Для сравнения: начисление по простой ставке даст результат 90 000р. (см. файл примера
).
Рассмотрим задачу: Клиент банка положил на депозит некую сумму с ежегодным начислением сложных процентов по ставке 12 % годовых. Через какой срок сумма вклада удвоится?
Логарифмируя обе части уравнения S = Р*(1+i)^n, решим его относительно неизвестного параметра n.
В файле примера приведено решение, ответ 6,12 лет.
Рассмотрим задачу: Клиент банка положил на депозит 150 000 р. с ежегодным начислением сложных процентов. При какой годовой ставке сумма вклада удвоится через 5 лет?
В файле примера приведено решение, ответ 14,87%.
Примечание . Об эффективной ставке процентов .
Дисконтирование основывается на базе концепции стоимости денег во времени: деньги, доступные в настоящее время, стоят больше, чем та же самая сумма в будущем, вследствие их потенциала обеспечить доход.
Рассмотрим 2 вида учета: математический и банковский.
Математический учет
. В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам, т.е. вычисления производятся по формуле Р=S/(1+i)^n
Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной, или текущей стоимостью, или приведенной величиной S.
Суммы Р и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через n лет равноценен сумме Р, выплачиваемой в настоящий момент. Здесь разность D = S - P называется дисконтом.
Пример
. Через 7 лет страхователю будет выплачена сумма 2000000 руб. Определить современную стоимость суммы при условии, что применяется ставка сложных процентов в 15% годовых.
Другими словами, известно:
n = 7 лет,
S = 2 000 000 руб.,
i = 15% .
Решение. P = 2000000/(1+15%)^7
Значение текущей стоимости будет меньше, т.к. открыв сегодня
вклад на сумму Р с ежегодной капитализацией по ставке 15% мы получим через 7 лет сумму 2 млн. руб.
Тот же результат можно получить с помощью формулы =ПС(15%;7;;-2000000;1)
Функция ПС()
возвращает приведенную (к текущему моменту) стоимость инвестиции и .
Банковский учет
. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:
Р = S*(1- dсл)^n
где dcл - сложная годовая учетная ставка.
При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.
Сравнив формулу наращения для сложных процентов S = Р*(1+i)^n и формулу дисконтирования по сложной учетной ставке Р = S*(1- dсл)^n придем к выводу, что заменив знак у ставки на противоположный, мы можем для расчета дисконтированной величины использовать все три способа вычисления наращения по сложным процентам, рассмотренные в разделе статьи Начисление процентов несколько раз в год .
