При желании накопить немного денег или грамотно инвестировать уже имеющиеся накопления, одной из обязательных для изучения тем является формула простых процентов, сложных и принципов их исчисления. Они являются основным показателем выгодности вложений.
В сфере экономики и финансов процедуру вычисления этих показателей принято различать. Специалисты банковского дела подразумевают под сложным процентом термин капитализации, а специалисты по инвестированию – реинвестирования.
Простые проценты – ставка доходности, начисляемая на изначальную сумму вклада. Их размер определяется только одни раз по окончании срока депозита и остается неизменным во всех последующих отчетных периодах, без учета пассивного дохода, полученного вкладчиком.
Сложные проценты по депозиту определяются как геометрическая прогрессия накоплений по вкладу. То есть, в каждый расчетный период величина базовой суммы депозита, к которой применяется формула банковского процента, увеличивается путем прибавления полученного дохода.
Простые и сложные проценты отличаются принципом вычисления размера прибавки к базовой сумме накоплений. В первом случае базис не меняется с течением расчетных периодов, в случае с капитализацией (или реинвестированием) – она увеличивается каждый раз на сумму начисленных депозитных бонусов.
Для среднестатистического обывателя подобная информация может показаться чересчур заумной, но, если разобраться немного подробнее, все не так страшно. И даже формулы простых и сложных процентов, при их детальном разборе, просты и понятны.
Применение разных схем начисления процентов отражается на размере пассивного дохода по вкладу
Клиент банка открыл депозитный счет, пополнив его на 1000 рублей. Ставка учреждения по депозиту составляет 10% годовых, срок действия вклада – 3 года.
Формула расчета простой доходной ставки приведет к итогу, что через оговоренных 3 года клиент получит 1300 рублей. Сложная ставка процентов принесет клиенту через тот же срок 1331 рубль за счет реинвестирования средств.
Разница в 31 рубль, возможно, не так уж и критична, но если речь пойдет о вкладе на более крупную сумму, то и выгода окажется несоразмерной данному примеру.
Дискретное начисление дохода основывается на принципе долгового заимствования средств банком у физических лиц под определенный размер вознаграждения. Величина такого дохода будет зависеть от схемы его начисления и величины базового капитала. Конечно, схема сложных процентов на первый взгляд принесет большую выручку, но стоит изучить все тонкости системы.
Доходность при начислении простых процентов является фиксированной
Разумеется, процесс начисления простых процентов намного проще. Сумма высчитывается всего один раз и не меняется в течение срока хранения вклада в банке.
Обычно договор на банковское обслуживание оговаривает размер процентной ставки за год. Если по каким-либо причинам нужно узнать ее размер за период в один месяц, нужно применить формулу: Fv = Sv * (1 + R * (Td / Ty) , где:
Для вкладов с пополнением и снятием средств расчет осуществляется отдельно для каждого периода хранения разных сумм на депозите. Иными словами, если клиент положил начальную сумму на счет, потом пополнил счет, а потом снял с него часть средств, то расчет будет состоять из трех этапов. Для каждого временного отрезка и для каждого объема денежных средств.
Стремясь к получению большей выгоды, держатели депозитов все чаще интересуются вопросом, как рассчитать сложный процент по вкладу . Для более наглядного описания, процесс капитализации средств можно представить так: по окончанию расчетного периода клиента банка закрывает депозит и снимает все накопленные средства (базис + набежавшие проценты). А потом кладет их еще на один расчетный период обратно в банк. Таким образом, начисление процентной ставки будет осуществляться уже на увеличенный базисный капитал.
Формула сложных процентов по кладу выглядит следующим образом: Fv = Sv * (1 + (R / Ny))Nd , где:
Для определения временного отрезка капитализации банк использует равные промежутки: месяц, квартал или год. По истечении каждого отсчетного промежутка на текущую величину вклада начисляются процентные бонусы.
Начисление сложных процентов осуществляется в каждый установленный период расчета
Наиболее интересные варианты по годовым процентным ставкам предоставляются следующими программами инвестирования:
Интересно, что при составлении договора на обслуживание банком депозитного счета в формулировках не используется определение простого и сложного процента. Если доходность рассчитывается по схеме простой процентной ставки, то это указывается как «начисление процентов по окончанию срока депозита». Если по схеме сложной процентной ставки, то как «начисление процентов по окончанию расчетного периода» или «с учетом капитализации средств».
На первый взгляд кажется, что ответ на вопрос, как выгоднее инвестировать, очевиден. На самом деле, не всегда просто решить, на какой вид счета положить свои активы: с более высокой ставкой под простые проценты или с меньшей ставкой с рефинансированием средств?
Прибыльность процентной надбавки к базовой сумме интересна с точки зрения кладчика далеко не всегда. Перед тем, как принять решение, рекомендуется собрать все имеющиеся предложения от банков и просчитать каждый вариант самостоятельно по формулам. Тогда станет понятно, при каких условиях депозит принесет наибольший пассивный доход.
На официальных сайтах многих банков доступна удобная опция онлайн калькуляции доходности вкладов. Она позволит сравнить условия разных банковских программ и выбрать наиболее оптимальную.
Грамотный просчет начисления процентов является эффективным финансовым инструментом и помогает получить максимальную выгоду от хранения активов. Важно понимать, что выбор схемы начисления зависит от параметров вклада и условий, предлагаемых банком. При выборе оптимальной стратегии накопления можно получить внушительный пассивный доход.
Известны две основные схемы дискретного начисления процентов за фиксированные в договоре интервалы времени: схема простых процентов (simple interest) и схема сложных процентов (compound interest).
Простые проценты представляют собой величину прирастания определенной суммы Р, увеличивающейся за определенный срок (единичный промежуток начисления Т=1) на некоторый процент (по ставке r, представленной в виде дроби) от начальной суммы P, т.е. на rP. Последовательность наращенных сумм P, F 1 , F 2 , …, F n за n промежутков начисления представляет собой арифметическую прогрессию с начальным членом P и разностью rP. Таким образом, к концу n-го промежутка начисления наращенная сумма рассчитывается по формуле: F=P +Pr +Pr+…+Pr=P +Prn, и следовательно,
F n = P(1+nr) (1).
(1+nr) – называют множителем наращения. Если ставка r измеряется в процентах, то для ее представления в виде дроби следует r поделить на 100.
Наращение по простым процентам применяется при обслуживании сберегательных вкладов с ежемесячной выплатой процентов и вообще в тех случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору. Простые проценты применяют при выдаче краткосрочных ссуд (срок до одного года с однократным начислением процентов).
Сложные проценты представляют собой величину прирастания определенной суммы, увеличивающейся за определенный срок (единичный промежуток начисления) на некоторый процент с учетом получения процентов на проценты. Таким образом, каждая следующая сумма при наращении сложных процентов по ставке r возрастает на долю r от предыдущей и рассчитывается по формуле:
F n =P(1+ r) n . (2)
Последовательность наращенных сумм P, F 1 , F 2 , …, F n за n промежутков начисления представляет собой геометрическую прогрессию с начальным членом P и знаменателем прогрессии (1+r).
Процентные деньги
(проценты) – это величина дохода,
равная Д n =F n -P (3), т.е. разности между наращенной суммой и начальной.
Норма процента рассчитывается по формуле (4):
При выводе формул 1, 2 предполагалось, что n измеряется в годах, а r является годовой процентной ставкой. Эту формулы можно применить и при других периодах начисления. Необходимо только следить за соответствием длины периода и процентной ставки (размерность каждого периода n k должна быть согласована с размерностью процентной ставки r k .
В том случае, когда сложные проценты начисляются m-раз в году, а наращение капитала происходит за n лет, где n – целое число, формула нахождения наращенной суммы примет следующий вид:
Можно сделать некоторые выводы для сложных процентов:
Ø Проценты, полученные за год по ставке r не эквивалентны процентам, полученным за год по ставке r/12 в месяц;
Ø чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше итоговая накопленная сумма.
Для облегчения расчетов составлены таблицы мультиплицирующих множителей , которые показывают, во сколько раз возрастет за n лет сумма, положенная в банк под r процентов годовых: FM(n,r)=(1+r) n . Величина FM(n,r) есть будущая стоимость одной денежной единицы (один рубль, один доллар, одна иена и т.п.)– через n лет при ставке процента r.
Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться с помощью следующих методов:
Ø По схеме сложных процентов
Ø По смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов для дробной части года):
В том случае, когда продолжительность финансовой операции рассчитывается в днях, однозначного определения процента и других параметров финансовой операции нет. Решение будет зависеть от того, как рассчитывается продолжительность года и продолжительность периода финансовой операции.
Таким образом, существует два варианта процентов: точный процент и обыкновенный процент.
При расчете точного процента (exact interest) берется точное число дней в году (365, 366), в квартале (89 – 92), в месяце (28 – 31).
При расчете обыкновенного процента (ordinary) берется приближенное число дней в году (360), в квартале (90), в месяце (30).
Продолжительность периода финансовой операции (например, ссуды) исчисляется также двумя способами: расчет по дням (берется точное число дней) и расчет с приближенным числом дней в месяце (30).
Следовательно, можно выделить три способа расчета процентов:
I. Обыкновенный процент с приближенным числом дней (360/360). Такой способ расчета практикуется в Германии, Дании, Швеции.
II. Обыкновенный процент с точным числом дней (365/360 или АСТ/360). Такой способ расчета практикуется в Бельгии и Франции.
III. Точный процент с точным числом дней (365/365 или АСТ/АСТ). Такой способ расчета практикуется в Великобритании и США.
В российской практике можно встретиться с различными схемами начисления процентов. Эффект от выбора зависит от суммы финансовой операции. Понятно, что использование обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды, как правило, дает больший результат, чем применение обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды.
Пример 1.1. Депозит в 200 тыс. руб. положен в банк на 4 года под 15% годовых. Найти наращенную сумму, если ежегодно начисляются сложные проценты.
Решение. Применим формулу (2) и получим F 4 =200000 (1+0,15) 4 .
Пример 1.2. Годовая ставка простых процентов равна 8,3%. Через сколько лет начальная сумма удвоится?
Решение. Обозначим начальную сумму через Р. Тогда Р*(1+n*0,083)³ 2Р, т.е. 1+n*0,083)³ 2, n³ 1/0,083. С точностью до целых – через тринадцать лет.
Пример 1.3. Пусть P=1000, r = 10%- сложные проценты. Найти наращенную сумму за за n=3 промежутка начисления.
Решение. Р=1000; F 1 =1000 (1+0,1) 1 =1100; F 2 ,=1100*1,1=1210; F 3 =1210*1,1=1331,1.
Пример 1.4. Годовая ставка сложных процентов равна r =8%. Через сколько лет начальная сумма удвоится?
Решение. Р(1+0,08) n ³2Р; (1+0,08) n ³ 2; n* ln(1,08)³ ln2;
n³ (ln(2)/ln(1,08))=9.
Пример 1.5. М.Е. Салтыков-Щедрин описывает в «Господах Головлевых» такую сцену: «Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой «на зубок» сто рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего восемьсот рублей».
Решение. В нашем примере нужно воспользоваться формулой сложных процентов, обозначив через х – искомый процент по вкладам (годовую ставку сложных процентов), и взяв n=50.
Получим: 800=100(1+х) 50 .
Логарифмируя с помощью таблицы логарифмов, получим решение следующим образом: lg800=lg100+50lg(1+x).
Антилогарифм 1+х=1,039. Тогда х=3,9%.
Пример 1.6. Чему равна будущая стоимость одной денежной единицы через 9 лет при ставке процента 10%.
Решение . Так как n=9, r=10%, то согласно таблице мультиплицирующих множителей М(9,10)=2,358.
Пример 1.7. Предоставлена ссуда в размере 7 тыс. руб. 10 февраля с погашением 10 июня под 20% годовых (простая ставка, год не високосный). Рассчитать различными способами сумму к погашению F.
Решение .
1. Подсчитаем точное число дней, которые берется в расчет при выплате процентов. По табл. 161-41=120 (дней)
2. Подсчитаем приближенное число дней ссуды: t= 18 дней февраля (59-41) + 90 дней (март-июнь) + 10 дней июня=118 дней.
3. АСТ/АСТ F=7 (1+120/365*0,2)=7460руб.
4. 360/360 F=7 (1+118/360*0,2)=7459руб.
5. 365/360 F=7 (1+120/360*0,2)=7467руб.
Пример 1.8. 14 марта в банк положили сумму 1000 у.е. до востребования под ставку 12% годовых сложных процентов. Какую сумму снимет вкладчик 1 сентября?
Решение. Однозначного решения нет. Выберем способ расчета 360/360, т.е. в году 360 дней, в месяце 30 дней.
1) Найдем, какую долю от года составляет промежуток времени, в течение которого вклад хранился в банке: t=(30 дней * 5 месяцев +17 дней) / 360. Дни считаем так: из порядкового номера последнего дня вычитается порядковый номер первого дня.
Пример 1.9. Пусть сумма начального вклада Р=750 у.е. наращивается по годовой ставке r=20%. Принятая схема начисления: по простым процентам. Подсчитать проценты за n=4 промежутков начисления (лет). Представить последовательность наращенных сумм за 4 года.
Решение . Так как под процентами (процентными деньгами) понимают величину дохода (приращение денег) I n = F n -P, то сначала найдем F n
F n – это наращенная за n лет сумма, которая находится по формуле F n =P + n´r´P=Р(1+nr), где r – дробное измерение ставки. Таким образом, F 4 =750(1+4´0,2)=750 1,8=1350.
Следовательно, I 4 = F 4 -P=1350-750=600 (у.е.) – процентные деньги за 4 года.
Последовательность наращенных сумм в случае простых процентов представляет арифметическую прогрессию: F 1 = Р(1+1´r)= 750(1+0,2)= 900; F 2 = Р(1+2´r)= 750(1+0,4)= 1050; F 3 = Р(1+3´r)= 750(1+0,6)= 1200; F 4 = Р(1+4´r)=750(1+0,8)=1350, каждый следующий элемент последовательности отличается от предыдущего на 150 у.е., т.е. приросты денежных сумм для любого периода составляют 150 у.е. –постоянную долю от первоначальной суммы Р=750 у.е.
Пример 1.10. Предприниматель получил в банке ссуду в размере 25 тыс. руб. сроком на 6 лет на следующих условиях: для первого года процентная ставка равна 10% годовых, на следующие 2 года устанавливается маржа в размере 0,4% и на последующие годы маржа равна 0,7%. Найти сумму, которую предприниматель должен вернуть в банк по окончании срока ссуды.
Решение . Р=25, n 1 =1, n 2 =2, n 3 =3; i 1 =0,1; i 2 =0,104; i 3 =0,107. Тогда F 6 =25(1+0,1)(1+0,104) 2 (1+0,107) 3 =45,469 тыс.руб.
Пример 1.10. Семья положила Р=12 000 руб. на срочный вклад при срочной процентной ставке r=11% годовых (с учетом выплаты процентов на проценты). Сколько денег семья получит через два года, при условии, что в течение двух лет деньги сниматься со сберкнижки не будут?
Решение . Выплата процентов на проценты означает, что одна и та же ставка r начисляется для каждого следующего промежутка начисления на результат предыдущего начисления (наращенную сумму за предыдущий период начисления или, что т о же самое, на сумму, наращенную на начало данного периода начисления). По формуле сложных процентов наращенная сумма за n лет составит величину Fn= Р(1+r)n. Следовательно, в нашем случае при n=2 F2=Р(1+r)2=12000 (1+0,11)2=12000´1,112=1,2321´12000=14785,2
Пример 1.11. В банк вложены деньги в сумме 5 тыс. руб. на 2 года с полугодовым начислением процентов под 20% годовых. Найти величину капитала через 2 года. Проанализировать, изменится ли величина капитала к концу двухлетнего периода, если проценты будут начисляться ежеквартально?
Решение . В этом случае начисление процентов производится 4 раза по ставке 10%, тогда Р=5, n=2, m=2, r (m) = r (2) = 0,2 и
3) В этом случае начисление происходит 8 раз, m=4, n=2 по ставке 5% (20%/4) и
Пример 1.12. Банк предоставил ссуду в размере 10 тыс. руб. на 30 мес. под 30% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?
Решение. n=2,5; целое число лет=2; дробная часть года=0,5.
По схеме сложных процентов F 2,5 =10(1+0,3) 2+0,5 =19,269 тыс.руб.
По смешанной схеме F 2,5 =10(1+0,3) 2 (1+0,5*0,3)=19,435 тыс. руб.
Т.о. для банка смешанная схема начисления более выгодная.
Формулы простых и сложных процентов
Основной задачей кредитных учреждений является привлечение средств с целью их концентрации и перераспределения в виде кредитов или финансовых ресурсов. Кредитные учреждения привлекают средства (депозиты) юридических и физических лиц с целью их дальнейшего размещения в виде кредитов за определенную плату. При этом плата за привлеченные ресурсы несколько ниже платы за размещенные. Плата за ресурсы устанавливается в процентах. Проценты по депозитам ниже, чем проценты по кредитам. Разница между процентной ставкой по кредитам и процентной ставкой по депозитам называется маржей. Маржа служит источником дохода кредитного учреждения.
Процентная ставка банка чрезвычайно важна как с позиций привлечения ресурсов, так и с позиций их размещения, поэтому регулирование процентной ставки осуществляется государством посредством установки учетной ставки центрального банка.
Основная цель инвестиций в кредитные институты состоит в получении процентного дохода (процентов). Процентный доход определяется на основе процентной ставки. Процентная ставка в финансовой практике устанавливается на год. В отдельных случаях ставка может быть установлена на более другой период.
На практике применяются два подхода к оценке процентного дохода – простые и сложные проценты.
При применении простых процентов доход рассчитывается от первоначальной суммы инвестиций не зависимо от срока вложения.
При применении сложных процентов накопленная сумма процентов добавляется во вклад (реинвестируется, капитализируется) по окончании очередного периода начислений.
Первоначальная сумма и полученные проценты в совокупности называются наращенной суммой.
Так, если банковская ставка равна 10%, а первоначальная сумма 100 руб., то накопленная сумма за пять лет при применении простых и сложных процентов будет иметь вид:
Таблица 1. Наращенная сумма с использованием простых и сложных процентов.
Если обозначить:
- процентная ставка;
S i – накопленная сумма к концу i-го года,
Тогда для простых процентов сумма по годам равна соответственно
S nt = (1 + n * ) S 0 (1)
Для сложных процентов
S nt = (1 + ) n S 0 (2)
Пример 1.
В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тыс. руб. по 12% на 3 года. Рассчитать наращенную сумму если проценты:
а) простые
б) сложные.
Решение 1.
По формуле простых процентов
Sn=(1+3*0.12)*50 000 = 68000 руб.
По формуле сложных процентов
Sn=(1+0.12) 3 *50 000 = 70246 руб.
В банковской практике проценты могут начисляться чаще, чем 1 раз в год. При этом банковская ставка обычно устанавливается в пересчете на год. Формула сложных процентов будет иметь вид:
S nt = (1 + / t ) n * t S 0 (3)
где t – число реинвестиций процентов в году.
Пример 2.
В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тыс. руб. по 12% на 3 года. Рассчитать наращенную сумму, если проценты начисляются ежеквартально.
Решение 2.
По формуле сложных процентов
Sn = (1+0.12/4) 3*4 *50 000 = 1.03 12 *50 000 = 71288 руб.
Как следует из примеров 1 и 2, наращенная сумма будет возрастать тем быстрее, чем чаще начисляются проценты. Существует предел
где е – основание натурального логарифма.
Известно, что при малом значении α справедливо примерное равенство:
Отсюда следует, что при малых значениях n и α можно для расчетов применять формулу простых процентов. На практике все расчеты по депозитам и кредитам сроком менее года осуществляются по формуле простых процентов. Наращенная сумма за короткий период определяется по формуле:
(4)
Где nд – число дней депозита, 360 – число дней в году.
Эффективная ставка
Из вышесказанного следует, что при разных условиях начисления процентов вклады с одинаковыми процентными ставками позволяют получить разный доход. Отсюда вытекает проблема эквивалентных ставок. Ставки позволяющие получить одинаковый доход при разных условиях начисления процентов называются эквивалентными. Условие эквивалентности можно выразить уравнением
где α 1 и t 1 - процентная ставка и число реинвестиций в году по первому варианту, α 2 и t 2 - процентная ставка и число реинвестиций в году по второму варианту.
Если один из вариантов предполагает начисление 1 раз в году, то условие эквивалентности примет вид
Ставка, эквивалентная ставке с начислением процентов в конце года называется эффективной. Эффективная ставка выше номинальной. Эффективная ставка рассчитывается по формуле:
(5)
где α н – номинальная ставка, t – число реинвестиций в году.
Пример 3.
Банк предлагает два варианта депозита
1) под 120% с начислением процентов в конце года
2) под 100% с начислением процентов в конце каждого квартала.
Определить более выгодный вариант размещения депозитов на один год.
Более выгодным считается тот вариант, при котором наращенная за год сумма будет больше. Для оценки вариантов начальную сумму примем равную 100 руб.
По первому варианту наращенная сумма будет равна
(1+1,2)*100 руб. = 220 руб.
По второму варианту проценты начисляются ежеквартально. По окончании первого квартала наращенная сумма равна
(1+1,0/4)*100 руб. = 125 руб.
По окончании 2-го квартала
(1+1,0/4)*125 руб. = 156 руб. или (1+1,0/4) 2 *100 руб. = 156 руб.
За год наращенная сумма равна:
(1+1,0/4) 4 *100 руб. = 244 руб.
Как следует из расчетов второй вариант значительно выгоднее (244>220). Правда, только при условии применения сложных процентов. Однако, если по условия вклада проценты начисляются ежеквартально, то их можно "превратить" в сложные самостоятельно осуществив депозит в банк.
В банке появился новый вид вкладов с ежемесячным начислением процентов по ставке 12% в месяц с минимальной суммой вклада 300 руб. Проценты на проценты не начислялись, однако многие граждане превращали данный вклад во вклад со сложными процентами. Для этого достаточно было раз в месяц приходить в банк, снимать проценты и осуществлять новый вклад.
Эффективная ставка рассчитывается по формуле:
Это значит, что наращенная сумма будет одинакова по вкладам сроком 1 год под 144% и по вкладу сроком 1 год, при ставке 100% при условии ежеквартального начисления процентов.
Пример 4.
Банк принимает депозиты по ставке 50% с начислением процентов ежеквартально. Определить эффективную ставку.
Пример 5.
Процентная ставка 50% с начислением процентов в конце срока. Рассчитать эквивалентную ставку с начислением процентов раз в 6 месяцев.
Решить данную задачу можно двумя способами
1) на основе формулы эквивалентности
2) используя формулу эффективной ставки.
Оценка потока платежей
В практике финансовых расчетов применяется понятие настоящая стоимость будущих платежей. Поток платежей может быть равномерным или неравномерным. Равномерный поток называется финансовой рентой или аннуитетом. В задачу оценки потока платежей входит определение его текущей стоимости. Текущая оценка осуществляется на основе сравнения будущих платежей с вкладом в банк. Цена ренты представляет собой сумму, которую необходимо вложить в банк под определенный процент, чтобы обеспечить те же платежи и в те же сроки, которые обеспечивает рента.
Эта задача обратная определению наращенной стоимости. Так, если в качестве примера ренты принять бескупонную облигацию номиналом Н и сроком до погашения n лет, то ее расчетная цена может быть определена по формуле
,
Для потока платежей с неравными выплатами текущая стоимость выплат равна:
Например:
У гражданина двое детей в возрасте 10 и 15 лет. Он желает каждому выплатить к 18-летию по 20 тыс. руб. Сколько необходимо вложить в банк, чтобы обеспечить данные выплаты, если банк выплачивает 10% годовых.
Время до 1-й выплаты 3 года, до 2-й – 8 лет. Начальная сумма вклада равна:
Решение задач №1- 12 производим с помощью Excel.
Сущность процентов и процентных ставок
ТЕМА 3. ОСНОВЫ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ
11.02.13
Проценты – это доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты, т.д.), либо от инвестиций производственного и финансового характера.
Процентная ставка – это величина, характеризующая интенсивность начисления процентов. Она определяется как отношение дохода, выплачиваемого за использование капитала в течение определенного периода времени к величине этого капитала.
Таким образом, величина получаемого дохода, то есть процентов, зависит от величины вкладываемого капитала, срока, на который он предоставляется в долг или инвестируется, размера и вида процентной ставки.
Множитель, или коэффициент наращения , - это величина, показывающая во сколько раз вырос первоначальный капитал.
Период начисления – это промежуток времени, за который начисляются проценты. Период начисления может разбиваться на интервалы начисления – это минимальный период по прошествии которого происходит начисление процентов.
Процентные ставки могут быть либо простыми , если они применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления, либо сложными, если по прошествии каждого интервала начисления они применяются к сумме долга и начисленных за предыдущие интервалы процентов.
В большинстве коммерческих операций подразумеваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений или выплат в течение определенного периода. Такая последовательность называется потоком платежей. Поток однонаправленных платежей с равными интервалами между ними называется аннуитетом, или финансовой рентой.
Наиболее распространенные примеры аннуитета – регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам (аннуитет называется дивидендом ).
Простые проценты применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты.
Введем следующие обозначения:
· П – проценты за весь срок
· Р – первоначальная сумма
· С – сумма, образовавшаяся к концу срока, или наращенная сумма
· А – ставка процентов в идее десятичной дроби
· n – число периодов
Процесс изменения суммы долга с наращенными простыми процентами описывается арифметической прогрессией:
Р+Р*А=РР*(1+А)
Р*(1+А)+Р*А = Р*(1+2А)
С = Р*(1+n*А)
Это выражение называется формулой простых процентов, а множитель (1+n*А) – множителем наращения простых процентов.
Если срок начисления процентов меньше периода, на который установлена процентная ставка, то формула простых процентов приобретает вид:
С = Р*(1+Т/К*А ),
где Т – число дней ссуды, К – число дней в году
За базу измерения времени часто берут год условно состоящий из 360-ти дней, то есть 12 месяцев по 3- дней. В этом случае вычисляют обыкновенный или коммерческий процент. В отличие от него точный процент получают, когда за базу берут действительное число дней в году 365 или 366. В свою очередь определения числа дней ссуды может быть точным или приближенным. В первом случае подсчитывается фактическое число дней между двумя датами, во втором продолжительность ссуды определяется количеством целых месяцев и дней ссуды, причем месяц принимается равным 30-ти дням.
В том и в другом случае дата выдачи и дата погашения считается за 1 день. В связи с этим применяется 3 варианта расчета:
· точные проценты с точным числом дней ссуды
· обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды
· обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды
Сложные проценты в настоящее время являются весьма распространенным видом процентных ставок, применяемых в различных финансовых операциях. Если после каждого интервала начисления доход не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулу сложных процентов.
Таким образом, наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления.
Рост по сложным процентам представляет собой процесс, развивающийся в геометрической прогрессии:
Р+Р*А = Р*(1+А)
Р*(1+А)++Р*(1+А)*А = Р*(1+А) 2
С = Р*(1+А) n
Это выражение называется формулой сложных процентов, а (1+А) n – множителем наращения сложных процентов.
Начисление сложных процентов может осуществляться на один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов – это годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.
При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке An эта величина считается равной An/m. Тогда формула сложных процентов будет иметь вид:
n – число лет ссуды
m – количество интервалов начислений в год
Можно определить годовую ставку сложных процентов, которая дает тот же финансовый результат, что и m разовое наращение в год по стае Аn/m – эта ставка называется эффективной и определяется:
Аэ = (1+An/m) m – 1
Часто встречаются ситуации когда финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет. Если общее число интервалов начисления не является целым числом, то проценты могут начисляться одним из двух методов:
· по схеме сложных процентов:
С = Р*(1+An/m) n + l
· по смешанной схеме, когда для целого числа лет используется схема сложных процентов, а для дробной части года – схема простых процентов:
C = P*(1+An/m) n*m +P(1+l*An/m)
n – целое число лет, l – дробная часть года
Все рассмотренные выше проценты называются дискретными, так как их начисление осуществляется за фиксированный промежуток времени (год, месяц, квартал, день). В РФ этот вид начисления процентов является наиболее распространенным. В мировой практике также применяется так называемое непрерывное начисление сложных процентов, то есть когда продолжительность интервала начисления стремится к 0, а их количество к бесконечности. В РФ это способ начисления процентов практически не применяется.
Множественность способов начисления процентных ставок вызывает необходимость их корректного сопоставления. Для этого при расчетах, проводимых по различным финансовым операциям, определяются так называемые эквивалентные процентные ставки.
Эквивалентные процентные ставки – это такие процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты. Эквивалентные процентные ставки необходимо знать в случаях, когда существует возможность выбора условий финансовой операции и требуется инструмент дл их сравнения.
Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравнение эквивалентности , принцип составления которых заключается в следующем: выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных процентных ставок. Обычно это наращенная сумма. На основе равенства двух выражений для данной величины составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида.
Открывая банковский вклад нужно обращать внимание не только на размер процентной ставки, но и на вид начисления процентов. Бывает простое начисление процентов и сложное. В этой статье мы разберем разницу между видом начисления процентной ставки, а также определим в чем выгода того или иного способа начисления.
Обычно банки предлагают простое начисление процентов. Что это значит? Это значит, что проценты будут начислены на ваш вклад только в конце срока. Т.е. допустим вы открыли вклад под 10% годовых и вложили 10 000 рублей. Через год вам будет начислено в виде процентов 1 000 рублей. Если вы оставите вклад на второй год, то по истечении этого срока вам будет начислена еще 1 000 рублей.
За 2 года, при простом начислении процентов ваша итоговая сумма составит: 12 000 рублей.
Если бы было сложное начисление процентов, то картина немного меняется. Через 1 год, на вашем счету также было бы 11 000 рублей (10 000 — ваш вклад + 1 000 рублей в виде процентов).
Однако, эта начисленная тысяча, в конце первого периода присоединилась бы к основному телу депозиту. И все проценты уже начислялись бы на эту общую сумму. Т.е. вы на второй год получили бы 10%, только уже не с 10 000 рублей, а с 11 тысяч. В деньгах это получается — 1 100 рублей.
Итого, за 2 года при сложном начислении ваша сумма составит: 12 100 рублей
Думаю, нет смысла объяснять, что вы выберите: 12 000 или 12 100 рублей. К тому же дополнительным преимуществом сложным процентов является тот факт, что они также входят в . Т.е. если у банка отзывают лицензию, то все начисленные проценты также подлежат возврату вкладчику.
При простом начислении, деньги выплачиваются только в конце срока, т.е. по факту они не были начислены, даже если до окончания вашего вклада оставался только один день! И в данном случае вы имеете право на возврат только основного капитала.
Особенно привлекательным становится вклад с ежемесячной или ежеквартальной капитализацией процентов. Чем ниже период капитализации по вкладу, тем более высокий доход он дает. Дело тут в кумулятивном эффекте. Когда на начисленные проценты в виде прибыли также начисляется прибыль. Иногда сложные проценты называют процентами с учетом реинвестирования или капитализации . Обращайте на это внимание когда заключаете договор с банком. Если в договоре сказано, что проценты начисляются в конце срока вклада, то речь идет о простом начислении процентов.
Банки не очень часто предлагаю . Даже если проценты начисляются ежемесячно или ежеквартально, банки предпочитают не использовать полученную прибыль для начисления на них дополнительных процентов, а перечисляют на отдельный счет. Дело здесь, как было указано выше, в эффекте рефинансирования, когда эффективная процентная ставка за счет капитализации будет выше, первоначально заявленной банком.
Пример. При номинальной ставке в 9% годовых, реальная эффективная ставка с учетом реинвестирования составила бы 9,4% годовых. При 10% этот показатель вырос бы до 10,5%, а при 11% — до 11,6%.
Банки обычно указывают номинальную процентную ставку, поскольку эффективная процентная ставка при условии снятия процентов может и не случиться.
Для тех, кто хочет сам понять какую сумму он получит вложив деньги под сложный процент в банке есть специальная формула реинвестирования или капитализации вклада:
S=K * (1+r/t)™
K — это ваша первоначальная сумма, которую вы внесли в банк,
r — годовая процентная ставка, под которую вы положили в банк, например, 10% годовых — это 0,1, 12% годовых — это 0,12
t — количество выплат по процентам в год, например, если проценты начисляются ежегодно, то t=1, ежеквартально t=4, ежемесячно t=12
ТМ — количество периодов начисления процентов, т.е. если вы открыли вклад на 2 года, то при ежеквартальном начислении периодов будет 8, при ежемесячном TM будет равно 24.
S — сумма, которая окажется у вас на счету по истечении срока вклада.
Пример.
Вы открыли вклад на срок 2 года, под 12% годовых, капитализация процентов ежеквартальная. Вы внесли 10 000 рублей.
Какая сумма будет у вас в конце срока?
K=10 000
r=0,12%
t=4
TM=8
Получаем, S=10 000 * (1+0.12/4)∧8 = 12 668 рублей.
Итого за 2 года подобный вклад принесет вам 2 668 рублей или 26,68% доходности.
Если, для примера взять простое начисление процентов под те же 12% годовых на 2 года, с ежегодным начислением, но без капитализации, то в конце срока сумма будет немного меньше, а именно 2 400 рублей или 24% доходности.
Конечно, разница в 2,68% не такая уж и большая. Но все меняется если изменится сумма вклада в большую сторону или же увеличиться срок вклада. Именно на больших временных интервалах разница между простым и сложным начисление процентов наиболее заметна. На длительных интервалах времени разница в достигнутом результате может изменяться в разы. Недаром Ротшильды (богатейшее семейство планеты) называли сложные проценты « «.
