1.7 Аддитивная и мультипликативная модели временного ряда
Существует несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания.
Простейший подход- расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда. Общий вид аддитивной модели следующий:
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой, сезонной и случайной компонент. Общий вид мультипликативной модели выглядит так:
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой, сезонной и случайной компонент. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.
Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений трендовой, циклической и случайной компонент для каждого уровня ряда.
Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.
1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2. Расчет значений сезонной компоненты.
3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной или мультипликативной модели.
4. Аналитическое выравнивание уровней и расчет значений тренда с использованием полученного уравнения тренда.
5. Расчет полученных по модели значений или
6. Расчет абсолютных и относительных ошибок.
Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.
После удаления тенденции (тренда) из временного ряда мы получим стационарный временной ряд. Его можно рассматривать как выборку Т последовательных наблюдений через равные промежутки времени из существенно более продолжительной (генеральной последовательности случайных величин. При этом статистические выводы делаются относительно вероятностной структуры генеральной последовательности. Такую последовательность удобно считать простирающейся неограниченно в будущее и, возможно, в прошлое. Последовательность случайных величин у 1 , у 2 , . . . или. . ., у -1 , у 0 , у 1 , . . . называется случайным процессом с дискретным параметром времени.
Несмотря на полную произвольность вероятностных моделей последовательностей случайных величин, полезно отличать случайные процессы от множества случайных величин этого процесса, учитывая понятие времени. Грубо говоря, в случайном процессе наблюдения, разделённые небольшими промежутками времени, близки по значениям в отличие от наблюдений, далеко отстоящих друг от друга во времени. Более того, модель значительно упрощается после расширения конечной последовательности наблюдений до бесконечной.
Одним из таких упрощений является свойство стационарности . Будем считать, что поведение множества случайных величин с вероятностной точки зрения не зависит от времени.
Случайный процесс y(t) с непрерывным параметром времени можно определить для 0 ≤ t < ∞ или -∞ < t < ∞ и рассматривать с привлечением вероятностной меры на пространстве функций y(t). Выборка из такого процесса состоит из наблюдений в конечном числе точек времени, или из непрерывных наблюдений в интервале времени.
Наблюдение процесса, часто называемое реализацией , есть точка в соответствующем бесконечномерном пространстве, где определена вероятностная мера. Вероятность определяется на некоторых множествах, называемых измеримыми. Этот класс множеств включает вместе с любым множеством его дополнение, а также объединение и пересечение счётного числа множеств этого класса; вероятностная мера на этом классе множеств определяется таким образом, что вероятность объединения непересекающихся множеств равна сумме вероятностей отдельных множеств.
Практически мы интересуемся вероятностями, которые связаны с конечным числом случайных величин. Эти вероятности включают в себя функцию совместного распределения.
Одно из назначений преобразования Фурье- выделять частоты циклических составляющих временного ряда, содержащего случайную компоненту.
Пусть число данных N представимо в виде N = N 1 N 2 . Тогда можно записать
t = t 1 + (t 2 -1)N 1 , t 1 = 1, . . ., N 1 , t 2 = 1, . . ., N 2 ;
j = j 1 + j 2 N 2 , j 1 = 0, . . ., N 2 – 1 , j 2 = 0, . . ., N 1 - 1;
Отметим, что a N – j = a j и b N – j = - b j . Искомые коэффициенты являются соответственно действительной и мнимой частями суммы:
Для их отыскания вычислим сначала величины
Для каждой пары (j 1 , t 1) , j 1 = 0, . . ., N 2 – 1 и t 1 = 0, . . ., N 1 . Поскольку
и 
,
то существует около N 1 N 2 /2 = N/2 таких пар. После этого находятся действительная и мнимая части суммы (1.9.1):
для j = 0,1, . . ., . Число операций умножения приближённо равно N 2 N в первых суммах и 2N 1 N во вторых суммах, так что число операций умножения в целом составляет примерно N (N 2 + 2N 1). В то же время число произведений в определении коэффициентов a j и b j , j=0,1, . . ., примерно равно N 2 . ,
Для каждого момента (периода) времени t = 1: N значение компоненты e t для аддитивной модели определяется как
,
- сумма циклической и трендовой компонент, а для мультипликативной модели:
- произведение циклической и трендовой компонент.
Ошибки измерений нам неизвестны, а известны лишь эмпирические остатки.
Рассматривая последовательность остатков как временной ряд, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками метода наименьших квадратов остатки e t должныбыть случайными. Однако при моделировании временных рядов часто встречаются ситуация, когда остатки содержат тенденцию или циклические колебания. Это свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предшествующих. В этом случае говорят о наличии автокорреляции остатков.
Автокорреляция остатков может быть вызвана следующими причинами, имеющими различную природу. Во-первых , иногда она связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака. Во-вторых , в ряде случаев причину автокорреляции остатков следует искать в формулировке модели. Модель может не включать фактор, существенное воздействие на результат, влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени t. Кроме того, в качестве таких существенных факторов могут выступать лаговые значения переменных, включённых в модель.
Либо модель не учитывает несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результат существенно в виду совпадения тенденций их изменения или фаз циклических колебаний.
Существует два наиболее распространённых метода определения автокорреляции остатков. Первый метод – это построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод – использование критерия Дарбина – Уотсона.
Дж. Дарбин и Г. Уотсон построили таблицы, дающие нижние и верхние пределы порогов значимости. Эти таблицы достаточны для большинства конкретных ситуаций. Рассмотрим логические основания критерия.
Выражение
(1.10.1)
представляет собой «отношение фон Неймана», применённое к остаткам оценки. Этот критерий имеет эффективность аналогичную таковой для критерия r 1 , первого коэффициента автокорреляции остатков. Из предыдущей главы известно, что этот критерий будет особенно мощным, если ошибки следуют авторегрессинному процессу первого порядка. Таким образом, он, по-видимому, хорошо приспособлен для экономических моделей.
Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени.
Временной ряд называется моментным рядом, если уровень временного ряда фиксирует значение изучаемого показателя на определённый момент времени.
Временной ряд называется интервальным рядом, если уровень временного ряда характеризует значение показателя за определённый период времени.
Временной ряд называется производным рядом, если уровни ряда представлены в виде производных величин (средних или относительных показателей).
Показатели временных рядов формируются под совокупным влиянием множества длительно и кратковременно действующих факторов и, в том числе, различного рода случайностей.
Временные ряды могут содержать два вида компонент - систематическую и случайную составляющие. Систематическая составляющая временного ряда является результатом воздействия постоянно действующих факторов.
Выделяют три основных систематических компоненты временного ряда:
Трендом называется систематическая линейная или нелинейная компонента, изменяющаяся во времени.
Сезонностью называются периодические колебания уровней временного ряда внутри года.
Цикличностью называются периодические колебания, выходящие за рамки одного года. Промежуток времени между двумя соседними вершинами или впадинами в масштабах года определяют как длину цикла.
Систематические составляющие характеризуются тем, что они могут одновременно присутствовать во временном ряду.
Случайной составляющей называется случайный шум или ошибка, которая воздействует на временной ряд нерегулярно.
К основным причинам, по которым возникает случайный шум, относят факторы резкого и внезапного действия, а также действия текущих факторов.
Катастрофическими колебаниями называется случайный шум, в основе возникновения которого лежат факторы резкого и внезапного действия.
Шум, в основе возникновения которого лежит действие текущих факторов, может быть связан также с ошибками наблюдений.
Отдельный уровень временного ряда обозначается как. Его можно представить в виде функции от основных компонент временного ряда следующим образом:
где T - это трендовая компонента,
S - это сезонная компонента,
C - это циклическая компонента,
е - случайный шум.
Существует несколько основных моделей временных рядов, к которым относятся:
1. аддитивная модель временного ряда, в которой компоненты представляют собой слагаемые:
2. мультипликативная модель временного ряда, в которой компоненты представляют собой сомножители:
3. комбинированная модель временного ряда:
Важнейшим условием правильного построения ряда динамики является сопоставимость всех входящих в него уровней. Данное условие решается либо в процессе сбора и обработки данных, либо путем их пересчета.
Проблема сопоставимости данных особенно остро стоит в рядах динамики, потому что они охватывают значительные периоды времени, за которые могли произойти изменения, приводящие к несопоставимости статистических данных.
Несопоставимость уровней ряда динамики может быть по следующим причинам:
Для того чтобы привести уровни ряда динамики к сопоставимому виду, иногда приходится прибегать к приему, который называется «смыкание рядов динамики». Под смыканием понимают объединение в один ряд (более длинный) двух или нескольких рядов динамики, уровни которых исчислены по разной методологии или разным территориальным границам. Для осуществления смыкания необходимо, чтобы для одного из периодов (переходного) имелись данные, исчисленные по разной методологии (или в разных границах).
Смыкание рядов динамики.
Изучим смыкание рядов динамики напримере условных данных:
До 2007 года в производственное объединение входили два предприятия. В 2007 г в него влилось еще одно предприятие. Показать изменение товарной продукции по объединению за 2004-2009 гг., используя следующие данные:
Таблица 1.1
Выпуск товарной продукции по объединению за 2004-2009 гг.
Уровни имеющихся двух рядов несопоставимы, так как исчислены в разных территориальных границах. Чтобы уровни обоих рядов были сопоставимы, пересчитаем данные 2004-2006 гг. для новых территориальных границ. Для этого на основе данных об объёме товарной продукции за 2007 год в старых и новых территориальных границах находим соотношение между ними.
Умножая на полученный коэффициент данные за 2004-2006 гг., приводим их таким образом в сопоставимый вид с последующими уровнями
Применив этот способ, получим ряд динамики, характеризующий объём товарной продукции по объединению за 2004-2009 гг.:
Таблица 1.2
Объём товарной продукции по объединению за 2004-2009 гг.
По полученным данным видно, как изменяется выпуск товарной продукции по объединению за 2004-2009 гг.
Приведение рядов динамики к одному основанию.
Проблема приведения к сопоставимому виду возникает и при параллельном анализе развития во времени экономических показателей отдельных стран, территориальных и административных районов или же социально-экономических явлений. В таких случаях ряды динамики приводятся к одному основанию, т.е. к одному и тому же периоду или моменту времени, уровень которого принимается за базу сравнения (за 1 или 100%), а все остальные уровни выражаются в форме коэффициентов или процентов по отношению к нему.
Рассмотрим приведение рядов динамики одному основанию на примере:
Имеются данные о производстве чугуна в Беларуси и России за 2005 - 2011 гг.
Таблица 1.3
Производство чугунного литья за 2005-2011 гг., тысяч тонн.
|
Понятие сезонных колебаний и сезонной составляющей Методы распознавания типа тренда и оценки его параметров Основные типы трендов Виды и построение временных рядов ТЕМА 6. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ТРЕНДОВ План лекции: Эконометрическую модель можно построить, используя 2 типа исходных данных: 1. данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент (периоды времени). Модели, построенные по этим данным, называются пространственными. 2. данные, характеризующие один объект за ряд последовательных периодов времени. Модели, построенные по этим данным, называются моделями временных рядов В литературе встречаются также понятия ряда динамики или динамические ряды. Данные термины несколько отличаются по сущности от понятия временной ряд , поскольку не каждый ряд уровней за последовательные периоды времени на самом деле содержат динамику какого - либо показателя. Термин динамика правильнее относить к изменениям, направленному развитию, наличию тенденций рассматриваемых показателей. Следовательно, временной ряд – это более общее понятии, включающее, как динамические, так и статистические последовательности уровней какого-либо показателя. Временной ряд – это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень состояния и изменения изучаемого явления. Классификация временных рядов. Каждый временной ряд включает 2 обязательных элемента: 2. конкретное значение показателей (уровень ряда) Временной ряд различаю по следующим признакам: 1. повремени: а) моментный ряд, характеризующий изучаемое явление в конкретный момент времени б) интервальный, т.е., уровень ряда, характеризующий признак за определенный период времени 2. по форме представления: а) абсолютных величин б) относительных величин в) средних величин 3. по расстоянию между датами или интервалами времени: а) полные ряды, когда даты следуют друг за другом с равными интервалами- б) неполные. а) частных показателей, характеризующих явления односторонне, изолированных б) ряды агрегированных показателей, т.е. характеризующих явления комплексно. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов. Условно их можно подразделить на 3 группы: 1) факторы, формирующие тенденцию ряда 2) факторы, формирующие цикличность колебаний ряда 3) случайные факторы При статистическом изучении динамики, необходимо четко разделять 2 основных ее элемента: 1) тенденцию 2) колеблемость, чтобы с помощью специальных показателей дать каждому из них, количественную характеристику Колеблемость – это отклонение уровней отдельных периодов времени от тенденции динамики. Тренд – это устойчивая тенденция во временном ряду, более или менее свободная от случайных колебаний. Тенденции изменения показателей сложных общественных явлений только приближенно можно выразить тем или иным уравнением, линией тренда. Во временных рядах обычно различают тенденции трех видов. Тенденция среднего уровня выражается обычно с помощью математического уравнения линии, вокруг которой варьируют фактические уровни исследуемого явления. Уравнение имеет следующий вид: ƒ. Смысл этой функции заключается в том, что значения тренда в отдельные моменты времени выступают математическими ожиданиями ряда динамики. Тенденция дисперсии характеризует тенденцию изменения отклонений между эмпирическими уровнями и детерминированной компонентой ряда. Тенденция автокорреляции характеризует связь между отдельными уровнями ряда динамики. Общие составляющие компоненты временного ряда y или : : Регулярная (основная) компонента, характеризующая общую тенденцию ряда (тренд) v:Сезонная компонента (внутригодичные колебания) в общем виде - циклическая составляющая e: Случайная компонента (случайные отклонения). Как видим, все компоненты, которые формируют уровень временного ряда, подразделяются на три группы. Основной составляющей является тренд. Значения сезонной и случайной компонент остаются после выделения из него трендовой составляющей. Если все составляющие компоненты найдены верно, то математическое ожидание случайной компоненты равно нулю и ее колебания около среднего значения постоянны. При различных сочетаниях в изучаемом явлении этих элементов, временной ряд может иметь различные формы: 1) большинство временных рядов имеет тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Данные факторы, взятые в отдельности могут оказывать разнонаправленные воздействия, однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. 2) изучаемые показатели могут быть подвержены циклическим колебаниям, они могут носить сезонный характер. 3) Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклические компоненты, а каждый их следующий уровень образуется, как сумма среднего уровня ряда и некоторые случайные компоненты. В реальных условиях временной ряд содержит чаще всего 3 компонента и каждый уровень ряда формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний, и случайной компоненты. Уровни временного ряда можно представить как сумму или произведение всех его составляющих компонент (трендовой, сезонной и случайной). Модель, в которой все компоненты ряда представлены как сумма этих составляющих, называют аддитивной. Если факторы влияния представлены как произведение составляющих, то модель называют мультипликативной. Основной задачей эконометрики при исследовании временного рядя является количественное выражение каждой из вышеперечисленных компонент для дальнейшего использования полученной информации. (для прогнозирования будущих значений ряда или построения модели двух или более временных рядов). Вопрос 1: «ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВРЕМЕННОГО РЯДА» Можно построить эконометрическую модель, используя два типа исходных данных: · данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент (период) времени; · данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов (периодов) времени. Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные на основе второго типа данных, называютсямоделями временных рядов. Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы: · факторы, формирующие тенденцию ряда; · факторы, формирующие циклические колебания ряда; · случайные факторы. При различных сочетаниях в изучаемом явлении или процессе этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать различные формы. Во-первых, большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Очевидно, что эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. На рис. 6.1 а) показан гипотетический временной ряд, содержащий возрастающую тенденцию. Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию в летний период выше, чем в зимний; уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка, а также с фазой-бизнес цикла, в которой находится экономика страны. На рис. 6.1 б) представлен гипотетический временной ряд, содержащий только сезонную компоненту. Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты. Пример ряда, содержащего только случайную компоненту, приведен на рис. 6.1 в). Очевидно, что реальные данные не следуют целиком и полностью из каких-либо описанных выше моделей. Чаще всего они содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты. В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача эконометрического исследования от дельного временного ряда - выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов Рис. 6.1. «Основные компоненты временного ряда: а – возрастающая тенденция; б – сезонная компонента, в – случайная компонента. Вопрос 2: «АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ УРОВНЕЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА И ВЫЯВЛЕНИЕ ЕГО СТРУКТУРЫ» При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называютавтокорреляцией уровней рада. Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Рассмотрим пример. Пример 6.1 Расчет коэффициентов автокорреляции уровней для временного ряда расходов на конечное потребление. Пусть имеются следующие условные данные о средних расходах на конечное потребление y t (д.е.) за 8 лет. Табл. 6.1 Расчет коэффициента автокорреляции первого порядка для временного ряда расходов на конечное потребление, д.е.
Расходы на конечное потребление в текущем году зависят от расходов на конечное потребление предыдущих лет. Определим коэффициент корреляции между рядами и и измерим тесноту связи между расходами на конечное потребление текущего и предыдущего годов. Добавим в таблицу 6.1 временно й ряд Одна из рабочих формул для расчета коэффициента корреляции имеет вид:
В качестве переменной х
мы рассмотрим ряд Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней первого порядка, т.к. он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда t и t-1 , т.е. при лаге 1. Для данных пример 6.1 соотноешния (6.2) составят: Используя формулу (6.1), получаем коэффициент автокорреляции первого порядка:
Полученное значение свидетельствует об очень тесной зависимости между расходами на конечное потребление текущего и непосредственно предшествующего годов, и, следовательно, о наличии во временном ряде расходов на конечное потребление сильной линейное тенденции. Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорелляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле: Для данных из примера 6.1 получим: Построим таблицу 6.2 подставив полученные значения в формулу (6.3), имеем:
Таблица 6.2 Расчет коэффициента автокорреляции второго порядка для временного ряда расходов на конечное потребление, д.е.
Полученные результаты еще раз подтверждают вывод о том, что ряд расходов на конечное потребление содержит линейную тенденцию. Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Необходимо отметить два важных свойства коэффициента корреляции. Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю. Во-вторых , по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию. Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называютавтокорреляционной функцией временного рада. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называетсякоррелограммой. Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а, следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т. е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка t , ряд содержит циклические колебания с периодичностью в t моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний и имеет структуру, сходную со структурой ряда, изображенного на рис. 6.1 в), либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты. Временной ряд расходов на конечное потребление, рассмотренный нами в примере 6.1, содержит только тенденцию, так как коэффициенты автокорреляции его уровней высокие. Пример 6.2. Автокорреляционная функция и выявление структуры ряда. Пусть имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии жителями региона за 16 кварталов. (табл. 6.3). Потребление электроэнергии жителями региона, млн. кВт*ч
Нанесем эти значения на график 6.2
Рис. 6.2. «Потребление электроэнергии жителями региона»
Определим коэффициент автокорреляции первого порядка (добавим 6.3 и воспользуемся формулой расчета линейного коэффициента корреляции). Он составит: . Отметим, что расчет этого коэффициента производился по 15, а не по 16 парам наблюдений. Это значение свидетельствует о слабой зависимости текущих уровней ряда от непосредственно им предшествующих уровней. Однако, как следует из графика, структура этого ряда такова, что каждый следующий уровень зависит от уровня и в гораздо большей степени, чем от уровня . Построим ряд (см. табл. 6.3). Рассчитав коэффициент автокорреляции второго порядка , получим количественную характеристику корреляционной связи рядов , ,: . Продолжив расчеты аналогичным образом, получим автокорреляционную функцию этого ряда. Ее значения и коррелограмма приведены в таблице 6.4. Аналогично рассчитываем и другие автокорреляции Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временно м ряде, во-первых, линейной тенденции, во-вторых, сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала. Данный вывод подтверждается и графическим анализом структуры ряда (см. рис. 6.2). Аналогично, если, например, при анализе временно го ряда наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции уровней второго порядка, ряд содержит циклические колебания в два периода времени, т.е. имеет пилообразную структуру. Вопрос 3: «Моделирование тенденции временного ряда» Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называютаналитическим выравниванием временного ряда. Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции: Линейный тренд Гипербола: Экспоненциальный тренд: Тренд в форме степенной функции: Парабола второго и более высоких порядков: Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t = 1, 2, …, n, а в качестве зависимой переменной - фактические уровни временного ряда у t . Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации. Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространенных способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет некоторых основных показателей динамики. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни и тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации R 2 и выбора уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффициента детерминации. Реализация этого метода относительно проста при компьютерной обработке данных. Вопрос 4: «Моделирование сезонных и циклических колебаний» Существует несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания. Простейший подход - расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда. Общий вид аддитивной модели следующий: Y=T+S+E (6.5) Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (Е) компонент. Общий вид мультипликативной модели выгладит так: Y=T*S*E (6.6) Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может бьггь представлен как произведение трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты. Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда. Процесс построения модели включает в себя следующие шаги. 1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней. 2. Расчет значений сезонной компоненты S. 3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (Т+ Е) в аддитивной или (Т*Е) в мультипликативной модели. 4. Аналитическое выравнивание уровней (Т+Е) или (Т*Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда. 5. Расчет полученных по модели значений (Т + S) или (T * S). 6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок Е для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов. Подробнее методику построения каждой из моделей рассмотрим на примерах. Пример 6.4. Построение аддитивной модели временного ряда. Обратимся к данным об объеме потребления электроэнергии жителями района за последние четыре года, представленным в табл. 6.3. В примере 6.2 было показано, что данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4. Объемы потребления электроэнергии в осенне-зимний период времени (I и IV кварталы) выше, чем весной и летом (II иIII кварталы). По графику, этого ряда (рис. 6.2) можно установить наличие приблизительно равной амплитуды колебаний. Это свидетельствует о возможном существовании в ряде аддитивной модели. Рассчитаем ее компоненты. Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого: а. просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (гр. 3 табл. 6.5); б. разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 табл. 6.5). Отметим, что полученные таким образом выравненные значения уже не содержат сезонной компоненты; в. приведем эта значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних - центрированные скользящие средние (гр. 5 табл. 6.5). Расчет оценок сезонной компонентности в аддитивной модели
Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями рада и центрированными скользящими средними (гр. 6 табл. 6.5). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (табл. 6.6). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю. Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели Для данной модели имеем: 0,6-1,958-1,275+2,708=0,075 Определим корректирующий коэффициент: К=0,075/4 = 0,01875 Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k: Где i =1:4 Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты: 0,581-1,977-1,294+2,960=0 Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты: I квартал: = 0.581 II квартал: = -1,979 III квартал: = -1,294 IV квартал: = 2,690 Занесем полученные значения в табл. 6.6 для соответствующих кварталов каждого года (стр.3) Шаг 3. Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины Т+E=Y-S (гр.4 табл. 6.7). Эти значения рассчитываются за каждый период времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту. Расчет выравненных значений Т и ошибок Е в аддитивной модели
Шаг 4. Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (Т+Е) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие: Константа 5,715416 Коэффициент регрессии 0,186421 Стандартная ошибка коэффициента регрессии 0,015188 R-квадрат 0,914971 Число наблюдений 16 Число степеней свободы 14 Таким образом, имеем следующий линейный тренд: Т=5,715+0,186*t Подставляя в это уравнение значения t=1, …, 16, найдем уровни Т для каждого момента времени (гр. 5 табл. 6.7). График уравнения тренда приведен на рис. 6.3.
Рис. 6.3. «Потребление электроэнергии жителями района (фактическое, выравненные и полученные по аддитивной модели значения уровней ряда) Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения (Т+S) представлены на рис. 6.3. Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производится по формуле E=Y-(T+S) (6.8) Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в гр. 7 табл. 6.7. По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построения модели или для выбора наилучшей модели можно применять сумму квадратов полученных абсолютных ошибок. Для данной аддитивной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна 1,10. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной 71,59 , эта величина составляет чуть более 1,5% (1-1,10/71,59)*100=1,536 Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 98,5% общей вариации уровней временно го ряда потребления электроэнергии за последние 16 кварталов. Вопрос 5: «Моделирование тенденции временного ряда при наличии структурных изменений». От сезонных и циклических колебаний следует отличать единовременные изменения характера тенденции временно го ряда, вызванные структурными изменениями в экономике или иными факторами. В этом случае, начиная с некоторого момента времени , происходит изменение характера динамики изучаемого показателя, что приводит к изменению параметров тренда, описывающего эту динамику. Схематично такая ситуация изображена на рис. 6.4
Рис. 6.4. «Изменение характера тенденции временного ряда». Момент (период) времени сопровождается значительными изменениями ряда факторов, оказывающих сильное воздействие на изучаемый показатель . Чаще всего эти изменения вызваны изменениями в общеэкономической ситуации или факторами (событиями) глобального характера, приведшими к изменению структуры экономики (например, начало крупных экономических реформ, изменение экономического курса, нефтяные кризисы и прочие факторы). Если исследуемый временной ряд включает в себя соответствующий момент (период) времени, то одной из задач его изучения становится выяснение вопроса о том, значимо ли повлияли общие структурные изменения на характер этой тенденции. Если это влияние значимо, то для моделирования тенденции данного временного ряда следует использовать кусочно-линейные модели регрессии , т.е. разделить исходную совокупность на две подсовокупности (до момента времени и после момента ) и построить отдельно по каждой подсовокупности уравнения линейной регрессии (на рис. 6.4 этим уравнением соответствуют прямые (1) и (2)). Если структурные изменении незначительно повлияли на характер тенденции ряда , то ее можно описать с помощью единого для всей совокупности данных уравнения тренда (на рис. 6.4 этому уравнению соответствует прямая (3)). Каждый из описанных выше подходов имеет свои положительные и отрицательные стороны. При построении кусочно-линейной модели происходит снижение остаточной суммы квадратов по сравнению с единым для всей совокупности уравнением тренда. Однако разделение исходной совокупности на две части ведет к потере числа наблюдений, и, следовательно, к снижению числа степеней свободы в кажодм уравнении кусочно-линейной модели. Построение единого для всей совокупности уравнения тренда, напротив, позволяет, сохранить число наблюдений n исходной совокупности, однако остаточная сумма квадратов по этому уравнению будет выше по сравнению с кусочно-линейной модели. Построение единого для всей совокупности уравнения тренда, напротив, позволяет сохранить число наблюдений n исходной совокупности, однако остаточная сумма квадратов по этому уравнению будет выше по сравнению с кусочно-линейной моделью. Очевидно, что выбор одной из двух моделей (кусочно-линейной или единого уравнения тренда) будет зависеть от соотношения между снижением остаточной дисперсии и потерей числа степеней свободы при переходе от единого уравнения регрессии к кусочно-линейной модели.
Формальный статистический тест для оценки этого соотношения был предложен Грегори Чоу. Применение этого теста предполагает расчет параметров уравнений трендов, графики которых изображены на рис. 6.5 (1), (2), (3). Введем систему обозначений, приведенную в табл. 6.8 Выдвинем гипотезу Н 0 о структурной стабильности тенденции изучаемого временного ряда. Остаточную сумму квадратов по кусочно-линейной модели () можно найти как сумму и Соответствующее ей число степеней свободы зависит: Тогда сокращение остаточной дисперсии при переходе от единого уравнения тренда к кусочно-линейной модели можно определить следующим образом: Число степеней свободы, соответствующее , с учетом соотношения 6.10 будет равно Найденное значение сравнивают с табличным, полученным по таблицам распределения Фишера для уровня значимости и числа степеней свободы и Пример 6.2. Расчет параметров тренда. Имеются помесячные данные о темпах роста номинальной заработной платы в РФ за 10 месяцев 2010 года в процентах к уровню предыдущего месяца 2009 г. (Табл. 6.3). Требуется выбрать наилучший тип тренда и определить его параметры. Построим график данного временного ряда
Рис. 6.2. Динамика темпов роста номинальной заработной платы за 10 мес. 2010г. На графике рис. 6.2. заметно наличие возрастающего тренда (тенденции). Возможно существование линейной зависимости. Http://homekid.ru/kidinspb2010/kid2010part2.htm В практике исследования динамики явлений принято считать, что значения уровней () временных рядов могут содержать следующие компоненты: тренд (), сезонную компоненту (), циклическую компоненту () и случайную составляющую (). Под трендом понимают изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временного ряда. Это систематическая составляющая долговременного действия. Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах часто имеют место более или менее регулярные колебания – периодические составляющие рядов динамики. Если период колебания не превышает года, то их называют сезонными (расходы электроэнергии по кварталам). При большом периоде колебания считают, что во временных рядах имеет место циклическая составляющая. Примерами могут служить циклы деловой активности, демографические, инвестиционные. Если из временного ряда удалить тренд и периодические составляющие, то останется нерегулярная компонента (). Экономисты разделяют факторы, под воздействием которых формируется нерегулярная компонента, на два вида: факторы резкого, внезапного действия (стихийные бедствия, войны) и текущие факторы (ощущается несколько факторов и их суммарное действие). В этом случае уровни ряда . Они являются функцией случайной компоненты: колеблются вокруг среднего уровня, что характерно для так называемого стационарного ряда. На рисунке 10.1 такой ряд представляет собой ломаную линию, параллельную оси времени.
Где – уровни динамического ряда, – средний за период уровень ряда, – случайная составляющая, определяемая как . Большинство динамических рядов в экономике характеризуется тенденцией и случайными колебаниями.
Модель уровня такого ряда имеет вид: , Где – тренд, – случайные колебания (рис. 10.2). Представление временного ряда может быть следующих видов:
Решение любой задачи по анализу и прогнозированию временных рядов начинается с построения графика исследуемого показателя, т.к., на этом этапе можно исследовать компонентный состав временных рядов, а также сделать первые шаги к выбору модели для описания их динамики. Отличительной особенностью аддитивной модели является то, что амплитуда сезонных колебаний, отражающая отклонения от тренда или среднего, остается примерно постоянной, неизменной во времени. Иногда это сложно описать, т.к. во временном ряду ошибок остаются статистические зависимости, которые можно моделировать. Как правило, ряд ошибок – это стационарный ряд. Ряд называется стационарным, если совместное распределение m-наблюдений:
При анализе изменения величины в зависимости от значения временного сдвига принято говорить об автоковариационной функции (АКФ). На практике АКФ статистически оцениваются по имеющимся уровням временного ряда. Выборочная оценка коэффициента автокорреляции определяется формулой:
где Числитель формулы (10.1) представляет выборочную оценкукоэффициента автоковариации. График АКФ, отражающий изменение , в зависимости от значений сдвига , называют коррелограммой. Вид АКФ оказывает существенную помощь в выборе моделей, описывающих поведение анализируемых временных рядов. Проверка гипотезы существования тенденции. Важной задачей возникающей при анализе рядов динамики, является определение основной тенденции в развитии исследуемого явления. Прогнозирование временных рядов целесообразно начинать с построения графика исследуемого показателя. Однако в нем не всегда прослеживается присутствие тренда. Поэтому в этих случаях необходимо выяснить, существует ли тенденция во временном ряду или она отсутствует. Для временного ряда рассмотрим критерий «восходящих и нисходящих» серий, согласно которому наличие тенденции определяется по следующему алгоритму: 1. Для исследуемого временного ряда определяется последовательность знаков, исходя из условий
При этом, если последующее наблюдение равно предыдущему, то учитывается только одно наблюдение. Подсчитывается число серий u (n ). Под серией понимается последовательность подряд расположенных плюсов или минусов, причем один плюс или один минус считается серией. Определяется протяженность самой длинной серии l max (n ). 4. По таблице, приведенной ниже, находится значение l (n ). Таблица 10.5 5. Если нарушается хотя бы одно из следующих неравенств, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается с доверительной вероятностью 0,95:
Квадратные скобки неравенства в (10.3) означают целую часть числа. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; в качестве переменной y – ряд
.
Тогда приведенная выше формула примет вид
;
(аддитивная модель);
(мультипликативная модель);
(смешанного типа).
такое же, как и для 
при любых m, 
. В этом случае имеем:
,
, (10.1)
,
.
(10.2)
(10.3)
